एक ARMA (2,1) प्रक्रिया के Autocovariance - के लिए विश्लेषणात्मक मॉडल की व्युत्पत्ति

Question

मैं autocovariance समारोह के लिए विश्लेषणात्मक भाव प्राप्त करने के लिए की जरूरत है एक ARMA (2,1) की प्रक्रिया के द्वारा सूचित किया जाता:$\gamma\left(k\right)$

$y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\epsilon_t$

तो, मुझे पता है कि:

$\gamma\left(k\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_{t-k}\right]$

इसलिए मैं लिख सकता हूं:

$\gamma\left(k\right) = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_{t-k}\right]+\phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_{t-k}\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-k}\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-k}\right]$

फिर, स्वतःभरण समारोह के विश्लेषणात्मक संस्करण को प्राप्त करने के लिए, मुझे - 0, 1, 2 ... के मूल्यों को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है , जब तक कि मुझे एक पुनरावृत्ति नहीं मिलती है जो कुछ पूर्णांक से अधिक k सभी के लिए मान्य है ।$k$$k$

इसलिए, मैं स्थानापन्न करता हूं और इसे प्राप्त करने के लिए काम करता हूं :$k=0$

$$\gamma \left(0\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_t\right] = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_t\right] + \phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_t\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_t\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_t\right]\\ $$

अब मैं इनमें से पहले दो को सरल कर सकता हूं, और फिर पहले के रूप में लिए विकल्प :$y_t$

$$\gamma\left(0\right) = \phi_1 \gamma\left(1\right) + \phi_2 \gamma\left(2\right)\\ + \theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1} \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]\\ + \mathrm{E}\left[\epsilon_t \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]$$

तब मैं आठ शब्दों को गुणा करता हूं, जो हैं:

$$+\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]\\ +\theta_1\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1^2\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right]=\theta_1^2\sigma_{\epsilon}^2\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\epsilon_{t}\right]=\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]=0\\ +\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-1}\right]\\ +\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_t\epsilon_{t-1}\right] = \theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0 \\ +\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_t\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

इसलिए, मुझे शेष चार शर्तों को हल करने की आवश्यकता है। मैं लाइनों 1, 2, 5 और 6 के लिए एक ही तर्क का उपयोग करना चाहता हूं, जैसा कि मैंने लाइनों 4 और 7 पर उपयोग किया है - उदाहरण के लिए लाइन 1 के लिए:

क्योंकि ई [ ε टी - 1 ] = 0 ।$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

इसी तर्ज 2, 5 और 6 के लिए लेकिन मैं एक मॉडल समाधान के लिए अभिव्यक्ति में पता चले करने के लिए सरल:$\gamma\left(0\right)$

$\gamma\left(0\right) = \phi_1\gamma\left(1\right)+\phi_2\gamma\left(2\right) +\theta_1\left(\phi_1+\theta_1\right)\sigma_{\epsilon}^2+\sigma_{\epsilon}^2$

यह मेरा सरलीकरण जैसा कि ऊपर वर्णित गुणांक के साथ अवधि अनदेखा कर देते हैं पता चलता है - 0. जो मेरे तर्क के तहत होना चाहिए गलती मेरी तर्क मॉडल समाधान मैंने पाया गलत है, या है?$\phi_1$

काम किया समाधान भी सुझाव है कि "तुलनात्मक रूप से" के रूप में पाया जा सकता है:$\gamma\left(1\right)$

$\gamma\left(1\right) = \phi_1\gamma\left(0\right)+\phi_2\gamma\left(1\right) + \theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

$k>1$

$\gamma\left(k\right) = \phi_1\gamma\left(k-1\right)+\phi_2\left(k-2\right)$

मुझे उम्मीद है कि सवाल स्पष्ट है। किसी भी सहायता की बहुत सराहना की जाएगी। पहले ही, आपका बहुत धन्यवाद।

यह मेरे शोध से जुड़ा प्रश्न है, और किसी परीक्षा या पाठ्यक्रम की तैयारी में नहीं है।

Answer 1

यदि ARMA प्रक्रिया कारण है तो एक सामान्य सूत्र है जो ऑटोकॉवरियन गुणांक प्रदान करता है।

$\text{ARMA}(p,q)$

$$y_t = \sum_{i = 1}^p \phi_i y_{t-1} + \sum_{j = 1}^q \theta_j \epsilon_{t - j} + \epsilon_t,$$ $\epsilon_t$$\sigma_\epsilon^2$ $$y_t = \sum_{j = 0}^\infty \psi_j \epsilon_{t - j},$$ $\psi_j$$\psi$

$\text{ARMA}(p,q)$

$$\gamma (k) - \phi_1 \gamma (k-1) - \cdots - \phi_p \gamma (k-p) = 0, \quad k \geq \max (p, q+1),$$ $$\gamma (k) - \sum_{j = 1}^p \phi_j \gamma (k-j) = \sigma_\epsilon^2 \sum_{j = k}^q \theta_j \psi_{j - k}, \quad 0 \leq k < \max (p, q+1).$$

Answer 2

आपके मूल प्रश्न में आपकी गणना की गलती निहित है

$$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0 \qquad \text{(mistaken)}$$

$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-1}$

Comments

जैसा कि आप मेरे अपडेट से देख सकते हैं (नीचे) मैंने पोस्ट पूरा करने के तुरंत बाद यह महसूस किया - लेकिन आपकी मदद के लिए बहुत धन्यवाद!

— हाइड्रोलॉजिस्ट

Answer 3

ठीक। इसलिए पोस्ट लिखने की प्रक्रिया ने वास्तव में मुझे समाधान की ओर इशारा किया।

अपेक्षा से 1, 2, 5 और 6 के ऊपर विचार करें कि मुझे लगा कि 0 होना चाहिए।

$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-1}\right]$$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-2}\right]$$y_{t-1}$$y_{t-2}$$\epsilon_t$$\mathrm{E}\left[\epsilon_t\right] = 0$

$y_{t-1}$$y_{t-2}$

$$y_{t-1} = \phi_1y_{t-2}+\phi_2y_{t-3}+\theta_1\epsilon_{t-2}+\epsilon_{t-1}\\ y_{t-2} = \phi_1y_{t-3}+\phi_2y_{t-4}+\theta_1\epsilon_{t-3}+\epsilon_{t-2}$$

$\phi_1\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-2}$$y_{t-3}$$\epsilon_{t-2}$$\epsilon_{t-1}$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

$+\phi_1\theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

इसलिए मूल मॉडल उत्तर सही था।

हालांकि, अगर कोई भी सामान्य (भले ही गन्दा) समाधान प्राप्त करने का एक वैकल्पिक तरीका सुझा सकता है, तो मुझे यह सुनकर बहुत खुशी होगी!