गैर-वर्णनात्मक ची-वर्ग यादृच्छिक चर का योग

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मुझे यादृच्छिक चर को खोजने की आवश्यकता है, जहां और सभी s स्वतंत्र हैं। मुझे पता है कि पहले s के लिए सभी क्षण उत्पन्न करने वाले कार्यों के उत्पाद को खोजना संभव है , और फिर के वितरण को प्राप्त करने के लिए वापस बदलना । हालांकि, मुझे आश्चर्य है कि क्या गॉसियन मामले की तरह लिए एक सामान्य रूप है : हम जानते हैं कि स्वतंत्र गॉसियन का योग अभी भी एक गाऊसी है, और इस प्रकार हमें केवल सुस्पष्ट माध्य और अभिव्यक्त विचरण को जानना होगा।

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

Y

$Y$

Y

$Y$

कैसे के बारे में सभी ? क्या यह स्थिति एक सामान्य समाधान करेगी? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— ख़तरा
स्रोत

1

यहां पहले पैराग्राफ को देखते हुए , स्पष्ट रूप से अंतिम स्थिति में पैदावार नॉनसेंटरल ची-स्क्वायर (विभाजित करके (जिस स्केल फैक्टर को आप बाहर निकालते हैं) के माध्यम से पैदावार करते हैं और में बनाते हैं। )। आपके द्वारा शुरू किया गया अधिक सामान्य रूप एक रेखीय संयोजन या स्केल-भारित-औसत की तरह दिखता है, गुणांक बजाय स्केल वर्गों की एक सादे राशि के साथ ... और मेरा मानना है कि आम तौर पर आवश्यक वितरण नहीं होगा।

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

इस बात पर निर्भर करते हुए कि आपको इसकी क्या आवश्यकता है, विशिष्ट मामलों में आप संख्यात्मक अभिसरण, या अनुकरण करने में सक्षम हो सकते हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

यह 'वितरण के लिए लॉग ची-वर्गों के भारित योग' द्वारा सामान्यीकृत है। मेरा R पैकेज

sadists लिए अनुमानित 'dpqr' फ़ंक्शन प्रदान करता है ; cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

17

जैसा कि Glen_b ने टिप्पणी में लिखा है, यदि संस्करण सभी समान हैं, तो आप एक स्केल किए गए गैर-केंद्रीय ची-वर्ग के साथ समाप्त होते हैं।

यदि नहीं, तो वहाँ एक की एक अवधारणा है सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण , यानी के लिए और तय की। इस मामले में, आप विकर्ण की विशेष परिस्थिति में ( ), और । $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

इस वितरण के साथ चीजों की गणना पर कुछ काम किया गया है:

इम्होफ़ (1961) और डेविस (1980) संख्यात्मक रूप से विशेषता फ़ंक्शन को उल्टा करते हैं।
शील और ओ'मुइरचेर्टिघ (1977) वितरण को केंद्रीय ची-स्क्वेर्ड चर के अनंत योग के रूप में लिखते हैं।
कुओनेन (1999) पीडीएफ / सीएफडी के लिए एक काठी बिंदु सन्निकटन देता है।
लियू, तांग और झांग (2009) ने इसे एक गैर-केंद्रीय ची-वर्ग वितरण पर आधारित क्यूम्यलेंट मिलान के साथ अनुमानित किया।

तुम भी स्वतंत्र noncentral ची-वर्ग चर का एक रैखिक संयोजन के रूप में यह लिख सकते हैं , जिस स्थिति में: $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Castaño-Martínez और López-Blázquez (2005) PDF / cdf के लिए एक Laguerre विस्तार देते हैं।

Bausch (2013) केंद्रीय ची-वर्गों के रैखिक संयोजन के लिए अधिक कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल एल्गोरिदम देता है; उनका काम गैर-केंद्रित ची-वर्गों के लिए एक्स्टेंसिबल हो सकता है, और आपको संबंधित कार्य अनुभाग में कुछ दिलचस्प संकेत मिल सकते हैं।

— Dougal
स्रोत

2

Duchesne et al में सन्निकटन विधियों की तुलना पाई जाती है। 2010. कम्प्यूटेशनल सांख्यिकी और डेटा विश्लेषण, 54, 858-862। लेखक कार्यान्वयन के साथ R पैकेज CompQuadForm को बनाए रखते हैं ।

— काराकल

-10

यह स्वतंत्रता की n डिग्री का ची-स्क्वायर होगा।

— अहमद
स्रोत

6

μ_{i}

$\mu_i$