क्या संभावना है कि

मान लीजिए $X$ तथा $Y$ औसत से द्विभाजित सामान्य हैं $\mu=(\mu_1,\mu_2)$ और सहसंयोजक $\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} \\ \end{bmatrix}$ । क्या संभावना है $\Pr\left(X<Y|\min\left(X,Y\right)\right)$ ?

probability normal-distribution conditional-probability

— माइक
स्रोत

@ जब तक सही धन्यवाद, मेरे विचारों को हटा दिया क्योंकि वे यहां कुछ भी नहीं जोड़ रहे हैं।

— 21

\frac{P r (m < Y | X = m)}{P r (m < Y | X = m) + P r (m < X | Y = m)}

$\frac{Pr(m<Y|X=m)}{Pr(m<Y|X=m)+Pr(m<X|Y=m)}$

— सेक्सटस एम्पिरिकस

उपयोगी लिंक आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज.com/questions/30588/… क्या यह एक स्व-अध्ययन प्रश्न है?

— सेक्सस एम्पिरिकस

आपको समस्या पर अपने विचारों को साझा करना चाहिए, इस तथ्य के बावजूद कि यह एक स्व-अध्ययन प्रश्न जैसा दिखता है।

— स्टबबोर्नटोम

जवाबों:

थोड़ा और अधिक स्पष्ट संकेतन का उपयोग करना $P(X<Y|\min(X, Y)=m)$ , कहाँ पे $m$ एक वास्तविक संख्या है, एक यादृच्छिक चर नहीं है। जिस पर सेट $\min(X,Y) = m$ दो आधे खुले खंडों के साथ एक एल आकार का पथ है: एक बिंदु से सीधे ऊपर जा रहा है $(m,m)$ और इसी बिंदु से सीधे दाईं ओर जा रहा है। यह स्पष्ट है कि ऊर्ध्वाधर पैर पर, $x<y$ और क्षैतिज पैर पर $x>y$ ।

इस ज्यामितीय अंतर्ज्ञान को देखते हुए समस्या को समतुल्य रूप में फिर से लिखना आसान है, जहां अंश में हमारे पास केवल ऊर्ध्वाधर पैर है जहां $x<y$ और हर में हम दोनों पैरों का योग है।

$P(X<Y|\min(X, Y)) = \frac{ \displaystyle P(m<Y|X=m) }{ \displaystyle P(m<Y|X=m) + P(m<X|Y=m) } \tag{1}$

तो अब हमें फॉर्म के दो भावों की गणना करने की आवश्यकता है $P(m<X|Y=m)$ । बिवरिएट सामान्य वितरण की ऐसी सशर्त संभावनाएं हमेशा एक सामान्य वितरण होती हैं $\mathcal{N}\left(\mu_{X|Y=m}, s^2_{X|Y=m}\right)$ मापदंडों के साथ:

$\mu_{X|Y=m} = \mu_1+\frac{\displaystyle \sigma_{12}}{\displaystyle \sigma_{22}}({m}-\mu_2) \tag{2}$

$s^2_{X|Y=m} = \sigma_{11}-\frac{\displaystyle \sigma_{12}^2}{\displaystyle \sigma_{22}} \tag{3}$

ध्यान दें कि मूल समस्या परिभाषा में, $\sigma_{ij}$ सहसंयोजक मैट्रिक्स के तत्वों को संदर्भित करता है, उपयोग करने के अधिक सामान्य सम्मेलन के विपरीत $\sigma$ मानक विचलन के लिए। नीचे, हम इसे उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक पाएंगे $s^2$ विचरण के लिए और $s$ सशर्त संभाव्यता वितरण के मानक विचलन के लिए।

इन दो मापदंडों को जानने के बाद, हम संभावना की गणना कर सकते हैं $m<X$ संचयी वितरण फ़ंक्शन से।

$P(m<X|Y=m) = \Phi \left(\frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} -m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \right) \tag{4}$

mutatis mutandis , हमारे पास एक समान अभिव्यक्ति है $P(Y>m|X=m)$ । चलो

$z_{X|Y=m} = \frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} - m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \tag{5}$

तथा

$z_{Y|X=m} = \frac{\displaystyle \mu_{Y;X=m} -m}{\displaystyle s_{Y;X=m}} \tag{6}$

फिर हम इन दोनों के संदर्भ में पूर्ण रूप से संपूर्ण समाधान लिख सकते हैं $z$ स्कोर:

$P(X<Y|\min(X, Y)=m) = 1 - \frac{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m}) }{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m})+\Phi(z_{Y|X=m}) } \tag{7}$

प्रश्न लेखक द्वारा प्रदान किए गए सिमुलेशन कोड के आधार पर, हम इस सैद्धांतिक परिणाम की तुलना नकली परिणाम से कर सकते हैं:

— olooney
स्रोत

में (3) मुझे लगता है कि बाएं हाथ की तरफ एक वर्ग होना चाहिए, क्योंकि यह सशर्त विचरण है, जबकि मानक विचलन बाद में उपयोग किया जाता है।

— यवेस

आप काफी @ सही हैं, और मुझे विश्वास है कि मेरे हाल के संपादन ने इस मुद्दे को ठीक कर दिया है। धन्यवाद।

— --लॉनी

@olooney, इस उत्तर के लिए धन्यवाद। मैं व्युत्पत्ति का पालन कर सकता हूं और यह सही लगता है। हालांकि, मैंने एक सिमुलेशन में सत्यापन (1) और (7) की कोशिश की और परिणाम बहुत अलग थे। आप यहाँ मेरा R कोड देख सकते हैं gist.github.com/mikeguggis/d041df05565f63f8be2c6c51f5cf8961

— माइक

@ माइक, मुझे लगता है कि मेरे पास साइन त्रुटि थी। इसे ठीक करने के बाद, सैद्धांतिक परिणाम सिमुलेशन के परिणामों से सहमत लगता है। gist.github.com/olooney/e88a66d2d2fa7f2f0cd0d0dd6b708739

— olooney

@ बोलो, अच्छा कैच। मैं अभी भी यह समझने में असमर्थ हूं कि दो सिमुलेशन आधारित अनुमान क्यों मेल नहीं खाते हैं (मेरे कोड में लाइनें 30-32)।

— माइक

बेयस प्रमेय के संशोधित संस्करण (और के लिए एक दुरुपयोग का उपयोग करके प्रश्न को फिर से लिखा जा सकता है $Pr$ )

\begin{aligned} P r (X < Y | m i n (X, Y) = m) & = \frac{P r (m i n (X, Y) = m | X < Y) P r (X < Y)}{P r (m i n (X, Y) = m | X < Y) P r (X < Y) + P r (m i n (X, Y) = m | X \geq Y) P r (X \geq Y)} \\ = \frac{P r (X < Y, m i n (X, Y) = m)}{P r (X < Y, m i n (X, Y) = m) + P r (X \geq Y, m i n (X, Y) = m)} . \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) &= \frac{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)}{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)+Pr(min(X,Y)=m|X\geq Y)Pr(X\geq Y)}\\ &= \frac{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)}{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)+Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m)}. \end{align}$

परिभाषित करें $f_{X,Y}$ के bivariate पीडीएफ होने के लिए $X$ तथा $Y$ , $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{1}{2}x^2)$ तथा $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x\phi(t)dt$ । फिर

\begin{aligned} P r (X < Y, m i n (X, Y) = m) & = P r (X = m, Y > m) \\ = \int_{m}^{\infty} f_{X, Y} (m, t) d t \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X<Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X=m,Y>m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(m,t)dt \end{align}$

तथा

\begin{aligned} P r (X \geq Y, m i n (X, Y) = m) & = P r (X \geq m, Y = m) \\ = \int_{m}^{\infty} f_{X, Y} (t, m) d t \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X\geq m,Y=m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(t,m)dt \end{align}$

सामान्यता और सशर्त संभाव्यता की परिभाषा का उपयोग करके पूर्णांक को फिर से लिखा जा सकता है

f_{X, Y} (m, t) = f_{Y | X} (t) f_{X} (m) = \frac{1}{\sqrt{σ_{Y | X}}} ϕ (\frac{t - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}}) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}})

$f_{X,Y}(m,t) = f_{Y|X}(t)f_X(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)$

तथा

f_{X, Y} (t, m) = f_{X | Y} (t) f_{Y} (m) = \frac{1}{\sqrt{σ_{X | Y}}} ϕ (\frac{t - μ_{X | Y}}{\sqrt{σ_{X | Y}}}) \frac{1}{\sqrt{σ_{22}}} ϕ (\frac{m - μ_{2}}{\sqrt{σ_{22}}}) .

$f_{X,Y}(t,m) = f_{X|Y}(t)f_Y(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right).$

कहाँ पे

μ_{X | Y} = μ_{1} + \frac{σ_{12}}{σ_{22}} (m - μ_{2}),

$\mu_{X|Y} = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(m-\mu_2),$

μ_{Y | X} = μ_{2} + \frac{σ_{12}}{σ_{11}} (m - μ_{1}),

$\mu_{Y|X} = \mu_2 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{11}}(m-\mu_1),$

σ_{X | Y} = (1 - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{11} σ_{22}}) σ_{11}

$\sigma_{X|Y} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{11}$

तथा

σ_{Y | X} = (1 - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{11} σ_{22}}) σ_{22} .

$\sigma_{Y|X} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{22}.$

इस प्रकार

P r (X < Y | m i n (X, Y) = m) = \frac{(1 - Φ (\frac{m - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}})}{(1 - Φ (\frac{m - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}}) + (1 - Φ (\frac{m - μ_{X | Y}}{\sqrt{σ_{X | Y}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{22}}} ϕ (\frac{m - μ_{2}}{\sqrt{σ_{22}}})} .

$\begin{equation} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) = \frac{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)}{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)+\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right)}. \end{equation}$

यह अंतिम रूप उस परिणाम के समान है जो @olooney पर आया था। अंतर यह है कि उसकी संभावनाएं सामान्य घनत्व से भारित नहीं होती हैं।

संख्यात्मक सत्यापन के लिए एक आर स्क्रिप्ट यहां पाई जा सकती है

— माइक
स्रोत