क्या एक वितरण जो सामान्य है, लेकिन अत्यधिक तिरछा है, गॉसियन माना जाता है?

Question

मेरा यह प्रश्न है: आपको क्या लगता है कि YouTube पर प्रति दिन बिताए गए समय का वितरण कैसा दिखता है?

मेरा जवाब है कि यह शायद सामान्य रूप से वितरित किया जाता है और अत्यधिक बाएं तिरछा होता है। मुझे उम्मीद है कि एक ऐसा मोड है जहां अधिकांश उपयोगकर्ता कुछ औसत समय के आसपास खर्च करते हैं और फिर कुछ उपयोगकर्ताओं की शक्ति के कारण एक लंबी दाएं पूंछ होती है।

क्या यह उचित जवाब है? क्या उस वितरण के लिए एक बेहतर शब्द है?

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जैसा कि कुछ उत्तर उल्लेख करते हैं लेकिन जोर नहीं देते हैं, तिरछा नाम अनौपचारिक रूप से लंबी पूंछ के लिए रखा जाता है यदि एक है, तो दायां-तिरछा अगर एक लंबी दाएं पूंछ है। इस संदर्भ में बाएं और दाएं का उपयोग किया जाता है, दोनों एक प्रदर्शन का अनुसरण करते हैं जो एक सम्मेलन के बाद होता है जो परिमाण को क्षैतिज अक्ष पर दिखाया जाता है। यदि यह बहुत स्पष्ट लगता है, तो पृथ्वी और पर्यावरण विज्ञान में उन प्रदर्शनों पर विचार करें जिनमें परिमाण ऊंचाई या गहराई है और लंबवत दिखाया गया है। छोटा प्रिंट: तिरछेपन के कुछ उपाय शून्य हो सकते हैं, भले ही वितरण ज्यामितीय रूप से तिरछा हो।

— निक कॉक्स

सभी उपयोगकर्ताओं के लिए प्रति दिन कुल समय? या समय प्रति व्यक्ति प्रति दिन? यदि बाद में, तो निश्चित रूप से 0 पर एक मध्यम बड़ा स्पाइक होता है, जिस स्थिति में आपको शायद एक डायक डेल्टा के साथ 'स्पाइक और स्लैब' शैली की आवश्यकता होती है 0. 0.

— मिसफ्रीरी

"सामान्य" "गॉसियन" का पर्याय है, और गॉसियन वितरण, जिसे सामान्य वितरण भी कहा जाता है, इसमें कोई संदेह नहीं है।

— माइकल हार्डी

मुझे शीर्षक में प्रश्न बॉडी टेक्स्ट के प्रश्न से बहुत अलग लगता है। या कम से कम शीर्षक बहुत भ्रामक है। कोई वितरण 'सामान्य लेकिन अत्यधिक तिरछा' है जो एक विरोधाभास है। साथ ही, गौसियन वितरण बहुत अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है और YouTube पर प्रति दिन बिताए गए समय के वितरण की तरह बिल्कुल भी नहीं। इसलिए शीर्षक में सवाल का जवाब बड़ा नहीं है। $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \text{exp}\left( - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

— सेकसियस एम्पिरिकस

यह भी, 'उस वितरण के लिए एक बेहतर शब्द है?' बहुत अस्पष्ट या व्यापक है। यह जानकारी केवल 'एक विधा' और 'एक लंबी दाएं पूंछ' लगती है (भाग 'आमतौर पर वितरित' का कोई मतलब नहीं है)। कई वितरण हो सकते हैं जो इन स्थितियों को पूरा करते हैं। यह आश्चर्यजनक है कि यह प्रश्न दस से अधिक उत्तरों को आकर्षित करता है और कम से कम वैकल्पिक वितरण के कई प्रस्तावों से पहले हम वास्तव में प्रश्न को स्पष्ट करने का प्रयास करते हैं (डेटा भी नहीं है)।

— सेक्स्टस एम्पिरिकस

Answer 1

प्रति दिन एक अंश निश्चित रूप से नकारात्मक नहीं है। यह सामान्य वितरण को नियंत्रित करता है, जिसमें संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर संभाव्यता द्रव्यमान होता है - विशेष रूप से नकारात्मक आधे से अधिक।

पावर लॉ डिस्ट्रीब्यूशन अक्सर आय डिस्ट्रीब्यूशन, शहरों के आकार आदि जैसी चीजों को मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है। वे नॉनवेजेटिव होते हैं और आमतौर पर अत्यधिक तिरछा होते हैं। ये पहला होगा जब मैं YouTube देखने में बिताए गए मॉडलिंग समय में कोशिश करूंगा। (या अमान्य प्रश्नों की निगरानी करना।)

बिजली कानूनों के बारे में अधिक जानकारी यहाँ या हमारे पावर-लॉ टैग में या यहाँ मिल सकती है ।

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आप पूरी तरह से सही हैं कि सामान्य वितरण में वास्तविक लाइन पर समर्थन है। और फिर भी ... वे कुछ कड़ाई से सकारात्मक गुणों के लिए एक भयानक मॉडल नहीं हैं, जैसे वयस्कों की ऊंचाई या वजन, जहां माध्य और विचरण ऐसे हैं कि नकारात्मक मूल्य मॉडल के तहत बहुत संभावना नहीं है।

— मैट क्रूस १० ’१

@MattKrause यह वास्तव में एक बड़ा सवाल है - क्या इसकी समान संभावना है कि मैं 'औसत ऊंचाई से नीचे' या '10 सेंटीमीटर 'या' औसत ऊंचाई से नीचे 'या '10 प्रतिशत ऊपर' होगा? केवल पहला मामला ही सामान्य वितरण का वारंट कर सकता था।

— टॉम काफ्का

@MattKrause: मैं पूरी तरह से, एक सामान्य अर्थ में सहमत हूँ। फिर भी, वर्तमान प्रश्न YouTube देखने में बिताए दैनिक समय के अनुपात के बारे में है। हमारे पास कोई डेटा नहीं है, लेकिन मुझे बहुत आश्चर्य होगा अगर वितरण दूर से भी सममित था।

— Stephan Kolassa

Answer 2

एक वितरण जो सामान्य है वह अत्यधिक तिरछा नहीं है। यह एक विरोधाभास है। सामान्य रूप से वितरित चर में तिरछा = 0 होता है।

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वितरण का वर्णन करने का एक बेहतर तरीका क्या है? क्या उस प्रकार के वितरण के लिए एक शब्द है जहां यह एक मोड के आसपास केंद्रित है और फिर एक लंबी पूंछ है?

— कौडर

Unimodal और तिरछी नज़दीकियाँ जितना मैं आ सकता हूँ ...

— jumbman

एक तरफ के रूप में, यह वास्तव में अविश्वसनीय है कि लोग इस सामान पर अन्य लोगों को बेहतर बनाने में मदद करने के लिए अपना समय दें। मुझे पता है कि यह बिना कहे चला जाता है, लेकिन यह इतना अच्छा है कि आप दोनों क्या करते हैं!

— काउंडर

हां, लेकिन यह स्पष्ट करने योग्य है कि यह कथन सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या से संबंधित है। उस आबादी से लिया गया एक नमूना बहुत तिरछा हो सकता है।

— गूँग - मोनिका

जब तिरछा मूल्य छोटा होता है ("छोटे" जो कि प्रश्न में आँकड़ों से निपटने वाले लोगों द्वारा तय किया जा रहा है), आप अभी भी आबादी को सामान्य मान सकते हैं, परिणामस्वरूप मामूली त्रुटि के साथ।

— कार्ल विटथॉफ्ट 18

Answer 3

यदि इसकी लंबी दाएं पूंछ है, तो यह सही तिरछा है।

यह तिरछा वितरण के बाद से सामान्य वितरण नहीं हो सकता है! = 0, यह शायद एक असमान तिरछा सामान्य वितरण है:

https://en.wikipedia.org/wiki/Skew_normal_distribution

Answer 4

यह एक लॉग-सामान्य वितरण हो सकता है। जैसा कि यहां बताया गया है :

उपयोगकर्ताओं के ऑनलाइन लेख (चुटकुले, समाचार आदि) पर समय लगता है, लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करता है।

दिया गया संदर्भ है: यिन, पीफेंग; लुओ, पिंग; ली, वांग-चिएन; वांग, मिन (2013)। मौन भी साक्ष्य है: मनोवैज्ञानिक दृष्टिकोण से सिफारिश के लिए निवासी समय की व्याख्या करना। केडीडी पर एसीएम अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन।

Answer 5

"क्या उस वितरण के लिए एक बेहतर शब्द है?"

वितरण के गुणों का वर्णन करने के लिए शब्दों का उपयोग करने के बीच यहां एक सार्थक अंतर है , बनाम वितरण के लिए "नाम" खोजने की कोशिश कर रहा है ताकि आप इसे (लगभग) एक विशेष मानक वितरण के उदाहरण के रूप में पहचान सकें: जिसके लिए एक सूत्र या सांख्यिकीय तालिकाएँ इसके वितरण फ़ंक्शन के लिए मौजूद हो सकती हैं, और जिसके लिए आप इसके मापदंडों का अनुमान लगा सकते हैं। इस बाद के मामले में, आप नामांकित वितरण का उपयोग करने की संभावना रखते हैं, उदाहरण के लिए "सामान्य / गॉसियन" (दो शब्द आमतौर पर समानार्थी हैं), एक मॉडल के रूप में जो आपके डेटा की कुछ प्रमुख विशेषताओं को कैप्चर करता है, बजाय आपके डेटा का दावा करने के। से तैयार वास्तव में है कि सैद्धांतिक वितरण इस प्रकार है। जॉर्ज बॉक्स को थोड़ा गलत ठहराने के लिए,सभी मॉडल "गलत" हैं, लेकिन कुछ उपयोगी हैं। यदि आप मॉडलिंग के दृष्टिकोण के बारे में सोच रहे हैं, तो यह विचार करने योग्य है कि आप किन विशेषताओं को शामिल करना चाहते हैं और आप अपने मॉडल को कितना जटिल या पारसी बनाना चाहते हैं।

होने के नाते सकारात्मक विषम वितरण है से संबंधित, लेकिन जो ऑफ-द-शेल्फ वितरण है "" उचित मॉडल के करीब आते हैं यह नहीं है कि एक संपत्ति का वर्णन करने का एक उदाहरण है। यह कुछ उम्मीदवारों के लिए नियम बनाता है, उदाहरण के लिए गॉसियन (यानी सामान्य) वितरण में शून्य तिरछा होता है इसलिए आपके डेटा को मॉडल करना उचित नहीं होगा यदि तिरछा एक महत्वपूर्ण विशेषता है। डेटा के अन्य गुण भी हो सकते हैं जो आपके लिए भी महत्वपूर्ण हैं, उदाहरण के लिए कि यह अनिमॉडल (सिर्फ एक चोटी है) या यह 0 और 24 घंटे (या 0 और 1 के बीच, यदि आप इसे एक अंश के रूप में लिख रहे हैं, के बीच बँधा हुआ है) दिन), या यह कि शून्य पर केंद्रित एक संभावना द्रव्यमान है (क्योंकि ऐसे लोग हैं जो किसी निश्चित दिन पर youtube नहीं देखते हैं)।कर्टोसिस । और यह ध्यान में रखने योग्य है कि भले ही आपके वितरण में "कूबड़" या "घंटी-वक्र" आकृति हो और शून्य या निकट-शून्य तिरछा हो, यह स्वचालित रूप से इसका पालन नहीं करता है कि सामान्य वितरण इसके लिए "सही" है! दूसरी ओर, भले ही आपका डेटा खींची गई जनसंख्या वास्तव में एक विशेष वितरण का सटीक रूप से नमूनाकरण त्रुटि के कारण होहो सकता है कि आपका डेटासेट बहुत समान न हो। छोटे डेटा सेट "शोर" होने की संभावना है, और यह स्पष्ट नहीं हो सकता है कि क्या कुछ विशेषताएं आप देख सकते हैं, जैसे कि अतिरिक्त छोटे कूबड़ या असममित पूंछ, अंतर्निहित आबादी के गुण हैं जो डेटा से खींचा गया था (और शायद इसलिए इसे शामिल किया जाना चाहिए। आपके मॉडल में) या क्या वे आपके विशेष नमूने से सिर्फ कलाकृतियाँ हैं (और मॉडलिंग के उद्देश्यों की अनदेखी की जानी चाहिए)। यदि आपके पास एक छोटा डेटा सेट है और तिरछा शून्य के करीब है, तो यह और भी प्रशंसनीय है कि अंतर्निहित वितरण वास्तव में सममित है। आपका डेटा सेट जितना बड़ा और तिरछा होता है, उतना कम प्रशंसनीय होता है - लेकिन जब आप यह देखने के लिए एक महत्त्वपूर्ण परीक्षण कर सकते हैं कि आपके डेटा को उस आबादी में तिरछापन के लिए प्रदान किए जाने वाले सबूत कितना ठोस हैं।, यह इस बात को याद कर सकता है कि क्या एक सामान्य (या अन्य शून्य तिरछा) वितरण एक मॉडल के रूप में उपयुक्त है ...

डेटा के कौन से गुण वास्तव में उन उद्देश्यों के लिए मायने रखते हैं जिन्हें आप इसे मॉडल बनाना चाहते हैं? ध्यान दें कि यदि तिरछा बहुत छोटा है और आप इसके बारे में बहुत परवाह नहीं करते हैं, भले ही अंतर्निहित आबादी वास्तव में तिरछी हो , तो आप अभी भी सामान्य वितरण को देखने के समय के इस सच्चे वितरण को अनुमानित करने के लिए एक उपयोगी मॉडल पा सकते हैं । लेकिन आपको यह देखना चाहिए कि यह मूर्खतापूर्ण भविष्यवाणियां नहीं करता है। क्योंकि एक सामान्य वितरण का कोई उच्चतम या निम्नतम संभव मूल्य नहीं है, फिर यद्यपि अत्यधिक उच्च या निम्न मानों की संभावना कम हो जाती है, आप हमेशा पाएंगे कि आपका मॉडल कुछ भविष्यवाणी करता हैप्रति दिन घंटों की नकारात्मक संख्या, या 24 घंटे से अधिक देखने की संभावना। यह आपके लिए और अधिक समस्याग्रस्त हो जाता है यदि ऐसी असंभव घटनाओं की अनुमानित संभावना अधिक हो जाती है। सामान्य की तरह एक सममित वितरण यह अनुमान लगाएगा कि जितने लोग औसत से ऊपर 50% से अधिक समय तक देखेंगे, औसत से 50% से कम समय के लिए देखेंगे। अगर बार-बार देखना बहुत ही टेढ़ी खीर है, तो इस तरह की भविष्यवाणी भी इतनी असंगत हो सकती है कि आप मूर्खतापूर्ण हों, और यदि आप अपने मॉडल के परिणाम ले रहे हैं और उन्हें किसी अन्य उद्देश्य के लिए इनपुट के रूप में उपयोग कर रहे हैं, तो आपको भ्रामक परिणाम देगा। 'इष्टतम विज्ञापन समय-निर्धारण की गणना के लिए देखने के समय का अनुकरण चल रहा है)। यदि तिरछापन इतना उल्लेखनीय है, तो आप इसे अपने मॉडल के हिस्से के रूप में पकड़ना चाहते हैं, तोतिरछा सामान्य वितरण अधिक उपयुक्त हो सकता है। यदि आप तिरछापन और कुर्तोसिस दोनों पर कब्जा करना चाहते हैं, तो तिरछी टी पर विचार करें । आप शारीरिक रूप से संभव ऊपरी और निचले सीमा को शामिल करना चाहते हैं, तो उपयोग करने पर विचार छोटा कर दिया ये वितरण के संस्करणों। कई अन्य संभावना वितरण मौजूद हैं जो कि तिरछे और अनिमॉडल (उपयुक्त पैरामीटर विकल्पों के लिए) जैसे कि एफ या गामा वितरण के रूप में हो सकते हैं, और फिर से आप इन्हें छोटा कर सकते हैं ताकि वे असंभव रूप से उच्च देखने के समय की भविष्यवाणी न करें। एक बीटा वितरणएक अच्छा विकल्प हो सकता है अगर आप दिन बिताए हुए हिस्से को देख रहे हों, क्योंकि यह हमेशा 0 और 1 के बीच बँधा होता है और बिना आगे के ट्रेंकुलेशन आवश्यक होता है। यदि आप गैर-देखने वालों के कारण बिल्कुल शून्य पर संभाव्यता की एकाग्रता को शामिल करना चाहते हैं, तो बाधा मॉडल में निर्माण पर विचार करें ।

लेकिन जिस बिंदु पर आप अपने डेटा से पहचान कर सकते हैं, हर सुविधा में फेंकने की कोशिश कर रहे हैं, और कभी अधिक परिष्कृत मॉडल का निर्माण कर सकते हैं, शायद आपको खुद से पूछना चाहिए कि आप ऐसा क्यों कर रहे हैं? क्या एक सरल मॉडल का लाभ होगा, उदाहरण के लिए गणितीय रूप से काम करना आसान है या अनुमान लगाने के लिए कम पैरामीटर हैं? यदि आप चिंतित हैं कि इस तरह का सरलीकरण आपको ब्याज की सभी संपत्तियों पर कब्जा करने में असमर्थ बना देगा, तो यह अच्छी तरह से हो सकता है कि कोई "ऑफ-द-शेल्फ" वितरण वह नहीं करता है जो आप चाहते हैं। हालाँकि, हम नामांकित वितरण के साथ काम करने के लिए प्रतिबंधित नहीं हैं, जिनके गणितीय गुणों को पहले ही स्पष्ट कर दिया गया है। इसके बजाय, एक अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन के निर्माण के लिए अपने डेटा का उपयोग करने पर विचार करें। यह आपके डेटा में मौजूद सभी व्यवहार को पकड़ लेगा, लेकिन आप इसे "सामान्य" या "गामा" जैसा नाम नहीं दे सकते हैं, और न ही आप गणितीय गुणों को लागू कर सकते हैं जो केवल एक विशेष वितरण से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, "95% डेटा माध्य के 1.96 मानक विचलन के भीतर है" नियम सामान्य रूप से वितरित डेटा के लिए है और आपके वितरण पर लागू नहीं हो सकता है; हालांकि ध्यान दें कि कुछ नियम सभी वितरणों पर लागू होते हैं, उदाहरण के लिए चेबीशेव की असमानता कम से कम गारंटी देती हैआपके डेटा का 75% तिरछे की परवाह किए बिना, माध्य के दो मानक विचलन के भीतर होना चाहिए। दुर्भाग्य से अनुभवजन्य वितरण भी आपके डेटा के उन सभी गुणों को प्राप्त करेगा जो पूरी तरह से नमूना त्रुटि द्वारा उत्पन्न होते हैं, न कि केवल अंतर्निहित आबादी के पास होते हैं, इसलिए आप पा सकते हैं कि आपके अनुभवजन्य वितरण का एक हिस्टोग्राम कुछ कूबड़ और डुबकी है, जो जनसंख्या स्वयं नहीं करती है । आप अपने नमूना आकार को बढ़ाते हुए सुचारू अनुभवजन्य वितरण कार्यों की जांच करना चाहते हैं , या बेहतर हो सकते हैं ।

संक्षेप में: हालांकि सामान्य वितरण में शून्य तिरछा है, आपके डेटा को तिरछा करने के तथ्य को सामान्य वितरण को उपयोगी मॉडल के रूप में खारिज नहीं किया जाता है, हालांकि यह सुझाव देता है कि कुछ अन्य वितरण अधिक उपयुक्त हो सकते हैं। आपको अपने मॉडल को चुनते समय डेटा के अन्य गुणों पर विचार करना चाहिए, इसके अलावा तिरछा, और उन उद्देश्यों पर भी विचार करना चाहिए जिनके लिए आप मॉडल का उपयोग करने जा रहे हैं। यह कहना सुरक्षित है कि देखने के समय की आपकी सच्ची आबादी कुछ प्रसिद्ध, नामित वितरण का बिल्कुल पालन नहीं करती है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि इस तरह के वितरण को मॉडल के रूप में बेकार होने के लिए बर्बाद किया जाता है। हालाँकि, कुछ उद्देश्यों के लिए आप केवल अनुभवजन्य वितरण का उपयोग करना पसंद कर सकते हैं, बजाय इसके एक मानक वितरण के लिए प्रयास करने के।

Answer 6

गामा वितरण इस तरह के वितरण को गैर-वाजिब, दाहिने-तिरछे डेटा पर वर्णन करने के लिए एक अच्छा उम्मीदवार हो सकता है। यहां चित्र में हरी रेखा देखें: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

Answer 7

$0$$24$

Answer 8

$0$$1$

Answer 9

एक बाधा मॉडल के बारे में कैसे?

एक बाधा मॉडल के दो भाग हैं। पहला बर्नौली प्रयोग है जो निर्धारित करता है कि आप YouTube का उपयोग करते हैं या नहीं। यदि आप नहीं करते हैं, तो आपका उपयोग समय स्पष्ट रूप से शून्य है और आप कर रहे हैं। यदि आप करते हैं, तो आप "उस बाधा को पारित करते हैं", तो उपयोग का समय कुछ अन्य सख्ती से सकारात्मक वितरण से आता है।

एक निकट संबंधी अवधारणा शून्य-फुलाया गया मॉडल है। ये एक ऐसी स्थिति से निपटने के लिए हैं जहाँ हम शून्य का एक समूह देखते हैं, लेकिन हमेशा शून्य और कभी-कभी शून्य के बीच अंतर नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, सिगरेट की संख्या पर विचार करें जो एक व्यक्ति प्रत्येक दिन धूम्रपान करता है। धूम्रपान न करने वालों के लिए, यह संख्या हमेशा शून्य होती है, लेकिन कुछ धूम्रपान करने वाले किसी निश्चित दिन (सिगरेट से बाहर, लंबी उड़ान पर?) धूम्रपान नहीं कर सकते। बाधा मॉडल के विपरीत, यहां "धूम्रपान करने वाले" वितरण में शून्य शामिल होना चाहिए, लेकिन ये गणना गैर-धूम्रपान करने वालों के योगदान से 'फुलाए' जाते हैं।

Answer 10

यदि वितरण वास्तव में एक है में सामान्य वितरण का 'सबसेट' है, तो आपको एक काटे गए मॉडल पर विचार करना चाहिए। इस संदर्भ में व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला TOBIT मॉडल का परिवार है।
वे आवश्यक रूप से 0 पर एक पॉजिटिव (सकारात्मक) संभाव्यता द्रव्यमान के साथ एक पीडीएफ का सुझाव देते हैं और फिर सकारात्मक मूल्यों के लिए 'सामान्य वितरण के हिस्से में कटौती' करते हैं।
मैं यहाँ सूत्र टाइप करने से परहेज करूँगा और आपको विकिपीडिया लेख के बारे में बताऊँगा: https://en.wikipedia.org/wiki/Tobit_model

Answer 11

सामान्य वितरण गैर-तिरछी परिभाषा के होते हैं, इसलिए आपके पास दोनों चीजें नहीं हो सकती हैं। यदि वितरण को तिरछा छोड़ दिया जाता है, तो यह गाऊसी नहीं हो सकता है। आपको एक अलग चुनना होगा! आपके अनुरोध के सबसे करीबी बात मैं यह सोच सकता हूं:

https://en.wikipedia.org/wiki/Skew_normal_distribution

Comments

मैं सहमत हूं कि ओपी बाएं और दाएं तिरछेपन को भ्रमित कर रहा है, जैसा कि पहले ही बताया गया है। और @behold ने पहले ही एक जवाब में तिरछा-सामान्य का सुझाव दिया है। इसलिए, मैं यह नहीं देख सकता कि यह मौजूदा उत्तरों को जोड़ता है।

— निक कॉक्स

यह उनमें से कई को सीधे-सीधे तीन-पंक्ति प्रतिक्रिया में प्रस्तुत करता है

— डेविड

क्षमा करें, लेकिन यह अभी भी दोहराव है।

— निक कॉक्स

ठीक है ... कौन परवाह करता है?

— डेविड

अच्छा मैं करता हूँ; और जिसने भी मेरी टिप्पणियों में +1 जोड़ा (स्पष्ट रूप से मुझे नहीं) और जिसने भी आपके उत्तर को अस्वीकृत किया (मुझे नहीं, जैसा कि ऐसा होता है)। यह धागा पहले से ही लंबा और दोहरावदार है; अभी तक अधिक निरर्थक टिप्पणियां भविष्य के पाठकों के लिए इसमें सुधार नहीं करती हैं।

— निक कॉक्स