पल-पल कार्य और विशेषता फ़ंक्शन के बीच लिंक

मैं पल-पल कार्य और विशेषता फ़ंक्शन के बीच लिंक को समझने की कोशिश कर रहा हूं। क्षण-उत्पादक फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

के श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके , मैं यादृच्छिक चर के लिए वितरण के सभी क्षणों को पा सकता हूं एक्स। $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

विशेषता फ़ंक्शन को इस रूप में परिभाषित किया गया है:

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

मैं पूरी तरह से समझ में नहीं आता क्या जानकारी काल्पनिक संख्या है मुझे और अधिक देता है। मैं देख रहा हूं कि और इस प्रकार हमारे पास केवल फ़ंक्शन में नहीं है , लेकिन हमें विशेषता फ़ंक्शन में क्षणों को घटाना क्यों आवश्यक है? गणितीय विचार क्या है? $i$ $i^2 = -1$ $+$

— ग्यूसेप
स्रोत

एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि क्षण-उत्पादक फ़ंक्शन हमेशा परिमित नहीं होता है! ( उदाहरण के लिए, यह प्रश्न देखें ।) यदि आप एक सामान्य सिद्धांत बनाना चाहते हैं, तो वितरण में अभिसरण के बारे में कहें, तो आप इसे अधिक से अधिक वस्तुओं के साथ काम करने में सक्षम होना चाहेंगे। बेशक, किसी भी यादृच्छिक चर के लिए परिमित कार्य निश्चित रूप से है ।

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$

— कार्डिनल

टेलर के विस्तार में समानता अभी भी किसी को क्षणों को पढ़ने की अनुमति देती है, जब वे मौजूद होते हैं, लेकिन ध्यान दें कि सभी वितरणों में क्षण नहीं होते हैं, इसलिए इन कार्यों में रुचि इससे कहीं आगे जाती है! :)

— कार्डिनल

एक और ध्यान देने वाली बात यह है कि MGF एक यादृच्छिक चर का लाप्लास परिवर्तन है और CF फूरियर रूपांतरण है। इन अभिन्न परिवर्तनों के बीच मौलिक संबंध हैं, यहां देखें ।

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मैंने सोचा कि सीएफ एक प्रसार वितरण का उलटा फूरियर रूपांतरण (और फूरियर ट्रांसफॉर्म नहीं है) है?

— ग्यूसेप

भेद केवल प्रतिपादक में संकेत की बात है, और संभवतः एक गुणक स्थिरांक है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

जैसा कि टिप्पणियों में उल्लेख किया गया है, विशेषता कार्य हमेशा मौजूद होते हैं, क्योंकि उन्हें मापांक कार्य के एकीकरण की आवश्यकता होती है । हालाँकि, क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन को मौजूद होने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि विशेष रूप से इसे किसी भी क्रम के क्षणों के अस्तित्व की आवश्यकता होती है। $1$

जब हम जानते हैं कि सभी लिए पूर्णांक , तो हम प्रत्येक जटिल संख्या लिए को परिभाषित कर सकते हैं । तो हम देखते हैं कि और । $E[e^{tX}]$ $t$ $g(z):=E[e^{zX}]$ $z$ $M_X(t)=g(t)$ $\varphi_X(t)=g(it)$

— डेविड जिराडो
स्रोत