निरंतर समान वितरण में संभाव्यता का योग अनंत क्यों नहीं है?

9

एक समान वितरण (निरंतर) की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन ऊपर दिखाया गया है। वक्र के नीचे का क्षेत्र 1 है - जो समझ में आता है क्योंकि प्रायिकता वितरण में सभी संभावनाओं का योग 1 है।

औपचारिक रूप से, उपरोक्त प्रायिकता फ़ंक्शन (f (x)) को परिभाषित किया जा सकता है

1 ए (बी) में एक्स के लिए [ए, बी]

और 0 अन्यथा

इस बात पर विचार करें कि मुझे a (कहना, 2) और b (कहना, 6) के बीच एक वास्तविक संख्या चुननी है। यह समान संभावना बनाता है = 0.25। हालाँकि, चूंकि उस अंतराल में अनंत संख्याएँ हैं, इसलिए अनंत तक की सभी संभावनाओं का योग नहीं होना चाहिए? मैं क्या देख रहा हूँ?

क्या f (x) संख्या x के घटने की संभावना नहीं है?

probability distributions uniform

— rahs
स्रोत

यह भी: math.stackexchange.com/questions/2885278/… ; आंकड़े.stackexchange.com/questions/199280/…

— बेन बोलकर

1

f (x)

$f(x)$ एक प्रायिकता फ़ंक्शन नहीं है - यह एक प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है । यही है, यह आपको संभावना नहीं देता है

x

$x$ एक निश्चित संख्या है, लेकिन संभावना घनत्व या x- अक्ष के साथ प्रति इकाई लंबाई संभावना है। आप इस प्रकार के फ़ंक्शन के लिए कुल संभावना प्राप्त करने के लिए एकीकरण का उपयोग करते हैं- समन नहीं।

— HelloGoodbye

18

$f(x)$ आपके उदाहरण में संभाव्यता द्रव्यमान के बजाय प्रायिकता घनत्व का वर्णन करता है । सामान्य तौर पर, घटनाओं के निरंतर वितरण के लिए - जिन चीज़ों के लिए हमें संभावनाएँ मिलती हैं - वे मानों की श्रेणियाँ हैं, जैसे वक्र के नीचे के क्षेत्र के लिए $a$ सेवा $a+.1$ , या से $a$ सेवा $b$ (हालांकि इस तरह की सीमाओं को सन्निहित नहीं होना चाहिए)। निरंतर वितरण के लिए, किसी भी एकल मूल्य की संभावना आम तौर पर 0 होती है।

— एलेक्सिस
स्रोत

क्या आप कहने की कोशिश कर रहे हैं यह कहने के लिए तकनीकी रूप से सटीक तरीका है? मुझे चिंता है कि "रेंज" चीज लोगों को फेंक देगी, निरंतर वितरण को देखते हुए डिराक

— डेल्टास

3

@ मेहरदाद: द्राक्ष डेल्टा का निरंतर वितरण नहीं होता है। संभावनाओं को निर्दिष्ट करने का उचित तरीका होगा

P (A) = \int_{A} 1 d F

$P(A) = \int_A 1dF$ ।

— एलेक्स आर।

1

@ एलेक्स: ओओफ़, मैंने "निरंतर वितरण" द्वारा मान लिया था कि आपका मतलब केवल एक सतत डोमेन पर वितरण है, क्योंकि लोग यही कहते हैं कि जब वे डीरेका डेल्टा को क्रॉकर डेल्टा का निरंतर एनालॉग कहते हैं। स्पष्टीकरण देने के लिए धन्यवाद।

— user541686

@ मेहरदाद मैं डीरेका के डेल्टा के बारे में ठीक सोच रहा था, लेकिन मुझे उम्मीद है कि आप "सामान्य रूप से" शब्द को नोटिस करेंगे, और ओपी के सांख्यिकीय साक्षरता का स्पष्ट स्तर भी।

— एलेक्सिस

@ मेहरदाद एक यादृच्छिक चर का तकनीकी सूत्रीकरण एक माप के संदर्भ में है: घटना स्थान के पावर सेट से अंतराल तक एक फ़ंक्शन है [0,1]। एक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को एक माप के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है (एक सेट का माप बस उस सेट पर पीडीएफ का अभिन्न अंग है), लेकिन ऐसे उपाय हैं, जैसे कि डायक डेल्टा (एक सेट में 1 माप है यदि इसमें शामिल है)

x_{0}

$x_0$ , और शून्य है अन्यथा) कि, कड़ाई से बोल रहे हैं, पारंपरिक अर्थों में कार्य नहीं कर रहे हैं।

— Acccumulation

11

क्योंकि समन में प्रत्येक शब्द को infinitesimal d द्वारा भारित किया जाता है $x$ । इस बात का महत्व शायद बहुत आसानी से समझा जा सकता है कि बहुत ही बुनियादी उदाहरण के माध्यम से चलना।

निम्नलिखित आयताकार क्षेत्र के तहत क्षेत्र की गणना करने के लिए रीमैन सम्मन का उपयोग करने पर विचार करें (एक आयत को रीमैन सम्मन के सन्निकटन पहलू को हटाने के लिए चुना गया था, जो यहां ध्यान केंद्रित नहीं है): आयताकार क्षेत्र ] हम 2 उपखंडों का उपयोग करके क्षेत्र की गणना कर सकते हैं, या 4 उपसमूह का उपयोग करके । 2 उप-वर्गों के मामले में (निरूपित) $A_i$ ), क्षेत्रों द्वारा दिए गए हैं

ए_{1} = ए_{2} = 5 \times 2 = 10

$A_1=A_2=5\times 2 = 10$ जबकि 4 उपसमूह के मामले में (निरूपित)

B_{i}

$B_i$ ), क्षेत्रों द्वारा दिए गए हैं

{बी}_{1} = {बी}_{2} = {बी}_{3} = {बी}_{4} = 5 \times 1 = 5

$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$ दोनों मामलों में कुल क्षेत्र के अनुरूप हैं

Σ_{मैं = 1}^{2} ए_{मैं} = Σ_{मैं = 1}^{4} {बी}_{मैं} = 20

$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$ अब, यह सब काफी हद तक स्पष्ट है, लेकिन यह एक महत्वपूर्ण रूप से महत्वपूर्ण सवाल उठाता है: ये दो उत्तर क्यों सहमत हैं ? सहज रूप से यह स्पष्ट होना चाहिए कि यह काम करता है क्योंकि हमने उपसमूह के दूसरे सेट की चौड़ाई कम कर दी है। हम प्रत्येक की चौड़ाई के साथ 8 उपग्रहों के साथ एक ही काम करने पर विचार कर सकते हैं

0.5

$0.5$ , और फिर से 16 के साथ ... और हम इस प्रक्रिया को तब तक जारी रख सकते हैं, जब तक कि हमारे पास अनंत संख्या में सब कुछ न हों, प्रत्येक की एक छोटी चौड़ाई के साथ

x

$x$ । जब तक सब कुछ हमेशा सही ढंग से भारित होता है, तब तक जवाब हमेशा सहमत होना चाहिए। सही भार के बिना, योग वास्तव में बस होगा

\infty

$\infty$ ।

यही कारण है कि मैं हमेशा छात्रों को इंगित करना सुनिश्चित करता हूं कि एक अभिन्न केवल प्रतीक नहीं है $\int$ , लेकिन प्रतीकों की जोड़ी $\int \text dx$ ।

— Zxv
स्रोत

5

आप संभाव्यता वितरण की गलत तरीके से व्याख्या कर रहे हैं - यह असीम रूप से विभाजित संभावनाओं की एक अनंत संख्या है, इसलिए आप यह नहीं कह सकते हैं कि "मान 0.5 (1, 1) समान वितरण से ड्राइंग की संभावना" क्योंकि वह संभावना है शून्य - आपके द्वारा प्राप्त किए जा सकने वाले संभावित मूल्यों की एक अनंत संख्या है , और उनमें से सभी समान रूप से संभव हैं, इसलिए स्पष्ट रूप से किसी भी व्यक्तिगत परिणाम की संभावना है $\frac{1}{\infty} = 0$ ^[१] ।

इसके बजाय, आप परिणामों की एक सीमा के लिए संभावना को देख सकते हैं, और माप सकते हैं कि क्षेत्रों का उपयोग कर (और इसलिए अभिन्न)। उदाहरण के लिए, यदि आप (0, 1) वर्दी वितरण (पीडीएफ के साथ) से आकर्षित करते हैं $f(x) = 1$ के लिये $x \in \left[0, 1\right]$ तथा $f(x) = 0$ अन्यथा), तो संभावना है कि आपका परिणाम बीच में है $0.2$ तथा $0.3$ है

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

यानी आपके पास उस सीमा में परिणाम प्राप्त करने का 10% मौका है।

^[१] मेरी गणना के अति-सरलीकरण पर दिल के दौरे वाले सभी लोगों के लिए क्षमा करें।

— कॉन मैन
स्रोत

0

सामान्य तौर पर आपके तर्क इस धारणा में विफल होते हैं:

हालाँकि, चूंकि उस अंतराल में अनंत संख्याएँ हैं, इसलिए अनंत तक की सभी संभावनाओं का योग नहीं होना चाहिए?

यह एक गणितीय समस्या है, जिसे एलिया पैराडॉक्स के ज़ेनो के बाद से जाना जाता है ।

उनके दो दावे थे कि

एक तीर कभी भी अपने लक्ष्य तक नहीं पहुंच सकता
अकिलीस कभी भी कछुए से आगे नहीं निकल पाएगा

वे दोनों इस दावे पर आधारित थे कि आप सकारात्मक संख्याओं के अनंत अनुक्रम का निर्माण कर सकते हैं (पूर्व मामले में यह कहकर कि एक तीर को लक्ष्य के लिए शेष मार्ग के आधे भाग तक अनंत बार उड़ना है, बाद में यह कहते हुए कि अकिलीस के पास है उस स्थिति तक पहुंचने के लिए जहां कछुआ पहले था, और इस बीच कछुआ एक नई स्थिति में चला जाता है जो हमारा अगला संदर्भ आधार बन जाता है)।

तेजी से आगे, यह अनंत रकम की खोज का कारण बना।

तो अनंत के सामान्य योग में कई सकारात्मक संख्याओं का अनंत होना जरूरी नहीं है ; हालाँकि, यह केवल अनंत नहीं हो सकता है, अगर (एक चरम ओवरसाइम्प्लिफिकेशन, इसके बारे में क्षमा करें) अनुक्रम में लगभग सभी संख्याएं 0 के बहुत करीब हैं, भले ही आप उन्हें कितना भी शून्य होने का अनुरोध करें।

अनंत और भी अधिक चालें खेलता है। जिस क्रम में आप अनुक्रम के तत्वों को जोड़ते हैं वह भी महत्वपूर्ण है और ऐसी स्थिति पैदा हो सकती है कि पुन : व्यवस्थित करना अलग परिणाम देता है!

अनंत के विरोधाभास के बारे में थोड़ा और अन्वेषण करें । आप हैरान हो सकते हैं।

— ister
स्रोत

मुझे इस तरह के सवाल की व्याख्या करने का कोई तरीका नहीं दिखता है कि ओपी को गिनने योग्य रकम की सोच है।

— JiK

0

$f(x)$ संभावना घनत्व का वर्णन करता है, और इकाई है $\frac{p}{x}$ । इसलिए आपको दिए गए x के लिए $f(x) = \frac{1}{b-a}$ में $\frac{p}{x}$ इकाइयों, और पी नहीं, जैसा कि आप देख रहे हैं। यदि आप पी चाहते हैं, तो आपको किसी दिए गए रेंज के लिए वितरण फ़ंक्शन की आवश्यकता है, जो कि ए और बी के भीतर एक्स होने की संभावना है।

आशा है कि यह समझ में आता है।

— user3719750
स्रोत