सामान्य के योग का अनुपात सामान्य के क्यूब्स का योग

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कृपया मदद मुझे सीमित वितरण को खोजने के लिए (के रूप में $n \rightarrow \infty$ निम्न में से): जहां iid ।

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + \dots X_{n}^{3}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$

X_{i}

$X_i$

N (0, 1)

$N(0,1)$

distributions normal-distribution asymptotics

— अरुणांशु बिस्वास
स्रोत

1

क्या आपने यादृच्छिक चर के परिवर्तनों को देखने की कोशिश की है? उदाहरण के लिए, कोई व्यक्ति विशेष कार्य कर सकता है, लाप्लास-स्टिलटेज रूपांतरण, वगैरह।

— टिजिन

1

संकेत: अंश और हर समान रूप से द्विभाजित सामान्य हैं। आप सीधे उनके क्षणों की गणना कर सकते हैं: उनके साधन स्पष्ट रूप से शून्य हैं, अंश का भिन्नता

, हर का भिन्नता

, और सहसंयोजक

। (इस प्रकार सहसंबंध

n

$n$

15 n

$15n$

3 n

$3n$

।) सीमित वितरण ढूंढने के लिए, किसी भी शून्य मतलब द्विचर सामान्य व्यक्त

के रूप में

के लिए स्वतंत्र शून्य मतलब normals

और

और निरंतर

, तो ध्यान दें कि अनुपात

एक स्थानांतरित स्केल की गई कॉची वितरण है।

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$

(U, V)

$(U,V)$

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$

A

$A$

B

$B$

β

$\beta$

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$

— whuber

2

यदि सूत्रीकरण जहांऔरस्वतंत्र हैं, यह सिर्फ एक क्लासिक पाठ्यपुस्तक व्यायाम किया जाएगा। आप इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{Y_{1}^{3} + Y_{2}^{3} + \dots Y_{n}^{3}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$

और हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि

कम आकार के कॉची वितरण में वृद्धि करता है।

{एफ}_{n} \overset{घ}{\to} एफ, {जी}_{n} \overset{घ}{\to} जी \Rightarrow \frac{{एफ}_{n}}{{जी}_{n}} \overset{घ}{\to} \frac{एफ}{जी}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$

U

$U$

लेकिन आपके निर्माण में, हम निर्भरता के कारण प्रमेय को लागू नहीं कर सकते हैं। मेरा मोंटे-कार्लो सुझाव देता है कि की सीमा वितरण गैर-पतित है और इसका कोई पहला क्षण नहीं है और यह सममित नहीं है। मुझे इसमें दिलचस्पी होगी कि क्या इस समस्या का कोई स्पष्ट समाधान है। मुझे ऐसा लगता है कि समाधान केवल वीनर प्रक्रिया के संदर्भ में लिखा जा सकता है। $U_n$

[संपादित करें] व्हीबर के संकेत के बाद, ध्यान दें

जहांटिप्पण द्वारा किऔर। (मानक सामान्य के क्षण,

(\frac{1}{\sqrt{n}} Σ {एक्स}_{मैं}, \frac{1}{\sqrt{n}} Σ {एक्स}_{मैं}^{3}) \overset{घ}{\to} ({जेड}_{1}, {जेड}_{2})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$

({जेड}_{1}, {जेड}_{2}) ~ एन (0, (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

लिए भी) फिर निरंतर मैपिंग प्रमेय द्वारा, हमारे पास

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

यह देखते हुए कि हम

लिख सकते हैं

{यू}_{n} \overset{घ}{\to} \frac{{जेड}_{1}}{{जेड}_{2}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

जहां

और के स्वतंत्र

, हम उस निष्कर्ष निकालना

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

जहां

{यू}_{n} \overset{घ}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{5}} \frac{{जेड}_{3}}{{जेड}_{2}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— जूलियस
स्रोत

0

$X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ मैंने सुना है कि यादृच्छिक चर के अनुपात या व्युत्क्रम अक्सर समस्याग्रस्त होते हैं, अपेक्षाएं नहीं होती हैं। ऐसा क्यों है? )। लेकिन यहाँ, अंश और हर के बीच निर्भरता है जो इस मामले को जटिल बनाती है ... (स्पष्ट रूप से यहाँ अधिक विचार की आवश्यकता है)।

$x_i^3$

— kjetil b halvorsen
स्रोत