दो सामान्य उत्पादों का योग लाप्लास है?

यह जाहिरा तौर पर मामला यह है कि अगर , तो $X_i \sim N(0,1)$

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

मैंने कागजों को मनमाने ढंग से द्विघात रूपों पर देखा है, जिसके परिणामस्वरूप हमेशा भयानक गैर-केंद्रीय ची-स्क्वेर्ड अभिव्यक्ति होती है।

उपरोक्त सरल संबंध मुझे बिल्कुल स्पष्ट नहीं लगता है, इसलिए (यदि यह सच है!) क्या किसी के पास उपरोक्त साक्ष्य है?

— Corone
स्रोत

वितरण और एक सरल बीजीय ध्रुवीकरण पहचान के बीच प्रसिद्ध संबंधों का उपयोग करते हुए चरणों का एक प्रारंभिक अनुक्रम एक प्राथमिक और सहज प्रदर्शन प्रदान करता है।

मुझे यह ध्रुवीकरण पहचान आम तौर पर, यादृच्छिक चर के उत्पादों के साथ तर्क करने और कंप्यूटिंग के लिए उपयोगी है, क्योंकि यह उन्हें वर्गों के रैखिक संयोजनों में कम करता है। पहले उन्हें विकर्ण करके मेट्रिक्स के साथ काम करना थोड़ा सा है। (यहां एक सतही कनेक्शन से अधिक है।)

एक लाप्लास वितरण एक है दो exponentials के अंतर (क्योंकि एक घातीय एक "आधा लाप्लास" वितरण है, जो सहज कुछ समझ में आता है)। (लिंक विशेषता कार्यों में हेरफेर करके इसे प्रदर्शित करता है, लेकिन संबंध को एक परिभाषा के रूप में एक अंतर की परिभाषा से निम्नलिखित प्रारंभिक एकीकरण का उपयोग करके साबित किया जा सकता है।)

$\Gamma(1)$ $\chi^2(2)$ $1/2$

$\chi^2$ $2$

बीजगणितीय संबंध

X_{1} X_{2} + X_{3} X_{4} = [{(\frac{X_{1} + X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} + X_{4}}{2})}^{2}] - [{(\frac{X_{1} - X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} - X_{4}}{2})}^{2}]

$X_1X_2 + X_3X_4 = \left[\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3+X_4}{2}\right)^2\right] - \left[\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3-X_4}{2}\right)^2\right]$

$X_1X_2 + X_3X_4$ $(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$ $\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

$X_1X_2+X_3X_4$

— व्हीबर
स्रोत

यह बिल्कुल रमणीय है!

— Corone

मैंने अभी देखा कि एक और उत्तर, क्षण उत्पन्न करने वाले कार्यों के आधार पर, आँकड़े .stackexchange.com / a / 51717 / 919 पर दिखाई देता है : बीच की शुरुआत में अनुच्छेद को "संयोग से देखें" (लाप्लास वितरण का दूसरा नाम "द्वि-घातीय" है )। यह धागा वर्तमान प्रश्न के सामान्यीकरण के MGF की चिंता करता है।

— whuber

अच्छी व्युत्पत्ति, लेकिन आप कैसे जानते हैं कि दो स्वतंत्र घातीय वितरित चर के अंतर में एक लाप्लासियन वितरण है?

— हैलोगूडीबाई

@ हेलो कृपया लिंक का पालन करें: यह एक विकिपीडिया लेख पर जाता है जिसमें एक संक्षिप्त प्रदर्शन शामिल है।

— whuber

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$

ϕ_{X} (t) = \frac{1}{1 + t^{2}}

$\phi_X(t) = \frac{1}{1+t^2}$

— माइकल एम
स्रोत