Halmos-सैवेज प्रमेय का कहना है कि एक प्रधान सांख्यिकीय मॉडल के लिए एक आंकड़ा पर्याप्त है अगर (और केवल अगर) सभी में राडोण निकोडिम व्युत्पन्न का एक -measurable संस्करण है, जहां a है विशेषाधिकार प्राप्त उपाय ऐसी है कि के लिए और । $(\Omega, \mathscr A, \mathscr P)$ $T: (\Omega, \mathscr A, \mathscr P)\to(\Omega', \mathscr A')$ $\{P \in \mathscr{P} \}$ $T$ $\frac{dP}{dP*}$ $dP*$ $P*=\sum_{i=1}^\infty P_i c_i$ $c_i >0, \sum _{i=1}^\infty c_i =1$ $P_i \in \mathscr P$

मैंने एक सहज ज्ञान प्राप्त करने की कोशिश की है कि प्रमेय क्यों सच है लेकिन मैं सफल नहीं हुआ, इसलिए मेरा प्रश्न यह है कि क्या प्रमेय को समझने का कोई सहज तरीका है।

— सेबस्टियन
स्रोत

मेरा मानना है कि मेरे पास यहाँ सही लिंक है। यदि मैंने कोई गलती की है तो कृपया उसे देखें और निकालें।

— गंग -

शायद शब्दावली के साथ पाठक की मदद करें, उदाहरण के लिए, "प्रभुत्व वाले सांख्यिकीय मॉडल", " व्यवहार्यता" और "विशेषाधिकार प्राप्त उपाय" को परिभाषित करें ?

T

$T$

— कार्ल

एक तकनीकी लेम्मा

मुझे यकीन नहीं है कि यह कितना सहज है, लेकिन हेल्मोस-सैवेज प्रमेय के आपके बयान के मुख्य तकनीकी परिणाम निम्नलिखित हैं:

लेम्मा। चलो $\mu$ एक हो $\sigma$ पर -finite उपाय $(S, \mathcal{A})$ । मान लीजिए कि $\aleph$ पर उपायों का एक संग्रह है $(S, \mathcal{A})$ ऐसी है कि के लिए हर $\nu \in \aleph$ , $\nu \ll \mu$ । तो फिर वहाँ गैर नकारात्मक संख्या का एक अनुक्रम मौजूद है $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ और के तत्वों में से एक दृश्य $\aleph$ , $\{\nu_i\}_{i=1}^\infty$ ऐसी है कि $\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$ और $\nu \ll \sum_{i=1}^\infty c_i \nu_i$ हर के लिए $\nu \in \aleph$ ।

यह Schervish के सिद्धांत (1995) में थियोरम A.78 से शब्दशः लिया गया है । इसमें उन्होंने इसे लेहमैन के परीक्षण सांख्यिकीय हाइपोथेसिस (1986) ( तीसरे संस्करण के लिए लिंक ) के लिए जिम्मेदार ठहराया है, जहां परिणाम हैल्मोस और सैवेज को जिम्मेदार ठहराया जाता है (देखें लेम्मा 7 देखें)। एक और अच्छा संदर्भ शाओ के गणितीय सांख्यिकी (दूसरा संस्करण, 2003) है , जहां प्रासंगिक परिणाम लेम्मा 2.1 और प्रमेय 2.2 हैं।

लेम्मा कहा गया है कि अगर आप एक का प्रभुत्व उपायों के एक परिवार के साथ शुरू ऊपर $\sigma$ -finite उपाय है, तो वास्तव में आप हावी उपाय उपायों का एक गणनीय उत्तल संयोजन के द्वारा परिवार के भीतर से बदल सकते हैं। शोविश ने प्रमेय A.78 बताते हुए लिखा,

"सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में, हम अक्सर उपायों, जिनमें से प्रत्येक के लिए एक एकल के संबंध में पूरी तरह से निरंतर है के एक वर्ग होगा $\sigma$ -finite उपाय। यह अच्छा होगा अगर एक हावी उपाय मूल कक्षा में थे या से निर्माण किया जा सकता है वर्ग। निम्न प्रमेय इस समस्या को संबोधित करता है। "

एक ठोस उदाहरण

हम एक मात्रा का माप लेने के मान लीजिए $X$ जो हमें विश्वास है कि अंतराल पर समान रूप से वितरित किया जाना है $[0, \theta]$ किसी अज्ञात के लिए $\theta > 0$ । इस सांख्यिकीय समस्या में, हम परोक्ष सेट पर विचार कर रहे $\mathcal{P}$ पर बोरेल संभावना उपायों के $\mathbb{R}$ प्रपत्र के सभी अंतराल पर वर्दी वितरण से मिलकर $[0, \theta]$ । है कि, अगर $\lambda$ को दर्शाता है Lebesgue उपाय और, के लिए $\theta > 0$ , $P_\theta$ को दर्शाता $\operatorname{Uniform}([0, \theta])$ वितरण (यानी,

P_{θ} (A) = \frac{1}{θ} λ (A \cap [0, θ]) = \int_{A} \frac{1}{θ} 1_{[0, θ]} (x) d x

$P_\theta(A) = \frac{1}{\theta} \lambda(A \cap [0, \theta]) = \int_A \frac{1}{\theta} \mathbf{1}_{[0, \theta]}(x) \, dx$ हर बोरेल के लिए

A \subseteq R

$A \subseteq \mathbb{R}$ ), तो हम बस है

P = {P_{θ} : θ > 0} .

$\mathcal{P} = \{P_\theta : \theta > 0\}.$ यह हमारे माप

X

$X$ लिए उम्मीदवार वितरण का सेट है।

परिवार $\mathcal{P}$ स्पष्ट रूप से Lebesgue उपाय का प्रभुत्व है $\lambda$ (जो $\sigma$ -finite) है, इसलिए ऊपर लेम्मा (साथ $\aleph = \mathcal{P}$ ) एक दृश्य के अस्तित्व की गारंटी देता है $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ को संक्षेप गैर नकारात्मक संख्या के $1$ और एक अनुक्रम $\{Q_i\}_{i=1}^\infty$ में एक समान वितरण के $\mathcal{P}$ ऐसी है कि

P_{θ} ≪ \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} Q_{i}

$P_\theta \ll \sum_{i=1}^\infty c_i Q_i$ प्रत्येक

θ > 0

$\theta > 0$ । इस उदाहरण में, हम स्पष्ट रूप से ऐसे दृश्यों का निर्माण कर सकते हैं!

सबसे पहले, चलो $(\theta_i)_{i=1}^\infty$ सकारात्मक परिमेय संख्याओं के एक गणना (होना इस स्पष्ट रूप से किया जा सकता है ), और जाने $Q_i = P_{\theta_i}$ प्रत्येक के लिए $i$ । इसके बाद, जाने $c_i = 2^{-i}$ , ताकि $\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$ । मैं दावा के इस संयोजन है कि $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ और $\{Q_i\}_{i=1}^\infty$ कार्य करता है।

इसे देखने के लिए, $\theta > 0$ ठीक करें और $A$ को $\mathbb{R}$ का Borel सबसेट $\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$ जैसे कि । हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि $P_\theta(A) = 0$ । चूंकि $\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$ और प्रत्येक योज्य गैर नकारात्मक है, यह इस प्रकार है कि है $c_i Q_i(A) = 0$ प्रत्येक के लिए $i$ । इसके अलावा, चूंकि प्रत्येक $c_i$ धनात्मक है, इसलिए यहप्रत्येक लिए $Q_i(A) = 0$ अनुसरण करता है। है यही कारण है, सभी के लिए हमारे पास $i$ $i$

Q_{i} (A) = P_{θ_{i}} (A) = \frac{1}{θ_{i}} λ (A \cap [0, θ_{i}]) = 0.

$Q_i(A) = P_{\theta_i}(A) = \frac{1}{\theta_i} \lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0.$ प्रत्येक के बाद से

θ_{i}

$\theta_i$ सकारात्मक है, यह इस प्रकार है कि

λ (A \cap [0, θ_{i}]) = 0

$\lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0$ प्रत्येक के लिए

i

$i$ ।

अब किसी परिणाम को चुनें $\{\theta_{i_k}\}_{k=1}^\infty$ की $\{\theta_i\}_{i=1}^\infty$ जो करने के लिए और converges $\theta$ ऊपर से (इस के बाद से किया जा सकता है $\mathbb{Q}$ में घना है $\mathbb{R}$ )। फिर $A \cap [0, \theta_{\theta_{i_k}}] \downarrow A \cap [0, \theta]$ के रूप में $k \to \infty$ , इसलिए माप की निरंतरता से हम उस निष्कर्ष निकालना

λ (A \cap [0, θ]) = lim_{k \to \infty} λ (A \cap [0, θ_{i_{k}}]) = 0,

$\lambda(A \cap [0, \theta]) = \lim_{k \to \infty} \lambda(A \cap [0, \theta_{i_k}]) = 0,$ और इतने

P_{θ} (A) = 0

$P_\theta(A) = 0$ । यह दावा साबित करता है।

इस प्रकार, इस उदाहरण में हम स्पष्ट रूप से अपने वर्चस्व वाले परिवार से संभाव्यता उपायों के एक गणना योग्य उत्तल संयोजन का निर्माण करने में सक्षम थे जो अभी भी पूरे परिवार पर हावी है। लेम्मा ऊपर की गारंटी देता है कि यह किसी भी प्रधान परिवार के लिए किया जा सकता है (हावी उपाय के रूप में कम से कम जब तक है $\sigma$ -finite)।

हाल्मोस-सेवेज प्रमेय

तो अब हेल्मोस-सैवेज प्रमेय पर (जिसके लिए मैं व्यक्तिगत प्राथमिकता के कारण प्रश्न की तुलना में थोड़ा अलग संकेतन का उपयोग करूंगा)। हेल्मोस-सैवेज प्रमेय को देखते हुए, फिशर-नेमन फैक्टराइजेशन प्रमेय, दोब-डाइनकिन लेम्मा का केवल एक अनुप्रयोग है और रैडॉन-निकोडिम डेरिवेटिव के लिए चेन नियम!

हेल्मोस-सेवेज प्रमेय। चलो $(\mathcal{X}, \mathcal{B}, \mathcal{P})$ एक प्रभुत्व सांख्यिकीय मॉडल होना चाहिए (यानी $\mathcal{P}$ पर संभावना उपायों का एक सेट है $\mathcal{B}$ और एक है $\sigma$ -finite मापने $\mu$ पर $\mathcal{B}$ ऐसी है कि $P \ll \mu$ सभी के लिए $P \in \mathcal{P}$ )। Let $T : (\mathcal{X}, \mathcal{B}) \to (\mathcal{T}, \mathcal{C})$ एक औसत दर्जे का समारोह, हो जहां $(T, \mathcal{C})$ एक मानक बोरेल स्थान है। उसके बाद निम्न बराबर हैं:

$T$ के लिए पर्याप्त है $\mathcal{P}$ (जिसका अर्थ है एक संभावना गिरी है कि वहाँ $r : \mathcal{B} \times \mathcal{T} \to [0, 1]$ ऐसी है कि $r(B, T)$ का एक संस्करण है $P(B \mid T)$ सभी के लिए $B \in \mathcal{B}$ और $P \in \mathcal{P}$ )।

एक दृश्य भी बना हुआ है $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ गैर नकारात्मक संख्या के ऐसी है कि $\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$ और एक दृश्य $\{P_i\}_{i=1}^\infty$ संभावना उपायों के में $\mathcal{P}$ ऐसी है कि $P \ll P^*$ के लिए सभी $P \in \mathcal{P}$ , जहां $P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i$ , और प्रत्येक के लिए $P \in \mathcal{P}$ वहाँ एक से मौजूद है $T$ के -measurable संस्करण $dP/dP^*$ ।

सबूत। ऊपर लेम्मा करके, हम तुरंत जगह ले सकती $\mu$ द्वारा $P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i$ कुछ दृश्य के लिए $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ गैर नकारात्मक संख्या के ऐसी है कि $\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$ और एक अनुक्रम $\{P_i\}_{i=1}^\infty$ $\mathcal{P}$ में प्रायिकता के उपाय ।

(1. तात्पर्य 2.) मान लीजिए कि $T$ पर्याप्त है। फिर हम देखते हैं कि दिखाना चाहिए $T$ की -measurable संस्करणों $dP/dP^*$ सभी के लिए $P \in \mathcal{P}$ । $r$ प्रमेय के कथन में प्रायिकता कर्नेल होने दें । प्रत्येक के लिए $A \in \sigma(T)$ और $B \in \mathcal{B}$ हमारे पास

\begin{aligned} P^{*} (A \cap B) & = \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} P_{i} (A \cap B) \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} \int_{A} P_{i} (B ∣ T) d P_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} \int_{A} r (B, T) d P_{i} \\ = \int_{A} r (B, T) d P^{*} . \end{aligned}

$\begin{aligned} P^*(A \cap B) &= \sum_{i=1}^\infty c_i P_i(A \cap B) \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A P_i(B \mid T) \, dP_i \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A r(B, T) \, dP_i \\ &= \int_A r(B, T) \, dP^*. \end{aligned}$ इस प्रकार

r (B, T)

$r(B, T)$ का एक संस्करण है

P^{*} (B ∣ T)

$P^*(B \mid T)$ सभी के लिए

B \in B

$B \in \mathcal{B}$ ।

प्रत्येक के लिए $P \in \mathcal{P}$ , चलो $f_P$ रेडॉन-Nikodym व्युत्पन्न का एक संस्करण निरूपित $dP/dP^*$ औसत दर्जे का स्थान पर $(\mathcal{X}, \sigma(T))$ (ताकि विशेष रूप से $f_P$ है $T$ -measurable)। तब सभी के लिए $B \in \mathcal{B}$ और $P \in \mathcal{P}$ हम

\begin{aligned} P (B) & = \int_{X} P (B ∣ T) d P \\ = \int_{X} r (B, T) d P \\ = \int_{X} r (B, T) f_{P} d P^{*} \\ = \int_{X} P^{*} (B ∣ T) f_{P} d P^{*} \\ = \int_{X} E_{P^{*}} [1_{B} f_{P} ∣ T] d P^{*} \\ = \int_{B} f_{P} d P^{*} . \end{aligned}

$\begin{aligned} P(B) &= \int_{\mathcal{X}} P(B \mid T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_B f_P \, dP^*. \end{aligned}$ इस प्रकार वास्तव में

f_{P}

$f_P$ एक है

T

$T$ के -measurable संस्करण

d P / d P^{*}

$dP/dP^*$ पर

(X, B)

$(\mathcal{X}, \mathcal{B})$ । यह साबित करता है कि प्रमेय की पहली स्थिति दूसरी का अर्थ है।

(2. तात्पर्य 1.) मान लीजिए एक एक चुन सकते हैं $T$ -measurable संस्करण $f_P$ की $dP/dP^*$ प्रत्येक के लिए $P \in \mathcal{P}$ । प्रत्येक के लिए $B \in \mathcal{B}$ , चलो $r(B, t)$ का एक विशेष संस्करण निरूपित $P^*(B \mid T = t)$ (जैसे, $r(B, t)$ एक समारोह ऐसा है कि $r(B, T)$ का एक संस्करण है $P^*(B \mid T)$ )। चूँकि $(T, \mathcal{C})$ एक मानक बोरेल स्थान है, हम $r$ को इस तरह सेचुन सकते हैंजो इसे एक संभाव्यता कर्नेल बनाता है (देखें, उदाहरण के लिए, स्वर्विश कीथ्योरी ऑफ़ स्टेटिस्टिक्स(1995)में प्रमेय B.32)। हम दिखा देंगे कि $r(B, T)$ का एक संस्करण है $P(B \mid T)$ किसी के लिए $P \in \mathcal{P}$ और किसी भी $B \in \mathcal{B}$ । इस प्रकार, $A \in \sigma(T)$ और $B \in \mathcal{B}$ दिया जाना चाहिए। तब सभी के लिए $P \in \mathcal{P}$ हम

\begin{aligned} P (A \cap B) & = \int_{A} 1_{B} f_{P} d P^{*} \\ = \int_{A} E_{P^{*}} [1_{B} f_{P} ∣ T] d P^{*} \\ = \int_{A} P^{*} (B ∣ T) f_{P} d P^{*} \\ = \int_{A} r (B, T) f_{P} d P^{*} \\ = \int_{A} r (B, T) d P . \end{aligned}

$\begin{aligned} P(A \cap B) &= \int_A \mathbf{1}_B f_P \, dP^* \\ &= \int_A E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_A P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) \, dP. \end{aligned}$ यह दिखाता है कि

r (B, T)

$r(B, T)$ का एक संस्करण है

P (B ∣ T)

$P(B \mid T)$ किसी के लिए

P \in P

$P \in \mathcal{P}$ और किसी भी

B \in B

$B \in \mathcal{B}$ , और सबूत किया जाता है।

सारांश। हलमोस-सैवेज प्रमेय के रूप में यहां प्रस्तुत महत्वपूर्ण तकनीकी परिणाम यह तथ्य है कि संभाव्यता उपायों का एक वर्चस्व वाला परिवार वास्तव में उस परिवार से संभाव्यता उपायों के एक गणना योग्य उत्तल संयोजन का प्रभुत्व है। उस परिणाम को देखते हुए, हेल्मोस-सैवेज प्रमेय के बाकी हिस्सों को केवल रैडॉन-निकोडिम डेरिवेटिव के बुनियादी गुणों और सशर्त अपेक्षाओं के साथ जोड़तोड़ किया गया है।

— आर्टेम मावरीन
स्रोत

हेल्मोस-सैवेज प्रमेय की सहज समझ

एक तकनीकी लेम्मा

एक ठोस उदाहरण

हाल्मोस-सेवेज प्रमेय