गाऊसी प्रक्रिया और विसारत वितरण के लिए सहसंयोजक मैट्रिक्स

Question

मैं सामान्यीकृत विष्ट प्रक्रियाओं (GWP) पर इस पत्र के माध्यम से पढ़ रहा हूँ । पेपर अलग-अलग यादृच्छिक चर ( गॉसियन प्रक्रिया के बाद ) के बीच सहूलियत की गणना चुकता घातीय सहसंयोजक फ़ंक्शन का उपयोग करके करता है, अर्थात, । यह तब कहता है कि यह सहसंयोजक मैट्रिक्स GWP का अनुसरण करता है।$K(x,x') = \exp\left(-\frac{|(x-x')|^2}{2l^2}\right)$

मुझे लगता है कि एक सहप्रसरण मैट्रिक्स से गणना की सोचता था रैखिक सहप्रसरण समारोह ( )$K(x,x') = x^Tx'$ , उचित मानकों के साथ विशार्ट वितरण इस प्रकार है।

मेरा सवाल यह है कि, हम अभी भी चौकोर घातीय सहसंयोजी समारोह के साथ एक विसारत वितरण का पालन करने के लिए सहसंयोजक कैसे मान सकते हैं? इसके अलावा, सामान्य तौर पर, एक संवेदी समारोह के लिए आवश्यक है कि Wishart वितरित covariance मैट्रिक्स का उत्पादन कैसे किया जाए?

Answer 1

जो मिलाया गया है वह परिवेशी स्थान के संदर्भ में सहसंयोजक विनिर्देश है जिस पर गॉसियन प्रक्रिया को परिभाषित किया गया है, और ऑपरेशन जो एक परिमित वितरण प्राप्त करने के लिए परिमित आयामी गाऊसी यादृच्छिक चर को बदल देता है।

यदि एक है पी आयामी गाऊसी यादृच्छिक चर (एक स्तंभ वेक्टर) के साथ मतलब 0 और सहप्रसरण मैट्रिक्स Σ , के वितरण डब्ल्यू = एक्स एक्स टी एक विशार्ट वितरण है डब्ल्यू पी ( Σ , 1 ) । ध्यान दें कि W एक p × p मैट्रिक्स है। इस बारे में कैसे एक सामान्य परिणाम है द्विघात रूप एक्स ↦ एक्स एक्स$\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$$p$$\Sigma$$\mathbf{W} = \mathbf{X} \mathbf{X}^T$$W_p(\Sigma, 1)$$\mathbf{W}$$p \times p$

$$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} \mathbf{x}^T$$ गौसियन डिस्ट्रीब्यूशन को विसार्ट डिस्ट्रीब्यूशन में बदल देता है। यह सकारात्मक निश्चित सहसंयोजक मैट्रिक्स किसी भी विकल्प के लिए है । यदि आपके पास iid अवलोकन X 1 , … , X n है तो W i = X i X T i के साथ W 1 + … + W n का वितरण Wishart W p ( Σ , n ) -distribution है। से विभाजित n हम अनुभवजन्य सहप्रसरण मैट्रिक्स मिल - के एक अनुमान $\Sigma$$\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_n$$\mathbf{W}_i = \mathbf{X}_i \mathbf{X}_i^T$ $$\mathbf{W}_{1} + \ldots + \mathbf{W}_n$$ $W_p(\Sigma, n)$$n$$-$$\Sigma$।

गॉसियन प्रक्रियाओं के लिए एक परिवेशी जगह होती है, जो उदाहरण के लिए यह कहती है कि यह , जैसे कि यादृच्छिक चर जिन्हें परिवेश स्थान में तत्वों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। है यही कारण है कि, हम एक प्रक्रिया पर विचार ( एक्स ( एक्स ) ) x ∈ आर । यह गाऊसी है (और सादगी के लिए, यहां मीन 0 के साथ) यदि इसका परिमित आयामी सीमांत वितरण गौसियन है, अर्थात् यदि एक्स ( एक्स 1 , … , एक्स पी ) : = ( एक्स ( एक्स 1 ) , … , एक्स ( $\mathbb{R}$$(X(x))_{x \in \mathbb{R}}$ के लिए सभी एक्स 1 , ... , एक्स पी ∈ आर । ओपी द्वारा बताए गएसहसंयोजक कार्यका चुनावसहसंयोजक मैट्रिक्स को निर्धारित करता है, अर्थात कोव ( X ( x i ) , X ( x j ) ) = Σ ( x 1

$$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) := (X(x_1), \ldots, X(x_p))^T \sim \mathcal{N}(0, \Sigma(x_1, \ldots, x_p))$$ $x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{R}$ के चुनाव की अनदेखी कश्मीर के वितरण एक्स ( एक्स 1 , ... , एक्स पी ) एक्स ( एक्स 1 , ... , एक्स पी ) टी होगा होना एक विशार्ट डब्ल्यू पी ( Σ ( एक्स 1 , ... , एक्स पी $$\text{cov}(X(x_i), X(x_j)) = \Sigma(x_1, \ldots, x_p)_{i,j} = K(x_i, x_j).$$ $K$ $$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) \mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p)^T$$ -विस्तार$W_p(\Sigma(x_1, \ldots, x_p), 1)$

Comments

इसका उत्तर देने के लिए धन्यवाद। मैं कुछ सवाल है, reg। आपका जवाब -जब आप कहते हैं कि ट्रांसफॉर्मेशन जो गॉसियन डिस्टर्ब को विशरट डिस्टर्ब में रखती है, तो वे + वे निश्चित कोवि मैट्रिक्स, हमारे पास इस कोव मैट्रिक्स के लिए क्या विकल्प हैं? इसके अलावा, केवल स्पष्ट करने के लिए- कोव फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित कोव मैट्रिक्स के लिए, मैं और जे गॉसियन प्रक्रिया के परिवेशी स्थान में तत्वों को इंगित करते हैं (उदाहरण के लिए अगर यह एक अस्थायी प्रक्रिया है, तो समय उदाहरण t_1 और t_2)?

— स्टेफिश

$i$$j$$x_i$$x_j$$\Sigma$ $-$$\Sigma$$\Sigma$

$x^{T}x$

@steadyfish, ओह, मैं देख रहा हूँ। वास्तव में, मैं प्रत्यारोपण के साथ मैला था और चाहे वैक्टर पंक्ति या स्तंभ वैक्टर थे। मैंने अब सटीक बनाया है और अनुभवजन्य सहसंयोजक मैट्रिक्स और सैद्धांतिक सहसंयोजक मैट्रिक्स के बीच के संबंध के बारे में थोड़ा जोड़ा है। अवलोकन के संदर्भ में सैद्धांतिक को परिभाषित नहीं किया गया है।

— एनआरएच