क्या मैं चर के लिए एक सहसंयोजक मैट्रिक्स को अनिश्चितताओं में बदल सकता हूं?

Question

मैं एक जीपीएस यूनिट है कि एक शोर आउटपुट माप के माध्यम से सहप्रसरण मैट्रिक्स है :$\Sigma$

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(इसमें भी शामिल है लेकिन आइए इसे अनदेखा करें जो एक सेकंड के लिए है।)$t$

मान लीजिए मैं किसी और को बताना चाहता हूं कि प्रत्येक दिशा में सटीकता ( ) कुछ संख्या है। μ एक्स , μ y , μ जेड । कहने के लिए है कि, मेरे जीपीएस मुझे का एक पढ़ने दे सकते हैं एक्स = ˉ एक्स ± μ एक्स , आदि मेरी समझ यह है कि μ इस मामले में तात्पर्य है कि सभी measurands एक दूसरे से स्वतंत्र हैं (यानी, सहप्रसरण मैट्रिक्स विकर्ण है)। इसके अलावा, वेक्टर त्रुटि का पता लगाना भी उतना ही सरल है जितना कि क्वाडरेचर (स्क्वायर के योग का वर्गमूल) में त्रुटियों को जोड़ना।$x,y,z$$\mu_x, \mu_y, \mu_z$$x=\bar{x}\pm\mu_x$$\mu$

यदि मेरा सहसंयोजक मैट्रिक्स विकर्ण नहीं है तो क्या होगा? वहाँ एक सरल संख्या है कि के प्रभाव शामिल हैं y और z दिशाओं? मुझे कैसे पता चलेगा कि एक सहसंयोजक मैट्रिक्स दिया गया है?$\mu_x^*$$y$$z$

Comments

द्विघात में त्रुटियों को जोड़कर वेक्टर त्रुटि को खोजने का क्या मतलब है? आपकी प्रत्येक दिशा एक अलग मात्रा में एक त्रुटि है - द्विघात में त्रुटियों को जोड़ना तब है जब आप एक मात्रा पर त्रुटि के कई स्रोतों का संयोजन कर रहे हैं। क्या आप वेक्टर त्रुटि मतलब की परिकल्पना करते हैं?

— कोरोन

एक साइड नोट - कई प्रतिगमन लोगों में अक्सर प्रतिगमन गुणांक की मानक त्रुटि बताई जाती है, लेकिन वास्तव में विभिन्न गुणांक के लिए अनुमान सहसंबद्ध होते हैं। 95% विश्वास दीर्घवृत्त का उत्पादन करना संभव है जो कई आयामों में अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करता है - आप जिस स्थिति पर विचार कर रहे हैं, उसके अनुरूप।

— सिल्वरफिश

Answer 1

कोई भी एक संख्या नहीं है जो सभी सहसंयोजक सूचनाओं को समाहित करती है - सूचना के 6 टुकड़े हैं, इसलिए आपको हमेशा 6 नंबरों की आवश्यकता होगी।

हालाँकि ऐसी कई चीज़ें हैं जिन्हें आप करने पर विचार कर सकते हैं।

सबसे पहले, त्रुटि (विचरण) किसी विशेष दिशा में , द्वारा दिया जाता है$i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

जहाँ ब्याज की दिशा में इकाई वेक्टर है।$\mathbf{e}_i$

$(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

तो अलग से विचार किए गए प्रत्येक दिशा में त्रुटि कोविर्सियस मैट्रिक्स के विकर्ण द्वारा दी गई है। इससे समझ में आता है - अगर मैं केवल एक दिशा पर विचार कर रहा हूं, तो सिर्फ सहसंबंध को बदलने से कोई फर्क नहीं पड़ना चाहिए।

आप यह कहते हुए ध्यान देने योग्य हैं कि बस

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

उन तीन बयानों के बीच कोई संबंध नहीं है - अपने आप में प्रत्येक कथन पूरी तरह से सही है, लेकिन कुछ जानकारी (सहसंबंध) को एक साथ ले लिया गया है।

यदि आप एक ही त्रुटि सहसंबंध के साथ प्रत्येक माप ले रहे होंगे (यह देखते हुए कि यह माप उपकरणों से आता है) तो एक सुरुचिपूर्ण संभावना है कि आप अपने निर्देशांक को घुमाएं ताकि आपके सहसंयोजक मैट्रिक्स को तिरछे कर सकें। तब आप उनमें से प्रत्येक दिशा में त्रुटियों को अलग-अलग प्रस्तुत कर सकते हैं क्योंकि वे अब असंबंधित होंगे।

चतुर्थांश में जोड़कर "वेक्टर त्रुटि" लेने के रूप में मुझे यकीन नहीं है कि मैं समझ रहा हूं कि आप क्या कह रहे हैं। ये तीन त्रुटियां अलग-अलग मात्रा में त्रुटियां हैं - वे एक दूसरे को रद्द नहीं करते हैं और इसलिए मैं नहीं देखता कि आप उन्हें एक साथ कैसे जोड़ सकते हैं। क्या आप दूरी में त्रुटि का मतलब है?

Comments

हां, मेरा मतलब है कि कुल दूरी में त्रुटि, भ्रम के लिए खेद है।

— डांग खोआ

लेकिन दूरी नहीं है $d = x + y + z$(जब तक आप वास्तव में टैक्सी-कैब दूरी का मतलब नहीं करते हैं?), इसलिए त्रुटियों को चतुर्भुज में नहीं जोड़ा जाएगा? अगर हम सामान्यता मान लेते हैं$d^2 = x^2 + y^2 + z^2$स्वतंत्रता के 3 डिग्री पर एक गैर-केंद्रीय ची-चुकता वितरण होगा। मुझे लगता है कि दूरी का वितरण कुछ सरल अनुमानों के बिना गड़बड़ हो रहा है।

— Corone

@ कोरोन, जब आप कहते हैं "सबसे पहले, किसी विशेष दिशा में त्रुटि" क्या आप त्रुटि कहकर विचरण की बात कर रहे हैं?

— क्रोको

@ क्रॉ हाँ हाँ यह सही है क्योंकि हम जो शुरू कर रहे हैं वह सहवास है

— कोरोन