इस असतत वितरण (पुनरावर्ती अंतर समीकरण) का नाम क्या है?

Question

मैं एक कंप्यूटर गेम में इस वितरण में आया था और इसके व्यवहार के बारे में अधिक जानना चाहता था। यह निर्णय के रूप में आता है कि क्या खिलाड़ी के कार्यों की संख्या के बाद एक निश्चित घटना होनी चाहिए। इससे आगे का विवरण प्रासंगिक नहीं है। यह अन्य स्थितियों पर लागू होता है, और मुझे यह दिलचस्प लगा क्योंकि यह गणना करना आसान है और एक लंबी पूंछ बनाता है।

हर कदम , खेल एक समान यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करता है । यदि , तो घटना ट्रिगर है। एक बार घटना होने के बाद, खेल रीसेट करता है और फिर से अनुक्रम से चलता है। मैं केवल इस समस्या के लिए ईवेंट की एक घटना में दिलचस्पी लेता हूं, क्योंकि यह उस वितरण का प्रतिनिधित्व करता है जो खेल का उपयोग कर रहा है। (साथ ही, कई घटनाओं के संबंध में किसी भी प्रश्न का उत्तर एकल घटना मॉडल के साथ दिया जा सकता है।)$n$$0 \leq X < 1$$X < p(n)$$n = 0$

यहां मुख्य "असामान्यता" यह है कि इस वितरण में संभावना पैरामीटर समय के साथ बढ़ता है, या एक और तरीका डालता है, समय के साथ सीमा बढ़ जाती है। उदाहरण में यह रैखिक रूप से बदलता है लेकिन मुझे लगता है कि अन्य नियम लागू हो सकते हैं। उपयोगकर्ता द्वारा चरणों, या कार्यों के बाद ,$n$

$$p(n) = kn$$

कुछ निरंतर । एक निश्चित बिंदु , हमें p (n _ {\ max}) \ geq 1 मिलता है । उस चरण में घटना घटित होने की गारंटी है।$0 < k < 1$$n_{\max}$$p(n_{\max}) \geq 1$

मैं यह निर्धारित करने में सक्षम था

$$f(n) = p(n)\left[1 - F(n - 1)\right]$$ और $$F(n) = p(n) + F(n-1)\left[1 - p(n)\right]$$ पीएमएफ के लिए सही] $f(n)$ और सीडीएफ $F(n)$ । संक्षेप में, $n$ वें कदम पर होने वाली घटना प्रायिकता p (n) के बराबर है $p(n)$, यह संभावना कम है कि यह पहले से ही किसी पूर्ववर्ती कदम पर हुआ है।

यहाँ हमारे मित्र मोंटे कार्लो से एक भूखंड है, मज़े के लिए, $k \approx 0.003$ । मंझला 21 और औसत 22 तक काम करता है।

यह मोटे तौर पर डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग के पहले-क्रम के अंतर समीकरण के बराबर है, जो कि मेरी पृष्ठभूमि है, और इसलिए मैंने पाया कि काफी उपन्यास। मैं इस धारणा से भी सहमत हूँ कि $p(n)$ किसी भी मनमाने फॉर्मूले के अनुसार भिन्न हो सकता है।

मेरे सवाल:

1. इस वितरण का नाम क्या है, अगर यह एक है?
2. वहाँ के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए कोई तरीका है के संदर्भ के बिना ?$f(n)$$F(n)$
3. वहाँ असतत पुनरावर्ती वितरण के अन्य उदाहरण हैं?

यादृच्छिक संख्या पीढ़ी के बारे में स्पष्ट प्रक्रिया संपादित करता है ।

Comments

आपने () के बजाय किसी वर्ग को चुना है?

— Cam.Davidson.Pilon 22

@ Cam.Davidson.Pilon: मेरा DSP बैकग्राउंड अंदर घुस गया। हम असतत समय कार्यों के लिए वर्ग कोष्ठक का उपयोग करते हैं। मुझे लगता है कि यह मरोड़ना होगा इसलिए मैं इसे बदल दूंगा।

— जब्बालो

आप जिस प्रक्रिया को मान रहे हैं वह यहां स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। आप कहते हैं, "हर चरण , खेल एक यादृच्छिक संख्या रोल करता है । यदि , तो घटना को ट्रिगर किया जाता है।" लेकिन, आप इस बात के लिए कोई विनिर्देश नहीं देते हैं कि कैसे तैयार किया जाता है। मुझे लगता है कि यह मददगार होगा अगर इस प्रक्रिया को थोड़ा और सटीक बताया जा सके। $n$$X$$X < p(n)$$X$

— कार्डिनल

@jbarlow: क्षमा करें यदि मेरी पिछली टिप्पणी अस्पष्ट थी। यदि कुछ लिए , तो कोई तरीका नहीं है कि आपकी प्रक्रिया से अधिक चरण हो सकती है क्योंकि शून्य और एक के बीच एक समान यादृच्छिक संख्या निश्चित रूप से छोटी होगी की तुलना में किसी के लिए । मात्रा के एक समारोह के रूप में बहुत बारीकी से क्या कहा जाता है से संबंधित है खतरा समारोह के रूप में जाना आँकड़ों के उप क्षेत्र में अस्तित्व विश्लेषण । $p(n) = k n$$0 < k < 1$$\lceil k^{-1} \rceil$$p(n)$$n > 1/k$$p(n)$$n$

— कार्डिनल

छोटे के लिए , इस अंतर समीकरण शो के अंतर अनुरूप है कि का उपयोग कर ( नहीं !) गाऊसी के करीब है। (इससे हम तुरंत उदाहरण के लिए, कटौती करते हैं, कि इसका मतलब ) के पास होना चाहिए । कृपया ध्यान दें, कि , पर कुछ (मजबूत) प्रतिबंध हैं । अन्यथा के लिए एक बार से अधिक हो जाता है (जो अंततः होता है), इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि से कम या बराबर है । $k$$F$ $f$$\sqrt{1/k}=\sqrt{333}\approx 18$$k$$p(n)$$1$$F$$1$

— whuber

Answer 1

एक मायने में, आपने जो किया है वह सभी गैर-पूर्णांक पूर्णांक-मूल्यवान वितरणों की विशेषता है।

आइए एक पल के लिए यादृच्छिक प्रक्रिया का वर्णन सेट करें और प्रश्न में पुनरावर्ती पर ध्यान केंद्रित करें।

यदि , तो निश्चित रूप से । यदि हम उत्तरजीविता फ़ंक्शन (जहां का वितरण ) के संदर्भ में इस दूसरी फिर से लिखते हैं , तो हमें कुछ बहुत ही विचारोत्तेजक और संभालना आसान हो जाता है। स्पष्ट रूप से, और इसलिए इस प्रकार, जब तक हमारा अनुक्रम मानों में ले जाता है और बहुत तेजी से शून्य में परिवर्तित नहीं होता है, तब तक हम एक वैध उत्तरजीविता फ़ंक्शन (यानी, मोनोटोनॉनिक रूप से शून्य से घटकर ) प्राप्त करेंगे।$f_n = p_n (1 - F_{n-1})$$F_n = p_n + (1-p_n) F_{n-1}$ $S_n = 1 - F_n = \mathbb P(T > n)$$T$$F$

$$S_n = 1 - F_n = (1-p_n) S_{n-1} \>,$$ $$S_n = \prod_{k=0}^n (1-p_k) \> .$$ $(p_n)$$[0,1]$$n \to \infty$

अधिक विशेष रूप से,

प्रस्ताव : में मान लेने वाला एक अनुक्रम यदि और केवल if पर nonnegative पूर्णांक पर वितरण को निर्धारित करता है और इस तरह के सभी वितरणों का क्रम एक समान है (हालांकि यह अद्वितीय नहीं हो सकता है)।$(p_n)$$[0,1]$

$$-\sum_{n=0}^\infty \log(1-p_n) = \infty \>,$$

इस प्रकार, प्रश्न में लिखी गई पुनरावृत्ति पूरी तरह से सामान्य है : किसी भी गैर-पूर्णांक पूर्णांक मूल्य वितरण का एक समान क्रम है जिसमें मान लिया जाता है ।$(p_n)$$[0,1]$

हालांकि, काफिला सच नहीं है; यही है, में मूल्यों के साथ अनुक्रम जो किसी भी वैध वितरण के अनुरूप नहीं हैं। (विशेष रूप से, सभी लिए और लिए ।)$(p_n)$$[0,1]$$0 < p_n < 1$$n \leq N$$p_n = 0$$n > N$

लेकिन, रुको, वहाँ अधिक है!

हमने उत्तरजीविता विश्लेषण के संबंध में संकेत दिया है और यह थोड़ा और गहराई से देखने लायक है। एक बिल्कुल निरंतर वितरण के साथ शास्त्रीय अस्तित्व विश्लेषण में और इसी घनत्व , खतरा समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है $F$$f$

$$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} \>.$$

संचयी खतरा तो है और डेरिवेटिव शो की एक सरल विश्लेषण है कि इस से, हम तुरंत एक स्वीकार्य खतरा समारोह का एक लक्षण वर्णन दे सकते हैं: यह किसी भी औसत दर्जे का समारोह है ऐसी है कि सभी के लिए और के रूप में ।$\Lambda(t) = \int_0^t h(s) \,\mathrm d s$

$$S(t) = \exp(-\Lambda(t)) = \exp\Big(-\int_0^t h(s) \,\mathrm d s\Big)\>.$$ $h$$h(t) \geq 0$$t$$\int_0^t h(s) \,\mathrm d s \uparrow \infty$$t \to \infty$

हम जीवित व्यक्ति के कार्य के लिए एक समान पुनरावृत्ति प्राप्त करते हैं, जो कि$t > t_0$

$$S(t) = e^{-\int_{t_0}^t h(s) \,\mathrm d s} S(t_0) \>.$$

विशेष रूप से निरीक्षण करें कि हम को चुना जा सकता है ताकि प्रत्येक टुकड़ा चौड़ाई 1 के साथ स्थिर हो और इस तरह इंटीग्रल अनन्तता में परिवर्तित हो जाए। यह एक जीवित फ़ंक्शन उत्पन्न करेगा जो कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक पर एक वांछित असतत गैर-पूर्णांक पूर्णांक से मेल खाता है।$h(t)$$S(t)$

असतत मामले में वापस कनेक्ट करना

एक वांछित असतत मिलान करने के लिए प्रत्येक पूर्णांक में, हम एक खतरा समारोह है कि piecewise स्थिर है ऐसी है कि चयन करना चाहिए पर । यह एक वैध वितरण को परिभाषित करने के लिए अनुक्रम लिए आवश्यक स्थिति का दूसरा प्रमाण प्रदान करता है ।$S(n)$

$$h(t) = h_n = -\log(1-p_n)\>,$$ $(n-1,n]$$(p_n)$

ध्यान दें कि, छोटे , जो एक निरंतर वितरण के खतरनाक कार्य और मिलान अस्तित्व समारोह के साथ वितरण के बीच एक कनेक्शन प्रदान करता है। पूर्णांकों।$p_n$$-\log(1-p_n) \approx p_n = f_n / S_{n-1}$

पोस्टस्क्रिप्ट : अंतिम नोट के रूप में, प्रश्न में उदाहरण , एक उपयुक्त संशोधन के बिना आवश्यक शर्तों को सेट और को सभी पर संतुष्ट नहीं करता है। ।$p_n = k n$$f_n$$n = \lceil k^{-1} \rceil$$f_n = 0$$n > \lceil k^{-1} \rceil$

Comments

+1 बहुत रोशन। लेकिन, पोस्टस्क्रिप्ट के संबंध में, मुझे ऐसा लगता है कि "उचित ट्रंकेशन" विशेष मूल्यों के लिए निश्चित रूप से होता है । उदाहरण के लिए, साथ हम , और अधिक सामान्यतः, हम । $k$$k=1/2$$f=(0,1/2,1/2,0,\ldots)$$k=1/m$$f(m+1)=f(m+2)=\cdots=0$

— whuber

@ वाउचर: मुझे "उपयुक्त ट्रंकेशन" से स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना चाहिए था। मैं निर्दिष्ट बिंदु पर के मूल्य को छोटा करने (सिकोड़ने) के बारे में सोच रहा था (ताकि एकता बन जाए)। मुझे लगता है कि आपके द्वारा मामले में धारणा अभी भी मान्य है, बस यह कि ट्रंकेशन के मूल्य में परिवर्तन नहीं करेगा । मैं शीघ्र ही इसे संपादित करने का प्रयास करूँगा। धन्यवाद! $f_n$$F_n$$f_n$

— कार्डिनल

बहुत बढ़िया जवाब। यह बहुत ही व्यावहारिक है। मैं वास्तव में इस समस्या को अन्य क्षेत्रों और अवधारणाओं से जुड़ा हुआ देखना चाहता था।

— जर्बलो

@jbarlow: धन्यवाद। मुझे खुशी है कि आपने इसे उपयोगी पाया! मुझे इसके बारे में थोड़ा सोचने में मज़ा आया, क्योंकि यह एक अच्छा सवाल है।

— कार्डिनल

Answer 2

मामले में , हमारे पास कुछ ज्ञात गुण हैं। हम पुनरावृत्ति संबंध को हल कर सकते हैं$p(n) = p < 1$

$$F(n) = p + F(n-1)(1-p); \; F(0) = p$$

समाधान है

$$F(n) = P(N \le n) = 1- (1-p)^{n+1}$$ जो कि ज्यामितीय वितरण है । इसका अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है।

अधिक सामान्य मामले की गणना शायद बंद रूप में नहीं की जा सकती है, और इस प्रकार संभवतः इसका वितरण ज्ञात नहीं है।$p(n)$

अन्य मामले:

1. $p(n) = \frac{p}{n}; \; p<1; \;F(0) = p$ में समाधान जो सामान्यतः ज्ञात वितरण नहीं है। $$F(n) = 1 - \frac{(1-p)\Gamma( n + 1 -p)}{\Gamma( 1-p)\Gamma(n+1)}$$
2. परिभाषित करें (आँकड़ों में उत्तरजीविता क्रिया के रूप में जाना जाता है), ऊपर की पुनरावृत्ति का संबंध सरल रूप में घटता है: $S(n) = 1-F(n)$ $$S(n) =\left(1 - p(n) \right) S(n-1)$$
3. आपके उदाहरण से, ऐसा प्रतीत होता है कि आप एक फ़ंक्शन जो में बढ़ता है । आपकी पसंद पर ब्रेक के कारण बहुत विश्लेषणात्मक नहीं है । गणितज्ञ और सांख्यिकीविद चिकनी चीजों को पसंद करते हैं। इसलिए मैंने का प्रस्ताव किया जो और 1 में परिवर्तित होता है। इस साथ पुनरावृत्ति संबंध को हल करना , अच्छा विश्लेषणात्मक रूप है: पर विचार । एक ज्ञात स्टेट तथ्य यह है कि $p(n)$$n$$p(n) = kn$$p>1$ $$p(n) = 1 - \frac{(1-p)}{n+1} \; p<1$$ $p(0) = p$$p(n)$ $$F(n) = 1 - \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$$ $S(n) = 1 - F(n) = \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $$\sum_{i=0}^{\infty} S(i) = E[N]$$ जो, अगर आपको कुछ कैलकुलस याद है, तो एक्सपोनेंशियल टेलर सीरीज़ की तरह दिखता है, इसलिए, $$E[N] = (1-p)e^{(1-p) }$$