रैंडम ग्राफ में त्रिकोणों की गणना का वितरण और विविधता

Question

एक Erdos-Renyi यादृच्छिक ग्राफ । कोने का सेट द्वारा लेबल किया गया है । किनारों सेट का निर्माण एक यादृच्छिक प्रक्रिया द्वारा किया जाता है।एन वी वी = { 1 , 2 , … , एन } $G=(V(n),E(p))$$n$$V$$V = \{1,2,\ldots,n\}$$E$

चलो एक संभावना हो , तो प्रत्येक अव्यवस्थित जोड़ी कोने की ( ) में बढ़त के रूप में होता संभावना के साथ स्वतंत्र रूप से अन्य जोड़ों की,।0 < p < 1 { मैं , जे } मैं ≠ जे ई $p$$0<p<1$$\{i,j\}$$i \neq j$$E$$p$

में एक त्रिकोण अलग-अलग चक्करों का एक अनियंत्रित ट्रिपल है, जैसे कि , , और किनारों हैं ।{ आई , जे , के } { आई , जे } { जे , के } { के , आई } $G$$\{i,j,k\}$$\{i,j\}$$\{j,k\}$$\{k,i\}$$G$

संभावित त्रिकोण की अधिकतम संख्या । ग्राफ G में त्रिभुजों की देखी गई गणना होने के लिए यादृच्छिक चर X को परिभाषित करें ।$\binom{n}{3}$$X$$G$

तीन लिंक एक साथ मौजूद होने की संभावना $p^3$ । इसलिए, $X$ का अपेक्षित मान $E(X) = \binom{n}{3} p^3$ । Naively, एक अनुमान लगा सकता है कि विचरण $E(X^2) =\binom{n}{3} p^3 (1-p^3)$ , लेकिन ऐसा नहीं है।

निम्नलिखित Mathematica कोड समस्या का अनुकरण करता है:

n=50;
p=0.6;
t=100;
myCounts=Table[Length[FindCycle[RandomGraph[BernoulliGraphDistribution[n,p]],3,All]],{tt,1,t}];
N[Mean[myCounts]] // 4216. > similar to expected mean
Binomial[n,3]p^3 // 4233.6
N[StandardDeviation[myCounts]] // 262.078 > not similar to "expected" std
Sqrt[Binomial[n,3](p^3)(1-p^3)] // 57.612
Histogram[myCounts]

X का विचरण क्या है $X$?

Answer 1

आज्ञा देना iff एक त्रिकोण बनाते हैं। फिर और प्रत्येक । यह वही है जो आपने अपेक्षित मूल्य की गणना करने के लिए उपयोग किया है।{ मैं , जे , कश्मीर } एक्स = Σ मैं , जे , k वाई मैं j कश्मीर Y मैं j कश्मीर ~ बी ई आर एन ओ यू एल एल मैं ( पी 3$Y_{ijk}=1$$\{i, j, k\}$$X=\sum_{i, j, k}Y_{ijk}$$Y_{ijk}\sim Bernoulli(p^3)$

प्रसरण के लिए, समस्या यह है कि स्वतंत्र नहीं हैं। वास्तव में, हमें गणना करने की आवश्यकता है , जो संभावना है कि दोनों त्रिकोण मौजूद हैं। कई मामले हैं: एक्स 2 = Σ मैं , जे , कश्मीर Σ मैं ' , जे ' , कश्मीर ' Y मैं j कश्मीर Y मैं ' जे ' कश्मीर ' । ई [ Y मैं j कश्मीर Y मैं ' जे ' कश्मीर '$Y_{ijk}$

$$X^2=\sum_{i, j, k}\sum_{i', j', k'}Y_{ijk}Y_{i'j'k'}.$$ $E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]$

• यदि (वही 3 कोने) तो । नहीं होगा ऐसे दोहरे राशि में शर्तें।$\{i,j,k\}=\{i',j',k'\}$$E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]=p^3$$\binom{n}{3}$
• यदि सेट और में सामान्य रूप से 2 तत्व हैं, तो हमें दो त्रिभुज प्राप्त करने के लिए 5 किनारों की आवश्यकता है, ताकि । वहाँ हो जाएगा राशि में ऐसे शब्दों।$\{i,j,k\}$$\{i',j',k'\}$$E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]=p^5$$12 \binom{n}{4}$
• यदि सेट और में 1 तत्व समान है, तो हमें 6 किनारों की आवश्यकता होती है, ताकि । होगा राशि में ऐसे शब्दों।$\{i,j,k\}$$\{i',j',k'\}$$E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]=p^6$$30 \binom{n}{5}$
• यदि सेट और में 0 तत्व समान है, तो हमें 6 किनारों की आवश्यकता है, ताकि । होगा राशि में ऐसे शब्दों।$\{i,j,k\}$$\{i',j',k'\}$$E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]=p^6$$20 \binom{n}{6}$

यह सत्यापित करने के लिए कि हमने सभी मामलों को कवर कर लिया है, ध्यान दें कि योग तक जुड़ जाता है ।$\binom{n}{3}^{2}$

$$\binom{n}{3} + 12 \binom{n}{4} + 30 \binom{n}{5} + 20 \binom{n}{6} = \binom{n}{3}^{2}$$

अपेक्षित साधनों के वर्ग को घटाना याद रखना, यह सब एक साथ देता है:

$$E[X^2] - E[X]^2 = \binom{n}{3} p^3 + 12 \binom{n}{4} p^5 + 30 \binom{n}{5} p^6 + 20 \binom{n}{6} p^6 - \binom{n}{3}^2 p^6$$

अपने उदाहरण के रूप में समान संख्यात्मक मूल्यों का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित आर कोड मानक विचलन की गणना करता है, जो आपके सिमुलेशन से 262 के मूल्य के करीब है।

n=50
p=0.6
sqrt(choose(n, 3)*p^3+choose(n, 2)*(n-2)*(n-3)*p^5+(choose(n, 3)*choose(n-3, 3)+n*choose(n-1, 2)*choose(n-3, 2))*p^6-4233.6^2)
298.7945

निम्नलिखित Mathematica कोड भी मानक विचलन की गणना करता है, जो समान परिणाम देता है।

mySTD[n_,p_]:=Sqrt[Binomial[n,3]p^3+12Binomial[n,4]p^5+30 Binomial[n,5]p^6+20Binomial[n,6]p^6-(Binomial[n,3]p^3)^2]
mySTD[50,0.6] // gives 298.795

Comments

वास्तव में काफी सीधा है। बहुत बढ़िया! मैंने आपके उत्तर को थोड़ा अद्यतन किया है, भावों को सरल बनाया है और गणितज्ञ कोड जोड़ा है । मैंने अपना सिमुलेशन 10k बार भी चलाया और 295.37 की एक स्टीडी प्राप्त की, जो अपेक्षित मूल्य के बहुत करीब है।

— LBogaardt

संपादन के लिए धन्यवाद। मुझे खुशी है कि 10k पुनरावृत्तियों के साथ सिमुलेशन उत्तर की पुष्टि करता है!

— रॉबिन राइडर

मुझे निर्देशित रेखांकन के लिए मूल संदर्भ मिला: हॉलैंड (1970)। सोशियोमेट्रिक डेटा में संरचना का पता लगाने के लिए एक विधि।

— LBogaardt

Answer 2

मैं व्युत्पन्न थोड़ा अलग दृष्टिकोण प्रदान करता हूं ।$\mathrm{X}^{2}$

रॉबिन राइडर ने जैसा किया वैसा ही मामला भेद के साथ:

• यदि यानी 3 कोने समान हैं, तो इस प्रकार हमें n संभव बाहर 3 कोने लेने चाहिए । हमारे पास 3 किनारे मौजूद होंगे । संयुक्त:$\{i, j, k\} = \{i', j', k'\}$$\Rightarrow \binom{n}{3}$$\Rightarrow \mathrm{p}^{3}$$\binom{n}{3}\mathrm{p}^{3}$

• यदि और में दो वर्जन होते हैं, तो इसका मतलब है कि जिसके लिए और इसके विपरीत (प्रत्येक त्रिकोण में एक शीर्ष है जो अन्य त्रिकोण का हिस्सा नहीं है)। Wlog कल्पना और$\{i, j, k\}$$\{i', j', k'\}$$\exists v \in \{i, j, k\}$$v \notin \{i', j', k'\}$$v = k$$v' = k'$ उल्लिखित अव्यवस्थित कोने और = , = । = , = को प्राप्त करने के लिए , हमें n संभव में से समान दो । के लिए$i$$i'$$j$$j'$$i$$i'$$j$$j'$$\Rightarrow \binom{n}{2}$$k \neq k'$हमें बचे हुए शीर्षों में से दो को चुनना होगा। पहला एक: और दूसरा एक: । क्योंकि किनारे और समान हैं, हमारे पास 5 किनारे मौजूद होना चाहिए । संयुक्त:$(n-2)$$(n-3)$$\{i, j\}$$\{i', j'\}$$\Rightarrow \mathrm{p}^{5}$$\binom{n}{2}(n-2)(n-3)\mathrm{p}^{5}$

• यदि और में केवल एक ही शीर्ष है, तो 4 अव्यवस्थित हैं। कल्पना कीजिए, wlog, कि$\{i, j, k\}$$\{i', j', k'\}$$i$ = । इसका मतलब है कि, n संभव बाहर, हमें 1 चुनना चाहिए । त्रिकोण हम शेष 2 कोने निकालते हैं । त्रिकोण हम शेष , यह इस धारणा के कारण है कि और । क्योंकि हमारे पास केवल एक ही शिखर है, हमारे पास 6 किनारे मौजूद होने चाहिए$i'$$\Rightarrow n$$\{i, j, k\}$$(n-1) \Rightarrow \binom{n-1}{2}$$\{i', j', k'\}$$(n-3) \Rightarrow \binom{n-3}{2}$$j'\notin\{i, j, k\}$$k'\notin\{i, j, k\}$$\Rightarrow \mathrm{p}^{6}$ । संयुक्त:$n\binom{n-1}{2}\binom{n-3}{2}\mathrm{p}^{6}$

• अंतिम मामले के लिए: यदि और का कोई वर्टेक्स नहीं है, तो 2 त्रिकोण अव्यवस्थित हैं। हम पहला त्रिभुज चुनते हैं, n संभव 3 कोने । और दूसरा त्रिभुज, 3 कोने शेष । त्रिकोण अव्यवस्थित हैं, अर्थात वे बिना किनारों और सिरों को साझा करते हैं, इस प्रकार 6 किनारों को होना चाहिए । संयुक्त:$\{i, j, k\}$$\{i', j', k'\}$$\Rightarrow \binom{n}{3}$$(n-3)$$\Rightarrow \binom{n-3}{3}$$\Rightarrow \mathrm{p}^{6}$$\binom{n}{3}\binom{n-3}{3}\mathrm{p}^{6}$

जैसा कि रॉबिन राइडर के दृष्टिकोण में, हम यह सत्यापित कर सकते हैं:

$\binom{n}{3} + \binom{n}{2}(n-2)(n-3) + n\binom{n-1}{2}\binom{n-3}{2} + \binom{n}{3}\binom{n-3}{3} = \mathrm{\binom{n}{3}}^{2}$ रखती है।

इससे यह होगा:

$Var[X] = E[\mathrm{X}^{2}] - \mathrm{E[X]}^{2} = \binom{n}{3}\mathrm{p}^{3} + \binom{n}{2}(n-2)(n-3)\mathrm{p}^{5} + n\binom{n-1}{2}\binom{n-3}{2}\mathrm{p}^{6} + \binom{n}{3}\binom{n-3}{3}\mathrm{p}^{6} - \mathrm{\binom{n}{3}}^{2}\mathrm{p}^{6}.$