एक ARMA (2,1) प्रक्रिया के Autocovariance - के लिए विश्लेषणात्मक मॉडल की व्युत्पत्ति


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मैं autocovariance समारोह के लिए विश्लेषणात्मक भाव प्राप्त करने के लिए की जरूरत है एक ARMA (2,1) की प्रक्रिया के द्वारा सूचित किया जाता:γ(k)

yt=ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt

तो, मुझे पता है कि:

γ(k)=E[yt,ytk]

इसलिए मैं लिख सकता हूं:

γ(k)=ϕ1E[yt1ytk]+ϕ2E[yt2ytk]+θ1E[ϵt1ytk]+E[ϵtytk]

फिर, स्वतःभरण समारोह के विश्लेषणात्मक संस्करण को प्राप्त करने के लिए, मुझे - 0, 1, 2 ... के मूल्यों को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है , जब तक कि मुझे एक पुनरावृत्ति नहीं मिलती है जो कुछ पूर्णांक से अधिक k सभी के लिए मान्य है ।kk

इसलिए, मैं स्थानापन्न करता हूं और इसे प्राप्त करने के लिए काम करता हूं :k=0

γ(0)=E[yt,yt]=ϕ1E[yt1yt]+ϕ2E[yt2yt]+θ1E[ϵt1yt]+E[ϵtyt]

अब मैं इनमें से पहले दो को सरल कर सकता हूं, और फिर पहले के रूप में लिए विकल्प :yt

γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1E[ϵt1(ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt)]+E[ϵt(ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt)]

तब मैं आठ शब्दों को गुणा करता हूं, जो हैं:

+θ1ϕ1E[ϵt1yt1]+θ1ϕ2E[ϵt1yt2]+θ12E[(ϵt1)2]=θ12σϵ2+θ1E[ϵt1ϵt]=θ1E[ϵt1]E[ϵt]=0+ϕ1E[ϵtyt1]+ϕ2E[ϵtyt2]+θ1E[ϵtϵt1]=θ1E[ϵt]E[ϵt1]=0+E[(ϵt)2]=σϵ2

इसलिए, मुझे शेष चार शर्तों को हल करने की आवश्यकता है। मैं लाइनों 1, 2, 5 और 6 के लिए एक ही तर्क का उपयोग करना चाहता हूं, जैसा कि मैंने लाइनों 4 और 7 पर उपयोग किया है - उदाहरण के लिए लाइन 1 के लिए:

क्योंकि[ ε टी - 1 ] = 0θ1ϕ1E[ϵt1yt1]=θ1ϕ1E[ϵt1]E[yt1]=0E[ϵt1]=0

इसी तर्ज 2, 5 और 6 के लिए लेकिन मैं एक मॉडल समाधान के लिए अभिव्यक्ति में पता चले करने के लिए सरल:γ(0)

γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1(ϕ1+θ1)σϵ2+σϵ2

यह मेरा सरलीकरण जैसा कि ऊपर वर्णित गुणांक के साथ अवधि अनदेखा कर देते हैं पता चलता है - 0. जो मेरे तर्क के तहत होना चाहिए गलती मेरी तर्क मॉडल समाधान मैंने पाया गलत है, या है?ϕ1

काम किया समाधान भी सुझाव है कि "तुलनात्मक रूप से" के रूप में पाया जा सकता है:γ(1)

γ(1)=ϕ1γ(0)+ϕ2γ(1)+θ1σϵ2

k>1

γ(k)=ϕ1γ(k1)+ϕ2(k2)

मुझे उम्मीद है कि सवाल स्पष्ट है। किसी भी सहायता की बहुत सराहना की जाएगी। पहले ही, आपका बहुत धन्यवाद।

यह मेरे शोध से जुड़ा प्रश्न है, और किसी परीक्षा या पाठ्यक्रम की तैयारी में नहीं है।

जवाबों:


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यदि ARMA प्रक्रिया कारण है तो एक सामान्य सूत्र है जो ऑटोकॉवरियन गुणांक प्रदान करता है।

ARMA(p,q)

yt=i=1pϕiyt1+j=1qθjϵtj+ϵt,
ϵtσϵ2
yt=j=0ψjϵtj,
ψjψ

ARMA(p,q)

γ(k)ϕ1γ(k1)ϕpγ(kp)=0,kmax(p,q+1),
γ(k)j=1pϕjγ(kj)=σϵ2j=kqθjψjk,0k<max(p,q+1).

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आपके मूल प्रश्न में आपकी गणना की गलती निहित है

θ1ϕ1E[ϵt1yt1]=θ1ϕ1E[ϵt1]E[yt1]=0(mistaken)

E[ϵt1yt1]ϵt1yt1


जैसा कि आप मेरे अपडेट से देख सकते हैं (नीचे) मैंने पोस्ट पूरा करने के तुरंत बाद यह महसूस किया - लेकिन आपकी मदद के लिए बहुत धन्यवाद!
हाइड्रोलॉजिस्ट

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ठीक। इसलिए पोस्ट लिखने की प्रक्रिया ने वास्तव में मुझे समाधान की ओर इशारा किया।

अपेक्षा से 1, 2, 5 और 6 के ऊपर विचार करें कि मुझे लगा कि 0 होना चाहिए।

E[ϵtyt1]E[ϵtyt2]yt1yt2ϵtE[ϵt]=0

yt1yt2

yt1=ϕ1yt2+ϕ2yt3+θ1ϵt2+ϵt1yt2=ϕ1yt3+ϕ2yt4+θ1ϵt3+ϵt2

ϕ1θ1E[ϵt1yt1]yt1ϵt1yt2yt3ϵt2ϵt1E[ϵt1]=0

E[ϵt1yt1]=E[(ϵt1)2]=σϵ2

+ϕ1θ1σϵ2

इसलिए मूल मॉडल उत्तर सही था।

हालांकि, अगर कोई भी सामान्य (भले ही गन्दा) समाधान प्राप्त करने का एक वैकल्पिक तरीका सुझा सकता है, तो मुझे यह सुनकर बहुत खुशी होगी!

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