लॉग-सामान्य यादृच्छिक चर का सहसंबंध


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सहसंबंध गुणांक साथ और सामान्य यादृच्छिक चर को देखते हुए , मैं निम्नलिखित lognormal यादृच्छिक चर और बीच सहसंबंध कैसे ?एक्स 2 ρ वाई 1 वाई 2X1X2ρY1Y2

Y1=a1exp(μ1T+TX1)

Y2=a2exp(μ2T+TX2)

अब, यदि और , जहाँ और मानक हैं, रैखिक परिवर्तन संपत्ति से, हमें मिलता है:एक्स 2 = σ 1 Z 2 जेड 1 Z 2X1=σ1Z1X2=σ1Z2Z1Z2

Y1=a1exp(μ1T+Tσ1Z1)

Y2=a2exp(μ2T+Tσ2(ρZ1+1ρ2Z2)

अब, और बीच सहसंबंध की गणना करने के लिए यहां से कैसे ?Y 2Y1Y2


@ user862, संकेत: सामान्य रूप से द्विभाजित के अव्यवस्थित कार्य का उपयोग करें।
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समीकरण (11) को stuart.iit.edu/sared/sared_stuartfacademy/whitepapers/… (लेकिन भयानक टाइपसेटिंग के लिए देखें) देखें।
whuber

जवाबों:


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मुझे लगता है कि और एक्स 2 ~ एन ( 0 , σ 2 2 ) । निरूपित जेड मैं = exp ( X1N(0,σ12)X2N(0,σ22)। फिरZi=exp(TXi)

तोजेडमैंकर रहे हैंलॉग-सामान्य। इस प्रकार

log(Zi)N(0,Tσi2)
Zi

और Y मैं

EZi=exp(Tσi22)var(Zi)=(exp(Tσi2)1)exp(Tσi2)
EYi=aiexp(μiT)EZivar(Yi)=ai2exp(2μiT)var(Zi)

फिर हमारे पास मल्टीवीरेट सामान्य के mgf के फॉर्मूले का उपयोग करना होगा

EY1Y2=a1a2exp((μ1+μ2)T)Eexp(TX1+TX2)=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(12T(σ12+2ρσ1σ2+σ22))
cov(Y1,Y2)=EY1Y2EY1EY2=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(T2(σ12+σ22))(exp(ρσ1σ2T)1)

Y1Y2

ρY1Y2=exp(ρσ1σ2T)1(exp(σ12T)1)(exp(σ22T)1)

Note that as long as the approximation ex1+x is valid on the final formula found above one has ρY1Y2ρ.
danbarros
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