लाप्लास-वितरित (डबल घातीय) डेटा या पैरामीटर क्या प्रक्रियाएं उत्पन्न कर सकते हैं?

Question

वितरण के बहुत सारे "मूल मिथकों", या भौतिक प्रक्रियाओं के उदाहरण हैं जो वे अच्छी तरह से वर्णन करते हैं:

• आप केंद्रीय सीमा प्रमेय के माध्यम से असंबद्ध त्रुटियों के योग से सामान्य रूप से वितरित डेटा प्राप्त कर सकते हैं
• आप उस प्रक्रिया की एक सीमा से स्वतंत्र सिक्का फ़्लिप, या पॉइज़न-वितरित चर से द्विपदीय रूप से वितरित डेटा प्राप्त कर सकते हैं
• आप लगातार क्षय दर के तहत प्रतीक्षा समय से तेजी से वितरित डेटा प्राप्त कर सकते हैं।

और इसी तरह।

लेकिन लाप्लास वितरण के बारे में क्या ? यह एल 1 नियमितीकरण और एलएडी प्रतिगमन के लिए उपयोगी है , लेकिन मेरे लिए ऐसी स्थिति के बारे में सोचना मुश्किल है जहां किसी को वास्तव में इसे प्रकृति में देखने की उम्मीद करनी चाहिए। प्रसार गाऊसी होगा, और सभी उदाहरण जिन्हें मैं घातीय वितरण के साथ सोच सकता हूं (जैसे प्रतीक्षा समय) गैर-नकारात्मक मान शामिल हैं।

Comments

संबंधित: आंकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / questions / 71126/… ।

— स्टबबोर्नटॉम

Answer 1

आपके द्वारा लिंक किए गए विकिपीडिया पृष्ठ के नीचे कुछ उदाहरण हैं:

• यदि और X 2 IID घातीय वितरण हैं, तो X 1 - X 2 में लाप्लास वितरण है।$X_1$$X_2$$X_1 - X_2$

• यदि IID मानक सामान्य वितरण हैं, तो X 1 X 4 - X 2 X 3 में मानक लाप्लास वितरण है। तो, आईआईडी मानक सामान्य प्रविष्टियों ( एक्स 1 एक्स 2 एक्स 3 एक्स 4 4 ) के साथ एक यादृच्छिक 2 × 2 मैट्रिक्स के निर्धारक का एक लाप्लास वितरण होता है।$X_1, X_2, X_3, X_4$$X_1X_4 - X_2X_3$$2\times 2$$\begin{pmatrix}X_1 & X_2 \\\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$

• यदि I [ 1 , 1 ] पर IID वर्दी है , तो X 1$X_1, X_2$$[0,1]$ में एक मानक लैपलैस वितरण है।$\log \frac{X_1}{X_2}$

Comments

+1 यह ध्यान देने योग्य है कि तीनों उदाहरण वास्तव में एक जैसे हैं: # 2 को फिर से लिखा जा सकता है , दो स्केल किए गए अंतर χ 2 ( 2 $((X_1+X_4)^2 + (X_2+X_3)^2 - [(X_1-X_4)^2 + (X_2-X_3)^2])/4$$\chi^2(2)$(घातीय) वितरण, और # 3 दो घातांक वितरण का अंतर है क्योंकि घातीय हैं। $\log(X_i)$

— whuber

@whuber: इस स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद कि क्यों निर्धारक दूसरों के समान था! मुझे यह देखकर आश्चर्य हुआ, क्योंकि मैंने अनुमान लगाया था कि निर्धारक का घनत्व सुचारू रूप से भिन्न होगा, क्योंकि यह को छोड़कर हर जगह होता है । $0$

— डगलस ज़ारे

तो मैं एक "कहानी" के बारे में सोचने की कोशिश कर रहा हूं जो विकिपीडिया पर किसी भी उदाहरण को फिट करेगी। कहो कि मैं अपने समान रूप से घटिया भाई के साथ पिनबॉल खेल रहा हूं। प्रत्येक खेल में हम एक-एक गेंद खेलते हैं। मोटे तौर पर किसी भी क्षण एक समान मौका है कि मैं (या वह) एक गेंद खो देगा और स्कोर मूल रूप से मैं कितनी देर तक खेलता हूं इसका एक रैखिक कार्य है। तब मेरा स्कोर (और उसका) एक घातांक वितरण द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता था और मेरे और मेरे भाई के स्कोर के बीच के अंतर को लाप्लास वितरित किया जाएगा। कार्यों की तरह?

— रासमस बैथ

Answer 2

के रूप में की राशि एक यौगिक ज्यामितीय वितरण परिभाषित $N_p$ यादृच्छिक परिवर्तनीय आईआईडी $X_N = \sum_i^{N_p} X_i$ , जहां $N_p$ पैरामीटर के साथ एक ज्यामितीय वितरण की तरह वितरित किया जाता है $p$ । मान लें कि iid यादृच्छिक चर $X_i$ में परिमित माध्य $\mu$ और विचरण $v$ ।

गेदेंको द्वारा यह दिखाया गया था कि सीमा $p\to 0$ , यौगिक ज्यामितीय वितरण एक लाप्लास वितरण के निकट आता है।

$Y:= \lim_{p\to 0} \sqrt{p} (X_N - N_p\mu) = Laplace(0,\sqrt{\frac{v}{2}})$

के घनत्व $Laplace(a,b)$ है $\phi(x) = \frac{1}{2b} \exp\left( - \frac{|x-a|}{2b}\right)$

बी.वी. Gnedenko, सकारात्मक स्वतंत्र यादृच्छिक चर की यादृच्छिक संख्या की रकम के लिए सीमा प्रमेयों, प्रोक। 6 वें बर्कले साइपोसियम मठ। स्टेट। Probabil। 2, 537-549, 1970।