क्या बहुभिन्नरूपी केंद्रीय सीमा प्रमेय (CLT) तब धारण करती है जब चर परिपूर्ण समकालिक निर्भरता प्रदर्शित करते हैं?

Question

शीर्षक मेरे प्रश्न को प्रस्तुत करता है, लेकिन स्पष्टता के लिए निम्नलिखित सरल उदाहरण पर विचार करें। आज्ञा देना $X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ , । परिभाषित करें: और मेरा प्रश्न: हालांकि और पूरी तरह से निर्भर हैं जब , do और अभिसरण रूप में एक संयुक्त सामान्य वितरण के लिए$i = 1, ..., n$

$$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$$ $$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$$ $S_n$$T_n$$n = 1$$\sqrt{n} S_n$$\sqrt{n} T_n$$n \rightarrow \infty$?

प्रेरणा: प्रश्न के लिए मेरी प्रेरणा इस तथ्य से उपजी है कि यह अजीब (लेकिन अद्भुत) लगता है कि और पूरी तरह से निर्भर करते हैं , फिर भी बहुभिन्नरूपी CLT का निहितार्थ यह है कि वे स्वतंत्रता प्राप्त करते हैं (इसका अनुसरण तब होगा जब और सभी लिए असंबंधित हों , इसलिए यदि वे रूप से संयुक्त सामान्य हैं, तो उन्हें भी asymptotically स्वतंत्र होना चाहिए)।$S_n$$T_n$$n = 1$$n \rightarrow \infty$$S_n$$T_n$$n$

किसी भी उत्तर या टिप्पणी के लिए अग्रिम धन्यवाद!

पी एस, यदि आप किसी भी संदर्भ आदि प्रदान कर सकते हैं तो सभी बेहतर!

Comments

कोई जवाब नहीं, लेकिन एक टिप्पणी। मुझे यह बहुत आश्चर्यजनक नहीं लगता। N = 1 के लिए आप जिस निर्भरता पर ध्यान देते हैं, वह n के रूप में जल्दी से घट जाती है।

— एरिक

@egbutter ने एक अच्छा जवाब दिया है। यदि आप अभी भी कुछ विकल्प या कुछ अतिरिक्त अंतर्ज्ञान की तलाश कर रहे हैं, तो मुझे पिंग करें और मैं कुछ अलग लिखने के बारे में देखूंगा।

— कार्डिनल

@cardinal प्रस्ताव के लिए बहुत बहुत धन्यवाद, लेकिन मैं इस बिंदु पर काफी खुश हूं - मैंने बाउंटी को इगबटर से सम्मानित किया। मुझे लगता है कि मुझे अंतर्ज्ञान मिल गया है। पोस्टिंग में मेरा मुख्य उद्देश्य यह देखना था कि क्या कोई अंदर कूद गया और कहा "नहीं नहीं नहीं, आपको यह सब गलत लगा है ..." :-) चीयर्स।

— कॉलिन टी बोवर्स 3

Answer 1

संक्षिप्त रूप जैसा कि मैं समझता हूं कि आपका q "हाँ, लेकिन ..." S, T, और किसी भी अन्य क्षणों में अभिसरण की दर आवश्यक रूप से समान नहीं है - बेरी-एसेन प्रमेय के साथ सीमा का निर्धारण करना ।

यदि मैं आपके क्यू, एसएन और टीएन को गलत समझ लेता हूं, तो भी कमजोर निर्भरता (मिश्रण) की शर्तों के तहत सीएलटी के लिए पकड़: आश्रित प्रक्रियाओं के लिए विकिपीडिया के सीएलटी की जांच करें ।

सीएलटी एक ऐसा सामान्य प्रमेय है - मूल प्रमाण में Sn और Tn की विशेषता कार्य से अधिक कुछ नहीं होना चाहिए , मानक सामान्य की विशेषता फ़ंक्शन में परिवर्तित होता है, फिर लेवी निरंतरता प्रमेय कहता है कि विशेषता फ़ंक्शन का अभिसरण वितरण का अभिसरण करता है।

जॉन कुक यहां CLT त्रुटि का एक शानदार विवरण प्रदान करता है ।

Comments

जवाब के लिए धन्यवाद। मैं वास्तव में अभिसरण की दर से चिंतित नहीं हूं, जहां तक ​​यह सवाल है, और न ही सीएलटी अधिक सामान्य परिस्थितियों में रहेगा, जैसे कि निर्भरता। मैं वास्तव में जिस चीज की उम्मीद कर रहा था वह एक संदर्भ या कथन है जो मल्टीवेरेट सीएलटी के उपयोग को सही ठहराता है जब प्रत्येक राशि का आईआईटी घटक सही समकालीन निर्भरता प्रदर्शित करता है। मैंने बाद में डेविडसन के "स्टोचैस्टिक लिमिट थ्योरी" में एक संदर्भ पाया कि मल्टीवेरेट सीएलटी बताते हुए मनमाने ढंग से आश्रितता दी जाती है, लेकिन मैं अभी भी उस कथन के आसपास थोड़ी कठोरता की तलाश कर रहा हूं।

— कॉलिन टी बोवर्स

ऐसा लगता है जैसे आप यह सोच रहे हैं। क्या आपका i [1, n] "समकालीन" घटक है जिसका आप उल्लेख कर रहे हैं? यदि ऐसा है, तो महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि आपका Sn और Tn अभी भी अभिसरण करेगा (आप ऊपर बताए गए "पुराने-विद्यालय" CLT प्रमाण के समान विधि का उपयोग करके अपने आप को यह साबित कर सकते हैं) - लेकिन किसी दिए गए i के लिए, उनकी त्रुटियां होंगी अलग बनो। यह इस तथ्य को नहीं बदलता है कि सीएलटी रखती है। बहु / अविभाज्य भेद महत्वपूर्ण नहीं है।

— १utter

हाँ, मैं समसामयिक घटक हैं। एक प्रमाण के माध्यम से उदाहरण चलाने के बारे में अच्छा सुझाव। मैंने वास्तव में ऐसा किया था, और मुझे कोई समस्या नहीं मिली, जिसने विरोधाभासी रूप से मुझे अधिक परेशान किया। शायद मैं इस बिंदु पर अधिक सोच रहा हूँ :-) प्रतिक्रिया के लिए फिर से धन्यवाद। यदि किसी और के दिन के अंत तक एक उत्तर में कोई दरार नहीं है, तो मैं आपकी प्रतिक्रिया का जवाब दूंगा। चीयर्स।

— कॉलिन टी बोवर्स

मैं निश्चित रूप से सहानुभूति रख सकता हूं - मैं अक्सर एक ही काम करता हूं! :)

— eg:२

Answer 2

यह निश्चित रूप से कुछ भी साबित नहीं करता है , लेकिन मैं हमेशा सैद्धांतिक परिणामों की भावना बनाने के लिए सिमुलेशन और साजिश रचने वाले ग्राफ़िक्स को बहुत उपयोगी मानता हूं।

यह एक विशेष रूप से सरल मामला है। हम यादृच्छिक सामान्य चर उत्पन्न करते हैं और S n और T n की गणना करते हैं ; दोहराने मीटर बार। प्लॉट n = 1 , 10 , 100 और के लिए रेखांकन हैं$n$$S_n$$T_n$$m$$n = 1, 10, 100$। एन बढ़ जाती है केरूप में निर्भरता को कमजोर देखना आसान है; पर एन = 100 ग्राफ स्वतंत्रता से लगभग अप्रभेद्य है।$1000$$n$$n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))