दो गाऊसी यादृच्छिक वैक्टर के आंतरिक उत्पाद का क्षण उत्पन्न करने का कार्य

क्या कोई सुझाव दे सकता है कि मैं दो गाऊसी यादृच्छिक वैक्टरों के आंतरिक उत्पाद के क्षण उत्पन्न करने की क्रिया की गणना कैसे कर सकता हूं, प्रत्येक को एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप में वितरित किया जाता है ? क्या इसके लिए कुछ मानक परिणाम उपलब्ध हैं? किसी भी पॉइंटर की बहुत सराहना की जाती है। $\mathcal N(0,\sigma^2)$

— abhibhat
स्रोत

सबसे पहले हम संबोधित करते हैं । अंत में मनमाना लिए (आसान) सामान्यीकरण है । $\Sigma = \sigma\mathbb{I}$ $\Sigma$

आंतरिक उत्पाद को देखने से शुरू होता है IID चर का योग, उनमें से प्रत्येक दो स्वतंत्र सामान्य चर का उत्पाद है , जिससे बाद के mgf को खोजने के लिए सवाल कम हो जाता है, क्योंकि योग का mgf एक योग है mgfs का उत्पाद। $(0,\sigma)$

एमजीएफ को एकीकरण द्वारा पाया जा सकता है, लेकिन इसका एक आसान तरीका है। जब और मानक सामान्य होते हैं, $X$ $Y$

X Y = ((X + Y) / 2)^{2} - ((X - Y) / 2)^{2}

$XY = ((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2$

दो स्वतंत्र स्केल ची-वर्ग भिन्न का अंतर है। (स्केल फैक्टर क्योंकि बराबर का वैरिएशन। क्योंकि ची-स्क्वेयर्ड वेरिएंट का mgf , mgf है। in है और mgf का है । गुणा करने पर, हम पाते हैं कि वांछित mgf बराबर है । $1/2$ $(X\pm Y)/2$ $1/2$ $1/\sqrt{1 - 2\omega}$ $((X+Y)/2)^2$ $1/\sqrt{1-\omega}$ $-((X-Y)/2)^2$ $1/\sqrt{1+\omega}$ $1/\sqrt{1-\omega^2}$

(बाद के संदर्भ के लिए, ध्यान दें कि जब और द्वारा पुन: व्यवस्थित किए जाते हैं , तो उनके उत्पाद को , whence द्वारा स्केल किया जाना चाहिए , भी।) $X$ $Y$ $\sigma$ $\sigma^2$ $\omega$ $\sigma^2$

यह परिचित दिखना चाहिए: कुछ निरंतर कारकों और एक संकेत तक, यह डिग्री की स्वतंत्रता के साथ एक छात्र टी वितरण के लिए संभावना घनत्व जैसा दिखता है । (वास्तव में, अगर हम mgfs के बजाय विशेषता कार्यों के साथ काम कर रहे थे, तो हम , जो कि एक छात्र t PDF के भी करीब है।) कोई बात नहीं। एक छात्र के रूप में dfs के साथ - यह सब मायने रखता है कि पड़ोस में mgf विश्लेषणात्मक हो और यह स्पष्ट रूप से (द्विपद प्रमेय द्वारा) है। $0$ $1/\sqrt{1 + \omega^2}$ $0$ $0$

यह इन के भीतरी उत्पाद के वितरण आईआईडी इस प्रकार गाऊसी तुरंत कि -vectors एमजीएफ के बराबर है , इस एमजीएफ के गुना उत्पाद $n$ $n$

(1 - ω^{2} σ^{4})^{- n / 2}, n = 1, 2, \dots .

$(1 - \omega^2 \sigma^4)^{-n/2}, \quad n=1, 2, \ldots.$

तक को देख छात्र टी वितरण की विशेषता समारोह, हम (बीजगणित का एक छोटा सा या एक एकीकरण के साथ सामान्य निरंतर खोजने के लिए) अनुमान है कि पीडीएफ से ही दिया जाता है

f_{n, σ} (x) = \frac{2^{\frac{1 - n}{2}} | x |^{\frac{n - 1}{2}} K_{\frac{n - 1}{2}} (\frac{| x |}{σ^{2}})}{\sqrt{π} σ^{4} Γ (\frac{n}{2})}

$f_{n,\sigma}(x) = \frac{2^{\frac{1-n}{2}} |x|^{\frac{n-1}{2}} K_{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{|x|}{\sigma ^2}\right)}{\sqrt{\pi } \sigma ^4 \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$

( एक बेसेल फ़ंक्शन है)। $K$

उदाहरण के लिए, यहाँ उस पीडीएफ का एक प्लॉट है, जो ऐसे आंतरिक उत्पादों के यादृच्छिक नमूने के हिस्टोग्राम पर स्थित है, जहां और : $10^5$ $\sigma=1/2$ $n=3$

हिस्टोग्राम

एक सिमुलेशन से mgf की सटीकता की पुष्टि करना कठिन है, लेकिन ध्यान दें (द्विपद प्रमेय से)

(1 + t^{2} σ^{4})^{- 3 / 2} = 1 - \frac{3 σ^{4} t^{2}}{2} + \frac{15 σ^{8} t^{4}}{8} - \frac{35 σ^{12} t^{6}}{16} + \frac{315 σ^{16} t^{8}}{128} + \dots,

$(1 + t^2 \sigma^4)^{-3/2} = 1-\frac{3 \sigma ^4 t^2}{2}+\frac{15 \sigma ^8 t^4}{8}-\frac{35 \sigma ^{12} t^6}{16}+\frac{315 \sigma ^{16} t^8}{128}+\ldots,$

जिससे हम क्षण भर में पढ़ सकते हैं (भाज्य द्वारा विभाजित)। बारे में समरूपता के कारण , केवल क्षण भी मायने रखता है। लिए हम इस सिमुलेशन के कच्चे क्षणों की तुलना में निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं: $0$ $\sigma=1/2$

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

जैसा कि उम्मीद की जा रही है, सिमुलेशन के उच्च क्षण एमजीएफ द्वारा दिए गए क्षणों से प्रस्थान करना शुरू कर देंगे; लेकिन कम से कम दसवें क्षण के माध्यम से, उत्कृष्ट समझौता है।

संयोग से, जब वितरण द्वि-घातीय है। $n=2$

सामान्य मामले को संभालने के लिए, ध्यान दें कि आंतरिक उत्पाद एक समन्वय-स्वतंत्र वस्तु है। इसलिए हम निर्देशांक के रूप में के प्रमुख दिशा-निर्देश (eigenvectors) ले सकते हैं । इन निर्देशांक में आंतरिक उत्पाद स्वतंत्र सामान्य चर के स्वतंत्र उत्पादों का योग है , प्रत्येक घटक इसके संबंधित आइगेनवैल्यू के बराबर विचरण के साथ वितरित किया जाता है। इस प्रकार, ईगेंवल्यूल्स को ( ) के साथ देने से, mgf बराबर है $\Sigma$ $\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$ $0 \le d \le n$

{(\prod_{i = 1}^{d} (1 - ω^{2} σ_{i}^{4}))}^{- 1 / 2} .

$\left(\prod_{i=1}^d (1 - \omega^2\sigma_i^4)\right)^{-1/2}.$

यह पुष्टि करने के लिए कि मैंने इस तर्क में कोई त्रुटि नहीं की है, मैंने एक उदाहरण पर काम किया है जहाँ मैट्रिक्स है $\Sigma$

(\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{8} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$

और गणना की है कि इसके eigenvalues हैं

(σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, σ_{3}^{2}) = (\frac{1}{16} (17 + \sqrt{65}), \frac{1}{16} (17 - \sqrt{65}), \frac{3}{8}) \approx (1.56639, 0.558609, 0.375) .

$\left(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\right) = \left(\frac{1}{16} \left(17+\sqrt{65}\right),\frac{1}{16} \left(17-\sqrt{65}\right),\frac{3}{8}\right)\approx \left(1.56639,0.558609,0.375\right).$

संख्यात्मक फ़ंक्शन के फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म का आंकलन करके पीडीएफ की गणना करना संभव था (जैसा कि यहां दिए गए एमजीएफ सूत्र से लिया गया है): इस पीडीएफ का एक प्लॉट निम्न आकृति में एक लाल रेखा के रूप में दिखाया गया है। उसी समय, मैंने iid को नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन से और दूसरा iid को उसी तरह से किया, और डॉट प्रोडक्ट्स । साजिश इन डॉट उत्पादों के हिस्टोग्राम को दिखाती है (कुछ सबसे चरम मूल्यों को छोड़ते हुए - सीमा से ): $10^6$ $X_i$ $(0,\Sigma)$ $10^6$ $Y_i$ $10^6$ $X_i\cdot Y_i$ $-12$ $15$

हिस्टोग्राम और पीडीएफ

पहले की तरह, समझौता उत्कृष्ट है। इसके अलावा, क्षण आठवें और यथोचित रूप से दसवें पर भी अच्छी तरह से मेल खाते हैं:

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

परिशिष्ट

(9 अगस्त 2013 को जोड़ा गया।)

$f_{n,\sigma}$ विचरण-गामा वितरण का एक उदाहरण है , जिसे मूल रूप से "सामान्य विचरण-मतलब मिश्रण के रूप में परिभाषित किया गया था जहां मिश्रण घनत्व गामा वितरण है।" इसका एक मानक स्थान ( ), एसिमेट्री पैरामीटर (यह सममित है), स्केल पैरामीटर , और आकार पैरामीटर (विकिपीडिया पैरामीटर के अनुसार) है। $0$ $0$ $\sigma^2$ $n/2$

— व्हीबर
स्रोत

हेलो व्हीबर, विस्तृत विवरण के लिए बहुत बहुत धन्यवाद। मुझे एक संदेह है, हालांकि। जब सामान्य है, आंतरिक उत्पाद के योग के विस्तार में शर्तें अब iid नहीं हैं; इसलिए योग का mgf mgf का उत्पाद नहीं है। फिर, हम उपरोक्त विश्लेषण को अधिक सामान्य सिग्मा के लिए कैसे सामान्य करते हैं?

Σ

$\Sigma$

— अबिबत

मैंने इस सामान्यीकरण के कुछ (आसान) विवरण प्रदान करने के लिए एक नया खंड जोड़ा, जिससे यह स्पष्ट हो सके कि यहाँ कुछ भी नया शामिल नहीं है। आप एमजीएफ के बुनियादी गुणों का उपयोग उस स्थिति में एमजीएफ को लिखने के लिए भी कर सकते हैं, जहां डेटा में नॉनजरो का अर्थ है, जिससे समस्या का पूरी तरह से समाधान हो सके।

— whuber