एक अनंत यादृच्छिक ज्यामितीय ग्राफ में यादृच्छिक रूप से चलने वाले रोबोट की घनत्व

एक अनंत यादृच्छिक ज्यामितीय ग्राफ पर विचार करें जिसमें नोड स्थान घनत्व साथ एक पॉइज़न बिंदु प्रक्रिया का पालन करते हैं और किनारों को नोड्स के बीच रखा जाता है जो करीब हैं । इसलिए, किनारों की लंबाई निम्नलिखित पीडीएफ का पालन करती है: $\rho$ $d$

f (l) = {\begin{cases} \frac{2 l}{d^{2}} l \leq d \\ 0 l > d \end{cases}

$f(l)= \begin{cases} \frac{2 l}{d^2} \;\quad l \le d \\ 0 \qquad\; l > d \end{cases}$

उपरोक्त ग्राफ में, मूल पर केंद्रित त्रिज्या के सर्कल के अंदर नोड्स पर विचार करें । मान लें, समय , हम प्रत्येक उल्लिखित नोड के अंदर एक छोटा रोबोट रखते हैं। यह है कि, विमान में रोबोट का घनत्व किसके द्वारा दिया गया है: $r$ $t=0$

जहाँकी उत्पत्ति से दूरी है। निम्नलिखित आंकड़ा रोबोटों के प्रारंभिक प्लेसमेंट का एक उदाहरण दिखाता है।

g (l) = {\begin{cases} ρ l \leq r \\ 0 l > d \end{cases}

$g(l)= \begin{cases} \rho \quad l \le r \\ 0 \quad\; l > d \end{cases}$

l

$l$

उदाहरण

प्रत्येक समय कदम पर, रोबोट यादृच्छिक रूप से पड़ोसियों में से एक में जाते हैं।

अब, मेरा प्रश्न यह है कि: पर रोबोट का घनत्व कार्य क्या है ? क्या घनत्व की गणना संभव है जब ? $t>0$ $t \rightarrow \infty$

क्षमा करें दोस्तों, मैं किसी भी तरह से गणितज्ञ नहीं हूं। कृपया मुझे बताएं कि क्या कुछ स्पष्ट नहीं है।

— हीलियम
स्रोत

संपादक या लेखक के रूप में वोल्फगैंग Woess की किताबें देखें। एक हालिया संग्रह: रैंडम वॉक, बाउंड्री और स्पेक्ट्रा। Birkhauser, 2011. 2000 से (कैम्ब्रिज Univ.Press): अनंत रेखांकन और समूहों पर यादृच्छिक चलता है।

— हिरण हंटर

शुक्रिया हंटर। मुझे उनकी 2011 की पुस्तक पर एक त्वरित नज़र थी लेकिन मुझे इससे संबंधित कुछ भी नहीं मिला। मेरे पास अभी एक 2000 तक पहुंच नहीं है, लेकिन एक बार मिल जाने के बाद मैं इसे देखूंगा। कृपया मुझे बताएं कि क्या आपको पुस्तकों से अधिक विशिष्ट कुछ याद है।

— हीलियम

यहाँ एक शुरुआत है।

चलो गेंद आप विचार कर रहे की त्रिज्या। $r = d/2$

सबसे पहले, यादृच्छिक क्षेत्रों के बारे में पढ़ें: http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk । मान लें कि आपके पास केवल एक रोबोट है, और मान लें कि आपका यादृच्छिक चलना दो आयामी जाली पर है। छोटे , यह मैट्रिक्स गुणन के साथ गणना करना आसान है। आप जानते हैं कि जाली में केवल संभव बिंदु हैं, जिस पर आप चरणों के बाद या भूमि पर कदम रख सकते हैं । चलो होना इनमें से निकटता मैट्रिक्स कोने। चलो $t$ $n = 1 + 4t + 2t(t-1)$ $t$ $A_t$ $n \times n$ $n$ सभी के वेक्टर होएक को छोड़कर रोंमेंवें स्थान। मान लें कि की पहली पंक्ति (और स्तंभ)मूल से मेल खाती है। फिर, संभावना है कि आप शीर्ष पर हैंके बादकदम दूर है (जहां प्रधानमंत्री साधन स्थानांतरित, और $e_{i,t} \in \{0,1\}^n$ $0$ $1$ $i$ $A_t$ $i$ $t$ $e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$ $A^t = A \times A \cdots \times A$ है उठाया वें शक्ति)। मुझे पूरा यकीन है कि आपको इसे स्पष्ट रूप से हल करने में सक्षम होना चाहिए। आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि मानदंड में मूल से समान दूरी पर सब कुछ समान घनत्व होना चाहिए। $A$ $t$ $\cal L_1$

इसके बाद वार्म अप करें, अपने मूल प्रश्न पर चलते हैं। बाद कदम, आप केवल परिमित ग्राफ उस दायरे में है विचार करने की जरूरत मूल के आसपास गेंद (अन्य सभी स्थानों संभावना है के बाद ही पहुंचा जा सकता होने के $t$ $r(t+1)$ $0$ $t$ $q$ $t$ $(x,y)$ $t$ $f_t(x,y)$ $f_t$ $r$ $X$

$U$ $M$ $MU + X$

$X$

— user1448319
स्रोत

t

$t$

t = 0

$t = 0$

t = 1

$t = 1$

t = 2

$t = 2$

t^{2}

$t^2$

n = 1 + 4 t + 2 (t - 1)^{2}

$n = 1 + 4t + 2(t-1)^2$

n = 1 + 4 t + 2 t (t - 1) = 1 + 2 t + 2 t^{2}

$n= 1 + 4t + 2t(t-1) = 1 + 2t + 2t^2$

1

$1$

+ 4 t

$+4t$

+ 2 t (t - 1)

$+2t(t-1)$

t = 2

$t=2$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0), (2, 0)

$(1,0), (2, 0)$

(1, 1)

$(1,1)$

(1, 0)

$(1,0)$

Z^{2}

$\mathbb Z^2$

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

A_{t}

$A_t$

$n=1+4t+2(t−1)^2$ $t$