गॉसियन (सामान्य) वितरण का सबसे आश्चर्यजनक लक्षण वर्णन क्या है?

52

पर एक मानकीकृत गाऊसी वितरण स्पष्ट रूप से इसकी घनत्व देकर परिभाषित किया जा सकता है: $\mathbb{R}$

\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$

या इसकी विशेषता समारोह।

जैसा कि इस प्रश्न में याद किया जाता है कि यह एकमात्र वितरण भी है जिसके लिए नमूना माध्य और विचरण स्वतंत्र हैं।

गाऊसी उपायों के अन्य आश्चर्यजनक वैकल्पिक लक्षण क्या हैं जो आप जानते हैं? मैं सबसे आश्चर्यजनक जवाब स्वीकार करूंगा

— रॉबिन जिरार्ड
स्रोत

39

मेरा व्यक्तिगत सबसे आश्चर्यजनक नमूना मतलब और विचरण के बारे में है, लेकिन यहां एक और (शायद) आश्चर्यजनक लक्षण वर्णन है: यदि और और स्वतंत्र के साथ परिमित विचरण के साथ IID हैं , तो और सामान्य हैं। $X$ $Y$ $X+Y$ $X-Y$ $X$ $Y$

सहज रूप से, हम आमतौर पर तब पहचान सकते हैं जब चर एक स्कैप्लेट के साथ स्वतंत्र नहीं होते हैं। तो जोड़े के एक बिखराव की कल्पना कीजिए जो स्वतंत्र दिखता है। अब 45 डिग्री तक घुमाएं और फिर से देखें: यदि यह अभी भी स्वतंत्र दिखता है, तो और निर्देशांक व्यक्तिगत रूप से सामान्य होना चाहिए (यह सब शिथिल रूप से बोल रहा है, निश्चित रूप से)। $(X,Y)$ $X$ $Y$

यह देखने के लिए कि सहज बिट क्यों काम करता है, एक नज़र डालें

[\begin{array}{cc} \cos 45^{\circ} & - \sin 45^{\circ} \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} \end{array}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} x - y \\ x + y \end{matrix}]

$\left[ \begin{array}{cc} \cos45^{\circ} & -\sin45^{\circ} \newline \sin45^{\circ} & \cos45^{\circ} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \newline y \end{array} \right]= \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{array}{c} x-y \newline x+y \end{array} \right]$

— user1108
स्रोत

3

जय - यह मूल रूप से माध्य और विचरण के स्वतंत्र होने का पुनः कथन है। एक फिर से बढ़ाया गया मतलब है और एक मानक मानक विचलन है।

X + Y

$X+Y$

X - Y

$X-Y$

— probabilityislogic

5

@probabilityislogic - मुझे आपके द्वारा कही गई बात का अंतर्ज्ञान पसंद है, लेकिन मुझे नहीं लगता कि यह वास्तव में एक प्रतिबन्ध है क्योंकि वास्तव में SD का एक जैसा नहीं है: SD हस्ताक्षर को भूल जाता है। तो मीन और एसडी की स्वतंत्रता , (जब ) की स्वतंत्रता से अनुसरण करती है , लेकिन चारों ओर नहीं। हो सकता है कि आपको "मूल रूप से" से क्या मतलब था। वैसे भी, यह अच्छा सामान है।

X - Y

$X - Y$

X + Y

$X+Y$

X - Y

$X-Y$

n = 2

$n = 2$

4

हमें इस संपत्ति के लिए सबूत कहां मिल सकता है?

— रॉय

1

@ रोई 16 देखें । यहां । For (a), ध्यान दें कि । के लिए (b) ध्यान दें कि जो प्रतिस्थापन लिए तरस रहा है जिसमें से आपको । यदि , तो , इसलिए सभी , और इसलिए एक अनुक्रम जैसे कि सभी लिए और , जो पर की निरंतरता का खंडन करता है

2 X = (X + Y) + (X - Y)

$2X=(X+Y)+(X-Y)$

φ (2 t) φ (- 2 t) = (φ (t) φ (- t))^{4}

$\varphi(2t)\varphi(-2t)=(\varphi(t)\varphi(-t))^4$

ψ (t) = φ (t) φ (- t)

$\psi(t)=\varphi(t)\varphi(-t)$

ψ (t) = ψ^{2^{2 n}} (\frac{t}{2^{n}})

$\psi(t)=\psi^{2^{2n}}(\frac{t}{2^n})$

φ (t_{0}) = 0

$\varphi(t_0)=0$

ψ (t_{0}) = 0

$\psi(t_0)=0$

n

$n$

ψ (\frac{t_{0}}{2^{n}}) = 0

$\psi(\frac{t_0}{2^n})=0$

t_{n}

$t_n$

t_{n} \to 0

$t_n\to 0$

φ (t_{n}) = 0

$\varphi(t_n)=0$

n

$n$

φ

$\varphi$

0

$0$ । (c) स्ट्रैचफोरवर्ड है [जारी]

— गेब्रियल रोमन

1

के लिए (डी), । ध्यान दें कि , इसलिए । इसे पिछली समानता में प्लग करें और यह साबित करें कि फिक्स्ड , जिसका अर्थ है कि सभी लिए । इसका मतलब है कि वास्तविक है, और (a) में समानता जो पूछी जाती है, उसमें बदल जाती है। फिर से, उस साबित करें और पाने के लिए । इसलिए या और

γ (t) = γ^{2^{n}} (\frac{t}{2^{n}})

$\gamma(t)=\gamma^{2^n}(\frac{t}{2^n})$

φ (t) = 1 - \frac{t^{2}}{2} + o (t^{2})

$\varphi(t)=1-\frac{t^2}2+o(t^2)$

γ (t) = 1 + o (t^{2})

$\gamma(t)=1+o(t^2)$

t

$t$

lim_{n} γ^{2^{n}} (\frac{t}{2^{n}}) = 1

$\lim_n \gamma^{2^n}(\frac{t}{2^n}) = 1$

γ (t) = 1

$\gamma(t)=1$

t

$t$

φ

$\varphi$

φ (t) = φ^{2^{2 n}} (\frac{t}{2^{n}})

$\varphi(t)=\varphi^{2^{2n}}(\frac{t}{2^n})$

φ (t) = 1 - \frac{t^{2}}{2} + o (t^{2})

$\varphi(t)=1-\frac{t^2}2+o(t^2)$

lim_{n} φ^{2^{2 n}} (\frac{t}{2^{n}}) = e^{- t^{2} / 2}

$\lim_n \varphi^{2^{2n}}(\frac{t}{2^n}) = e^{-t^2/2}$

φ (t) = e^{- t^{2} / 2}

$\varphi(t)=e^{-t^2/2}$

X

$X$ सामान्य है।

— गेब्रियल रोमन

27

निश्चित विचरण के साथ निरंतर वितरण जो अंतर एन्ट्रापी को अधिकतम करता है, गॉसियन वितरण है।

— shabbychef
स्रोत

22

इस बारे में एक पूरी पुस्तक लिखी गई है: "सामान्य संभाव्यता कानून की विशेषताएँ", एएम मथाई और जी। पेरडेरज़ोली। JASA (दिसम्बर 1978) में एक संक्षिप्त समीक्षा में निम्नलिखित का उल्लेख किया गया है:

चलो स्वतंत्र यादृच्छिक चर हो। तब और स्वतंत्र होते हैं, जहां , यदि और केवल [हैं] सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं। $X_1, \ldots, X_n$ $\sum_{i=1}^n{a_i x_i}$ $\sum_{i=1}^n{b_i x_i}$ $a_i b_i \ne 0$ $X_i$

— व्हॉबर
स्रोत

3

कोई शर्त ऐसी होनी चाहिए याद आ रही है? उदाहरण के लिए यदि n = 2 और स्वतंत्र नहीं हैं।

< a, b >= 0

$<a,b>=0$

a_{i} = b_{i} = 1

$a_i=b_i=1$

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

— रॉबिन जिरार्ड

1

@robin अच्छी पकड़। मैं भी अंतर्निहित quantifiers पर puzzling गया है। दुर्भाग्य से, मेरे पास सभी की पहुंच है (समीक्षा करते हुए) उद्धरण से, पुस्तक नहीं। यह एक लाइब्रेरी में ढूंढना और यह माध्यम से ब्राउज़ करने के लिए मजेदार होगा ...

— whuber

यह जे। जे। कर्न्स के सामान्यीकरण की तरह लगता है (वर्तमान में # 1) उत्तर।

— vqv

मुझे लगता है कि आप लुकाक्स एंड किंग (1954) के पेपर की तलाश कर रहे होंगे। इस उत्तर को गणित में देखें । पूर्वोक्त पेपर के लिंक के साथ।

— कार्डिनल

2

जहाँ यह प्रस्ताव कहता है "जहाँ ", क्या इसका मतलब है कि हर जगह का सेट जहाँ "है? मुझे यह देखकर" जहाँ "का उपयोग" प्रत्येक के लिए "या" कुछ के लिए "से नफरत है।" जहां "किसी के संकेतन को समझाने के लिए उपयोग किया जाना चाहिए, जैसे कि" जहां प्रकाश की गति है और सकल घरेलू उत्पाद है ", आदि

a_{i} b_{i} \neq 0

$a_i b_i\ne 0$

a_{i} b_{i} \neq 0

$a_i b_i \ne 0$

c

$c$

g

$g$

— माइकल हार्डी

17

गाऊसी वितरण परिमित विचरण के साथ एकमात्र योग-स्थिर वितरण हैं।

— shabbychef
स्रोत

8

वे स्थिर हैं और वे परिमित विचरण वाले अनूठे हैं जो CLT द्वारा हम दोनों के लिए मजबूर हैं। इस दावे का दिलचस्प हिस्सा यह है कि इसमें अन्य राशि-स्थिर वितरण मौजूद हैं !

— रात

1

@ दर्शक: वास्तव में! यह लक्षण वर्णन थोड़ा विपरीत है, और अन्य योग-स्थिर वितरण शायद अधिक उत्सुक हैं।

— shabbychef 16

@ वास्तव में, मैं यह नहीं देखता कि सीएलटी का इस तथ्य से क्या तात्पर्य है। यह केवल हमें बताता है कि asymptotically , मानदंड का योग सामान्य है, न कि कोई परिमित राशि सामान्य रूप से वितरित की जाती है। या क्या आपको किसी तरह स्लटस्की के प्रमेय का उपयोग करना है?

— shabbychef

3

सामान्य मानकीकरण को अपनाने पर, दो मानदंडों का योग एक सामान्य वितरण X_0 का योग होता है और एक श्रृंखला X_1, X_2, ... का सीमित वितरण होता है, जिस राशि का योग X_0, X_1, ..., का सीमित वितरण होता है, जो लिंडबर्ग-लेवी सीएलटी द्वारा सामान्य है।

— whuber

17

स्टीन की लेम्मा एक बहुत उपयोगी लक्षण वर्णन प्रदान करती है। मानक गाऊसी iff है सभी पूरी तरह से निरंतर कार्य के लिए के साथ । $Z$

E f^{'} (Z) = E Z f (Z)

$E f’(Z) = E Z f(Z)$

f

$f$

E | f^{'} (Z) | < \infty

$E|f’(Z)| < \infty$

— रेव्स vqv
स्रोत

12

प्रमेय [हर्शेल-मैक्सवेल]: चलो एक यादृच्छिक वेक्टर जो (i) ओर्थोगोनल subspaces में अनुमानों के लिए स्वतंत्र हैं और (ii) के वितरण हो लंबाई पर निर्भर करता है केवल। फिर सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। $Z \in \mathbb{R}^n$ $Z$ $\|Z\|$ $Z$

टीचिंग आंकड़ों में जॉर्ज कॉब द्वारा उद्धृत : पी पर कुछ महत्वपूर्ण तनाव (चिली जे। सांख्यिकी खंड 2, नंबर 1, अप्रैल 2011)। 54।

कोबस (या बहुत अधिक संभावना सिद्धांत) का उपयोग किए बिना, कोब इस वर्णक का उपयोग , और वितरण को प्राप्त करने के लिए एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में करता है । $\chi^2$ $t$ $F$

— व्हीबर
स्रोत

9

Let और दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर होते हैं, जिनमें एक समान सममित वितरण होता है $\eta$ $\xi$

P (| \frac{ξ + η}{\sqrt{2}} | \geq t) \leq P (| ξ | \geq t) .

$P\left ( \left |\frac{\xi+\eta}{\sqrt{2}}\right | \geq t \right )\leq P(|\xi|\geq t).$

फिर ये यादृच्छिक चर गॉसियन हैं। (जाहिर है, अगर और गौसियन केंद्रित हैं, तो यह सच है।) $\xi$ $\eta$

यह बोबोव-हौद्रे प्रमेय है

— रॉबिन जिरार्ड
स्रोत

9

यह एक लक्षण वर्णन नहीं है, बल्कि एक अनुमान है, जो 1917 से वापस आता है और कैंटेली के कारण है:

अगर पर सकारात्मक कार्य है और और हैं स्वतंत्र यादृच्छिक चर ऐसी है कि सामान्य है, तो एक निरंतर लगभग हर जगह है। $f$ $\mathbb{R}$ $X$ $Y$ $N(0,1)$ $X+f(X)Y$ $f$

जेरार्ड लेटैक द्वारा यहां उल्लेख किया गया है ।

— किया
स्रोत

यह अच्छा है कि आप इसका उल्लेख करें! मैं अंतर्ज्ञान का पता नहीं लगा सकता, क्या तुम?

— रॉबिन जिरार्ड

@robin यह वह है जो इस अनुमान को इतना खास बनाता है: एक पूरी तरह से प्राथमिक बयान, कुछ स्पष्ट दृष्टिकोण जो बुरी तरह से विफल हो जाते हैं (विशेषता कार्य), और एक को कुछ भी समझ में नहीं आता है ... वैसे, एक अनुमान पर सच होना चाहिए या झूठी? यहां तक कि यह स्पष्ट नहीं है (मेरे लिए)।

— क्या

2

अगर गेरार्ड लेटैक इसे साबित करने में कामयाब नहीं हुए, तो यह काफी समय तक खुला अनुमान लगा सकता है ...!

— शीआन

@ शीआन: मैं पूरी तरह से सहमत हूं, बिल्कुल। (यह नहीं पता था कि आप वेब ... अच्छी खबर यह है कि आप कर रहे हैं के इन तिमाहियों में घूम रहे थे।)

— क्या

6

@ शीआन यहां कैंटरेली अनुमान के प्रतिरूप के साथ विक्टर क्लेप्सिन और एलाइन कुर्टज़मैन द्वारा एक छाप है। निर्माण एक नया उपकरण है, जो लेखकों ब्राउनियन जन परिवहन फोन का उपयोग करता है, और पैदावार एक असंतत समारोह । लेखकों का कहना है कि उनका मानना है कि कैंटेली अनुमान है कि अगर कोई पूछता है कि निरंतर है (उनका दो निरंतर कार्यों का मिश्रण है)।

f

$f$

f

$f$

— क्या

8

मान लीजिए कि कोई iid डेटा का उपयोग करके स्थान पैरामीटर का अनुमान लगा रहा है । यदि अधिकतम संभावना अनुमानक है, तो नमूना वितरण गौसियन है। जेन्स की प्रायिकता सिद्धांत: द लॉजिक ऑफ साइंस पीपी 202-4 के अनुसार, यह था कि गॉस मूल रूप से इसे कैसे प्राप्त करते हैं। $\{x_1,...,x_n\}$ $\bar{x}$

— सियान
स्रोत

मुझे यकीन नहीं है कि मैं इसे सामान्य वितरण के लक्षण वर्णन के रूप में समझता हूं, इसलिए मैं शायद कुछ याद कर रहा हूं। क्या होगा अगर हम आईआईडी प्वासों डेटा था और अनुमान लगाने के लिए करना चाहता था ? MLE है लेकिन के नमूने वितरण गाऊसी नहीं है - सबसे पहले, तर्कसंगत हो गया है; दूसरी बात, अगर यह गौसियन था, तो लेकिन यह ।

μ

$\mu$

\bar{x}

$\bar{x}$

\bar{x}

$\bar{x}$

\bar{x}

$\bar{x}$

\sum x_{i}

$\sum{x_i}$

Poisson (n μ)

$\text{Poisson}(n\mu)$

— सिल्वरफिश

2

Poisson का मतलब स्थान पैरामीटर नहीं है!

— kjetil b halvorsen

6

असीम रूप से विभाज्य वितरण के वर्ग के बीच सामान्य वितरण का एक और अधिक विशिष्ट लक्षण स्टुटेल और वान हरन (2004) में प्रस्तुत किया गया है ।

एक गैर-पतित विभक्त रैंडम वैरिएबल का सामान्य वितरण होता है यदि और केवल तभी यह संतुष्ट हो जाता है $X$
$- \underset{x \to \infty}{lim sup} \frac{\log P (| X | > x)}{x \log (x)} = \infty .$ $-\limsup_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\log{\mathbb P}(\vert X\vert>x)}{x\log(x)}=\infty.$

यह परिणाम उसके पूंछ व्यवहार के संदर्भ में सामान्य वितरण की विशेषता है।

— user10525
स्रोत

1

बताई गई सीमा का एक छोटा सा प्रमाण निम्नानुसार है: यदि मानक सामान्य है, तो तक , so । लेकिन और इसलिए परिणाम निम्नानुसार है। Poisson के मामले के लिए एक मोटा स्केच यह दर्शाता है कि दी गई सीमा , लेकिन मैंने इसे बहुत बारीकी से नहीं देखा।

X

$X$

x P (X > x) / φ (x) \to 1

$x \mathbb P(X>x)/\varphi(x)\to 1$

x \to \infty

$x\to \infty$

\log P (X > x) - \log φ (x) + \log x \to 0

$\log\mathbb P(X>x)−\log \varphi(x) + \log x \to 0$

2 \log φ (x) \sim - x^{2}

$2 \log \varphi(x) \sim −x^2$

λ

$\lambda$

— कार्डिनल

6

छवि चौरसाई (जैसे स्केल स्पेस ) के संदर्भ में , गाऊसी एकमात्र घूर्णी रूप से सममितीय वियोज्य * कर्नेल है।

यही है, अगर हमें जहां , तो घूर्णी समरूपता के लिए आवश्यकता होती है जो कि बराबर है ।

F [x, y] = f [x] f [y]

$F[x,y]=f[x]f[y]$

[x, y] = r [\cos θ, \sin θ]

$[x,y]=r[\cos\theta,\sin\theta]$

\begin{aligned} F_{θ} & = f^{'} [x] f [y] x_{θ} + f [x] f^{'} [y] y_{θ} \\ = - f^{'} [x] f [y] y + f [x] f^{'} [y] x = 0 \\ ⟹ \\ \frac{f^{'} [x]}{x f [x]} & = \frac{f^{'} [y]}{y f [y]} = c o n s t . \end{aligned}

$\begin{align} F_\theta &= f'[x]f[y]x_\theta+f[x]f'[y]y_\theta \\ &= -f'[x]f[y]y+f[x]f'[y]x = 0 \\ &\implies \\ \frac{f'[x]}{xf[x]} &= \frac{f'[y]}{yf[y]} = \mathrm{const.} \end{align}$

\log [f [x]]^{'} = c x

$\log\big[f[x]\big]'=cx$

आवश्यक है कि एक उचित कर्नेल हो, इसके बाद निरंतर नकारात्मक और प्रारंभिक मान को पॉजिटिव रखने की आवश्यकता होती है, जो गॉसियन कर्नेल की उपज है। $f[x]$

* संभाव्यता वितरण के संदर्भ में, वियोज्य का मतलब स्वतंत्र है, जबकि छवि को छानने के संदर्भ में यह 2 डी कन्वेंशन को कम्प्यूटेशनल रूप से दो 1 डी के लिए कम करने की अनुमति देता है।

— GeoMatt22
स्रोत

2

+1 लेकिन क्या यह 2 डी में हर्शेल-मैक्सवेल प्रमेय के तात्कालिक अनुप्रयोग से अनुसरण नहीं करता है ?

— whuber

@whuber दरअसल, किसी तरह मैं इस धागे को देखते हुए आपके जवाब को नजरअंदाज करने में कामयाब रहा!

— अमीबा का कहना है कि

@ शुभकर्ता हाँ। मैंने इस पुराने सूत्र के माध्यम से विस्तार से नहीं पढ़ा था, और केवल अनुरोध के द्वारा इस उत्तर को जोड़ रहा था।

— जियोमैट 22

1

यह भी देखना @amoeba यहाँ ।

— जियोमैट 22

3

हाल ही में Ejsmont [1] ने गौसियन के नए चरित्र चित्रण के साथ लेख प्रकाशित किया:

आज्ञा देना सभी क्षणों के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक वैक्टर हो सकते हैं, जहां होते हैं, और सांख्यिकीय का एक वितरण है जो केवल पर निर्भर करता है , जहां और । तब स्वतंत्र हैं और शून्य साधनों और के साथ लिए समान वितरण है । $(X_1,\dots, X_m,Y) \textrm{ and } (X_{m+1},\dots,X_n,Z)$ $X_i$ $\sum_{i=1}^na_iX_i+Y+Z$ $\sum_{i=1}^n a_i^2$ $a_i\in \mathbb{R}$ $1\leq m < n$ $X_i$ $cov(X_i,Y)=cov(X_i,Z)=0$ $i\in\{1,\dots,n\}$

[1]। एज्स्मॉन्ट, विकटोर। "यादृच्छिक वैक्टर की एक जोड़ी की स्वतंत्रता द्वारा सामान्य वितरण का एक लक्षण वर्णन।" सांख्यिकी और संभावना पत्र 114 (2016): 1-5।

— डैनियल
स्रोत

1

यह एक नाजुक और आकर्षक लक्षण वर्णन है। इस धागे को शेयर करके सुधारने के लिए धन्यवाद!

— whuber

1

इसकी चारित्रिक कार्यप्रणालियों का प्रारूप इसकी pdf के समान है। मैं एक और वितरण के बारे में सुनिश्चित नहीं हूं जो ऐसा करता है।

— जेसन
स्रोत

4

रैंडम वैरिएबल के निर्माण के तरीकों के लिए मेरा यह जवाब देखें, जिनकी विशेषता फ़ंक्शन उनके पीडीएफ़ के समान हैं।

— दिलीप सरवटे

-1

उम्मीद के साथ-साथ मानक विचलन शून्य से फ़ंक्शन का काठी बिंदु है।

— ताल गलिली
स्रोत

11

यह सामान्य वितरण की एक संपत्ति है, यह सुनिश्चित करने के लिए है, लेकिन यह इसे चिह्नित नहीं करता है, क्योंकि बहुत सारे अन्य वितरणों में भी यह संपत्ति है।

— whuber