लॉग का अपेक्षित मूल्य और भिन्नता (ए)

मैं एक यादृच्छिक चर है $X(a) = \log(a)$ , जहां एक सामान्य वितरित $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ । मैं के बारे में क्या कह सकते हैं $E(X)$ और $Var(X)$ ? एक अनुमान भी मददगार होगा।

— rocksportrocker
स्रोत

मुझे लगता है कि सवाल लॉग-सामान्य के "उलटा" के बारे में था, अर्थात जहां एक सामान्य आरवी ए लॉग-सामान्य एक्स = एक्सप (ए) की ओर जाता है, प्रश्नकर्ता एक्स = लॉग (ए) के वितरण के बारे में पूछ रहा था, जो अपरिभाषित है (कभी-कभी किसी ऋणात्मक संख्या के लॉग की आवश्यकता के कारण)। काटे गए सामान्य के लिए कुछ परिणाम हो सकते हैं, लेकिन वे गड़बड़ होने की संभावना है।

— मार्टिन ओ'लेरी

रॉस्पोर्ट्रकर, जैसा कि @ मर्टिन ओ'लेरी बताते हैं, गणितीय रूप से इस तरह के एक चर

होना संभव नहीं है

X

$X$ , क्योंकि नकारात्मक मानों के लिए

\log (a)

$\log(a)$ अपरिभाषित है। कम से कम आप काट-छांट करने की जरूरत है

a

$a$ कुछ गैर नकारात्मक मूल्य पर। आप हमें बता सकते हैं आपको ऐसा क्यों लगता

a

$a$ सामान्य हो सकता है?

— whuber

यदि हम एक सामान्य अर्थ में "सन्निकटन" पर विचार करते हैं तो हम कहीं भी प्राप्त कर सकते हैं।

हमें यह मानकर चलना होगा कि हमारे पास वास्तविक सामान्य वितरण है, लेकिन ऐसा कुछ है जो घनत्व को छोड़कर लगभग सामान्य है 0 के पड़ोस में गैर-बीता नहीं हो सकता है।

तो चलो का कहना है कि चलो $a$ "लगभग सामान्य" है (और मतलब * के पास केंद्रित) भावना है कि हम के बारे में चिंताओं को दूर कर सकते हैं handwave में $a$ आ 0 (और के क्षणों पर इसके बाद के प्रभाव के पास $\log(a)$ , क्योंकि $a$ नहीं करता है 't' 0 के पास नीचे उतरें), लेकिन निर्दिष्ट सामान्य वितरण के समान कम क्रम के क्षणों के साथ, तब हम टेलर श्रृंखला का उपयोग रूपांतरित यादृच्छिक चर के क्षणों का अनुमान लगाने में कर सकते हैं ।

कुछ परिवर्तन , इसमें टेलर श्रृंखला के रूप में विस्तार करना शामिल है (थिंक जहां ' ' की भूमिका ले रहा है और लेता है ' ' की भूमिका ) और फिर उम्मीदें लेना और फिर या तो विचरण की गणना करना या विस्तार के वर्ग की अपेक्षा (जिससे विचरण प्राप्त किया जा सकता है)। $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

परिणामी अनुमानित अपेक्षा और परिवर्तन हैं:

$\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

और इसलिए (अगर मैंने कोई त्रुटि नहीं की), जब : $g() = \log()$

E [\log (a)] \approx l o g (μ_{a}) - \frac{σ_{a}^{2}}{2 μ_{a}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (a)] \approx σ_{a}^{2} / μ_{a}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* यह एक अच्छा सन्निकटन आप आमतौर पर चाहते हैं के मानक विचलन होने के लिए मतलब (भिन्नता के कम गुणांक) की तुलना में काफी कम थी। $a$

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

क्योंकि लॉग के लिए टेलर श्रृंखला में अभिसरण की अपेक्षाकृत छोटी त्रिज्या होती है, इन सन्निकटन को लागू करने में सावधानी की सलाह दी जाती है।

— whuber

मतलब के चारों ओर एक विस्तार के लिए, जब मुझे लगता है कि यह सलाह के अनुरूप होगा कि " मतलब की तुलना में का मानक विचलन काफी छोटा होना चाहिए" ताकि मेरा जवाब समाप्त हो जाए - अगर मुझे कुछ और मुद्दा याद आ रहा है तो वह सलाह कवर नहीं करता मुझे अपना उत्तर ठीक करना चाहिए।

a

$a$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

माध्य के लिए सन्निकटन लिए बहुत अच्छी तरह से काम करता है और यह कि विचरण के लिए या तो के लिए बहुत अच्छा काम करता है ।

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— whuber

किसी भी मामले में यह निश्चित रूप से स्पष्ट है कि हम परोक्ष रूप से ( के अभिसरण पर निर्भर हैं )। सुझाए गए स्पष्ट मूल्यों के लिए भी धन्यवाद; अगर कुछ भी हो सकता है कि मैं इसका इस्तेमाल करने के दौरान थोड़ा ज्यादा परेशान हूं। दो मूल्यवान टिप्पणियाँ।

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$

— Glen_b -Reinstate मोनिका