दो स्वतंत्र यादृच्छिक एक्स और वाई के उत्पाद का पीडीएफ क्या है, अगर एक्स और वाई स्वतंत्र हैं? X को सामान्य वितरित किया जाता है और Y को ची-स्क्वायर वितरित किया जाता है।

Z = XY

यदि $X$ सामान्य वितरण है

X \sim N (μ_{x}, σ_{x}^{2})

$X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$

f_{X} (x) = \frac{1}{σ_{x} \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} (\frac{x - μ_{x}}{σ_{x}})^{2}}

$f_X(x)={1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}e^{-{1\over2}({x-\mu_x\over\sigma_x})^2}$ और

Y

$Y$ के साथ ची-वर्ग वितरण है

k

$k$ की आजादी की डिग्री

Y \sim χ_{k}^{2}

$Y\sim \chi_k^2$

f_{Y} (y) = \frac{y^{(k / 2) - 1} e^{- y / 2}}{2^{k / 2} Γ (\frac{k}{2})} u (y)

$f_Y(y)={y^{(k/2)-1}e^{-y/2}\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}u(y)$ whre

u (y)

$u(y)$ यूनिट स्टेप फंक्शन है।

अब, यदि और के का pdf क्या है $Z$ $X$ $Y$ स्वतंत्र हैं ?

समाधान खोजने का एक तरीका रोहतगी के प्रसिद्ध परिणाम (1976, p.141) का उपयोग करना है यदि निरंतर RV का और का संयुक्त पीडीएफ हो , का पीडीएफ $f_{XY}(x,y)$ $X$ $Y$ $Z$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{| y |} f_{X Y} (\frac{z}{y}, y) d y

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{XY}({z\over y},y)dy}$

के बाद से, और स्वतंत्र हैं $X$ $Y$ $f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{| y |} f_{X} (\frac{z}{y}) f_{Y} (y) d y

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{X}({z\over y})f_{Y}(y)dy}$

हम कहाँ अभिन्न सुलझाने की समस्या का सामना

f_{Z} (z) = \frac{1}{σ_{x} \sqrt{2 π}} \frac{1}{2^{k / 2} Γ (\frac{k}{2})} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{| y |} e^{- \frac{1}{2} (\frac{\frac{z}{y} - μ_{x}}{σ_{x}})^{2}} y^{(k / 2) - 1} e^{- y / 2} d y

$f_Z(z) = {1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}{1\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{| y |} e^{- \frac{1}{2} (\frac{\frac{z}{y} - μ_{x}}{σ_{x}})^{2}} y^{(k / 2) - 1} e^{- y / 2} d y

$\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$ । इस समस्या में मेरी कोई मदद कर सकता है।

क्या इसे हल करने का कोई वैकल्पिक तरीका है?

normal-distribution chi-squared random-variable

— रोबिन
स्रोत

वह अंतिम चरण बिलकुल ठीक नहीं लगता। “

"मतलब प्रतीत होता है

, लेकिन - अधिक महत्वपूर्ण बात - आप न सिर्फ निचली सीमा को बदल सकते हैं

: आप पर दो अलग-अलग में अभिन्न तोड़ने के लिए की जरूरत है

, परिवर्तन

नकारात्मक रेंज में से एक के लिए यह सामान्यीकृत hypergeometric कार्य की एक रैखिक संयोजन देने के लिए प्रकट होता है:, और उसके बाद दो गठबंधन मेरा मानना है कि इस एकीकरण विनयशील कर सकते

f_{\frac{X}{Y}}

$f_\frac{X}{Y}$

f_{X}

$f_X$

0

$0$

0

$0$

y \to - y

$y\to -y$

— whuber

हाँ, यह एक गलती थी

होना चाहिए

f_{\frac{Z}{Y}} (\frac{z}{y})

$f_{Z\over Y}({z\over y})$

।

f_{X} (\frac{z}{y})

$f_X({z\over y})$

— रॉबिन

लेकिन मुझे लगता है कि निम्न सीमा को 0 में बदलना मान्य है क्योंकि

एक फ़ंक्शन है

जो कि इकाई चरण फ़ंक्शन

द्वारा इंगित किया गया है ।

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

u (y)

$u(y)$

— रॉबिन

I am no longer trained to this kind of computations... but it doesn’t look like it is possible to end up with a closed formula. If you need this for a practical application, I think you should focus on "how to compute this efficiently".

— Elvis

Is there any motivation for this question? A Normal divided by a

χ

$\chi$ is a Student's

t

$t$ , but why would you consider a Normal multiplied or divided by a

χ^{2}

$\chi^2$ ?

— Xi'an

simplify the term in the integral to

$T=e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} y^{k/2-2}$

find the polynomial $p(y)$ such that

$[p(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)}]'=p'(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} = T$

which reduces to finding $p(y)$ such that

$p'(y) + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' = y^{k/2-2}$

$p'(y) -\frac{1}{2} p(y) (\frac{z \mu_x }{\sigma_x^2} y^{-2} \frac{z^2}{\sigma_x^2} y^{-3} -1)= y^{k/2-2}$

which can be done evaluating all powers of $y$ seperately

edit after comments

Above solution won't work as it diverges.

Yet, some others have worked on this type of product.

Using Fourrier transform:

Schoenecker, Steven, and Tod Luginbuhl. "Characteristic Functions of the Product of Two Gaussian Random Variables and the Product of a Gaussian and a Gamma Random Variable." IEEE Signal Processing Letters 23.5 (2016): 644-647. http://ieeexplore.ieee.org/document/7425177/#full-text-section

For the product $Z=XY$ with $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ and $Y \sim \Gamma(\alpha,\beta)$ they obtained the characteristic function:

$\varphi_{Z} = \frac{1}{\beta^\alpha }\vert t \vert^{-\alpha} exp \left( \frac{1}{4\beta^2t^2} \right) D_{-\alpha} \left( \frac{1}{\beta \vert t \vert } \right)$

with $D_\alpha$ Whittaker's function ( http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_686.htm )

Using Mellin transform:

Springer and Thomson have described more generally the evaluation of products of beta, gamma and Gaussian distributed random variables.

Springer, M. D., and W. E. Thompson. "The distribution of products of beta, gamma and Gaussian random variables." SIAM Journal on Applied Mathematics 18.4 (1970): 721-737. http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065

They use the Mellin integral transform. The Mellin transform of $Z$ is the product of the Mellin transforms of $X$ and $Y$ (see http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065 or https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177730201). In the studied cases of products the reverse transform of this product can be expressed as a Meijer G-function for which they also provide and prove computational methods.

They did not analyze the product of a Gaussian and gamma distributed variable, although you might be able to use the same techniques. If I try to do this quickly then I believe it should be possible to obtain an H-function (https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-function ) although I do not directly see the possibility to get a G-function or make other simplifications.

$M\lbrace f_Y(x) \vert s \rbrace = 2^{s-1} \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

and

$M\lbrace f_X(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{(s-1)/2} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2)$

you get

$M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{\frac{3}{2}(s-1)} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2) \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

and the distribution of $Z$ is:

$f_Z(y) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} y^{-s} M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace ds$

which looks to me (after a change of variables to eliminate the $2^{\frac{3}{2}(s-1)}$ term) as at least a H-function

what is still left is the puzzle to express this inverse Mellin transform as a G function. The occurrence of both $s$ and $s/2$ complicates this. In the separate case for a product of only Gaussian distributed variables the $s/2$ could be transformed into $s$ by substituting the variable $x=w^2$ . But because of the terms of the chi-square distribution this does not work anymore. Maybe this is the reason why nobody has provided a solution for this case.

— Sextus Empiricus
स्रोत

... which yields ...?

— wolfies

it gives the antiderivative of the term in the integral that is to be solved according to the question

— Sextus Empiricus

It is unclear what progress this analysis represents. Do you obtain a solution or not?

— whuber

Finding the coefficients of the polynomial

p (y)

$p(y)$ (which closes the solution) is a tedious, but straightforward, task which I left open. I will soon enter some examples for some

k

$k$ .

— Sextus Empiricus

दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर, सामान्य और ची-वर्ग के उत्पाद का पीडीएफ

edit after comments

Using Fourrier transform:

Using Mellin transform: