क्या संभावना सिद्धांत गैर-नकारात्मक कार्यों का अध्ययन है जो एक को एकीकृत / योग करता है?

26

यह संभवतः एक मूर्खतापूर्ण प्रश्न है, लेकिन क्या संभाव्यता सिद्धांत उन कार्यों के अध्ययन को एकीकृत करता है जो एक को एकीकृत / योग करते हैं?

संपादित करें। मैं गैर-नकारात्मकता भूल गया। तो क्या संभावना सिद्धांत गैर-नकारात्मक कार्यों का अध्ययन है जो एक को एकीकृत / योग करता है?

probability mathematical-statistics measure-theory

— dontloo
स्रोत

हां, प्रायिकताएं हमेशा एक के बराबर होती हैं। दूसरी ओर संभावना यह बाधा नहीं है।

— माइक हंटर

2

प्रश्न के रूप में कहा गया है करने के लिए केवल उचित जवाब नहीं है, कम से कम नहीं है क्योंकि वहाँ कई कार्य हैं

f

$f$ कि 1 करने के लिए एकीकृत लेकिन जिसके लिए

\int_{a}^{b} f (u) d u

$\int_{a}^b f(u) du$ कुछ के लिए संभावनाओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं

a

$a$ और

b

$b$ । उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन पर विचार करें जो 0 और 1 के बीच 1.5 और 1 और 2 के बीच -0.5 है, और 0 हर जगह है। (लेकिन यह यकीनन "नहीं" भी अन्य कारणों से है)

— Glen_b -Reinstate Monica

2

संबं धत लं क आँकड़े

— Ilmari Karonen

1

नकारात्मक संभावना पर गंभीर कागजात हैं, जैसे मौरिस एस। बारलेट। doi.org/10.1017/S0305004100022398

— निक कॉक्स

2

@dontloo जो मैं वहां पर लक्ष्य कर रहा था वह अब चाकोने के जवाब में ताओ बोली द्वारा बहुत अच्छी तरह से कवर किया गया है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

31

विशुद्ध रूप से औपचारिक स्तर पर, कोई भी संभाव्यता सिद्धांत को कुल माप एक के साथ माप रिक्त स्थान का अध्ययन कह सकता है, लेकिन यह संख्या सिद्धांत को कॉलिंग की तरह होगा जो अंकों के तार के अध्ययन को समाप्त करता है।

- टेरी ताओ के विषय से यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में ।

मुझे लगता है कि यह वास्तव में मौलिक चीज है। हम एक संभावना अंतरिक्ष मिल गया है, तो और एक यादृच्छिक चर pushforward उपाय के साथ , तो कारण एक घनत्व $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X : \Omega \to \mathbb R$ $P_X := P \circ X^{-1}$ एक के लिए एकीकृत है क्योंकि। और यह pffs बनाम pmfs से अधिक मौलिक है। $f = \frac{\text d P_X}{\text d\mu}$ $P(\Omega) = 1$

यहाँ सबूत है:

\int_{R} f d μ = \int_{R} d P_{X} = P_{X} (R) = P ({ω \in Ω : X (ω) \in R}) = P (Ω) = 1.

$\int_{\mathbb R} f \,\text d\mu = \int_{\mathbb R} \,\text dP_X = P_X(\mathbb R) = P\left(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \in \mathbb R\}\right) = P(\Omega) = 1.$

यह एडमो के उत्तर (+1) का लगभग एक रीफ़्रेशिंग है क्योंकि सभी CDF càdlàg हैं, और पर CDF के सेट और पर सभी प्रायिकता उपायों के सेट के बीच एक-से-एक संबंध हैं , लेकिन चूंकि आरवी के सीडीएफ को इसके वितरण के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, मैं संभावना स्थानों को इस तरह के प्रयास के साथ "शुरू" करने के स्थान के रूप में देखता हूं। $\mathbb R$ $(\mathbb R, \mathbb B)$

मैं CDFs और प्रायिकता उपायों के बीच पत्राचार पर विस्तार से बता रहा हूं और दोनों इस प्रश्न के लिए उचित उत्तर कैसे हैं।

हम दो प्रायिकता उपायों के साथ शुरू करते हैं और संबंधित CDF का विश्लेषण करते हैं। हम इसके बजाय सीडीएफ से शुरू करते हैं और इसके द्वारा प्रेरित माप को देखते हुए निष्कर्ष निकालते हैं।

चलो और पर संभावना उपाय हो और जाने और उनके संबंधित CDFS हो (यानी और के लिए इसी तरह ।) और दोनों यादृच्छिक चर (यानी वितरण) के स्पष्ट उपायों का प्रतिनिधित्व करेंगे, लेकिन यह वास्तव में कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे इसके लिए कहां से आए थे। $Q$ $R$ $(\mathbb R, \mathbb B)$ $F_Q$ $F_R$ $F_Q(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$ $R$ $Q$ $R$

प्रमुख विचार यह है: यदि और , पर्याप्त मात्रा में सेटों के संग्रह पर सहमत हैं, तो वे उन सेटों द्वारा उत्पन्न -algebra पर सहमत हैं । सहजता से, अगर हमें घटनाओं का एक अच्छा-खासा संग्रह मिला है, जो कि सभी संख्या में पूरक, चौराहों, और यूनियनों के माध्यम से बनता है , तो उन सभी सेटों पर सहमत होना किसी भी बोरेल सेट के लिए असहमत होने के लिए कोई जगह नहीं छोड़ता है। $Q$ $R$ $\sigma$ $\mathbb B$

चलो औपचारिकता करते हैं। चलो और जाने , यानी का उपसमुच्चय होती है , जिस पर और सहमत (और परिभाषित हैं)। ध्यान दें कि हम उनके लिए गैर-बोरेल सेट पर सहमत होने की अनुमति दे रहे हैं क्योंकि परिभाषित नहीं है क्योंकि जरूरी नहीं कि एक उपसमूह हो $\mathscr S = \{(-\infty, a] : a \in \mathbb R\}$ $\mathcal L = \{A \subseteq \mathbb R : Q(A) = R(A)\}$ $\mathcal L$ $\mathcal P(\mathbb R)$ $Q$ $R$ $\mathcal L$ । हमारा लक्ष्य को दिखाने के लिए वह यह है कि । $\mathbb B$ $\mathbb B \subseteq \mathcal L$

ऐसा लगता है कि ( -algebra द्वारा उत्पन्न ) वास्तव में , इसलिए हमें उम्मीद है कि घटनाओं की एक पर्याप्त रूप से बड़ा संग्रह है कि अगर है पर हर जगह बराबर हो तो वे मजबूर कर रहे हैं सभी पर । $\sigma(\mathscr S)$ $\sigma$ $\mathscr S$ $\mathbb B$ $\mathscr S$ $Q = R$ $\mathscr S$ $\mathbb B$

ध्यान दें कि परिमित चौराहों के तहत बंद कर दिया है, और कहा कि पूरक और गणनीय संबंध तोड़ना चौराहों के तहत बंद कर दिया है (इस से इस प्रकार -additivity)। इसका मतलब है कि एक है -System और एक है -System । द्वारा - प्रमेय हम इसलिए कि । तत्व $\mathscr S$ $\mathcal L$ $\sigma$ $\mathscr S$ $\pi$ $\mathcal L$ $\lambda$ $\pi$ $\lambda$ $\sigma(S) = \mathbb B \subseteq \mathcal L$ $\mathscr S$ एक मनमाने ढंग से बोरेल सेट के रूप में जटिल होने के आस-पास कहीं भी नहीं हैं, लेकिन क्योंकि कोई भी बोरेल सेट के तत्वों पर और बीच एक ही असहमति नहीं है, तो के तत्वों के संघटकों, यूनियनों और चौराहों की संख्या से बनाया जा सकता है । तो यह किसी पर कोई असहमति वहाँ जा रहा है के माध्यम से पालन किया जाएगा । $\mathscr S$ $Q$ $R$ $\mathscr S$ $B \in \mathbb B$

हम सिर्फ पता चला है कि अगर तो (पर ) है, जो मतलब है कि नक्शा से के लिए एक इंजेक्शन है। $F_Q = F_R$ $Q = R$ $\mathbb B$ $Q \mapsto F_Q$ $\mathscr P := \{P : P \text { is a probability measure on } (\mathbb R, \mathbb B)\}$ $\mathcal F := \{F : \mathbb R \to \mathbb R : F \text { is a CDF}\}$

अब अगर हम दूसरी दिशा में जाने के बारे में सोचना चाहते हैं, तो हम एक सीडीएफ साथ शुरू करना चाहते हैं और यह दिखाना चाहते हैं कि एक अद्वितीय संभावना माप जैसे कि । यह स्थापित करेगा। हमारी मैपिंग वास्तव में एक है। इस दिशा के लिए, हम बिना किसी संभावना या उपायों के संदर्भ में परिभाषित करते हैं । $F$ $Q$ $F(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$ $Q \mapsto F_Q$ $F$

हम पहले एक फ़ंक्शन जैसे कि एक Stieltjes माप फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं $G : \mathbb R \to \mathbb R$

गैर घट रहा है $G$
सही-सतत है $G$

(और ध्यान दें कि इस परिभाषा से càdlàg का अनुसरण कैसे किया जाता है, लेकिन अतिरिक्त गैर-घटती हुई बाधा के कारण "अधिकांश" càdlàg कार्य Stieltjes माप कार्य नहीं हैं)।

यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक Stieltjes ढंग से काम एक अनूठा उपाय लाती पर द्वारा परिभाषित (देखें उदाहरण के लिए Durrett की संभावना और रैंडम प्रक्रियाओं जानकारी के लिए इस पर)। उदाहरण के लिए, लेब्सेग माप से प्रेरित है । $G$ $\mu$ $(\mathbb R, \mathbb B)$

μ ((a, b]) = G (b) - G (a)

$\mu\left((a, b]\right) = G(b) - G(a)$

G (x) = x

$G(x) = x$

अब ध्यान देने योग्य बात एक CDF एक Stieltjes ढंग से काम है कि अतिरिक्त गुणों के साथ कि और , हम उस परिणाम को यह दिखाने के लिए लागू कर सकते हैं कि प्रत्येक CDF हमें पर एक अनूठा माप मिलता है। $F$ $\lim_{x\to-\infty} F(x) := F(-\infty) = 0$ $\lim_{x\to\infty} F(x) := F(\infty) = 1$ $F$ $Q$ $(\mathbb R, \mathbb B)$ द्वारा परिभाषित

Q ((a, b]) = F (b) - F (a) .

$Q\left((a, b]\right) = F(b) - F(a).$

नोट कैसे और तो एक प्रायिकता माप है और ठीक वही है जिसका उपयोग हमने को परिभाषित करने के लिए किया होगा $Q\left((-\infty, a]\right) = F(a) - F(-\infty) = F(a)$ $Q\left((-\infty, -\infty]\right) = F(\infty) - F(-\infty) = 1$ $Q$ $F$ अगर हम दूसरी दिशा में जा रहे थे।

अब हम सभी ने देखा है कि मैपिंग 1-1 है और इसलिए हमें वास्तव में और बीच एक । इसे वास्तविक प्रश्न पर वापस लाते हुए, यह दिखाता है कि हम अपनी वस्तु के रूप में सीडीएफ या संभाव्यता के उपायों को समान रूप से पकड़ सकते हैं, जिसे हम संभावना के अध्ययन के रूप में घोषित करते हैं (जबकि यह भी पहचानते हैं कि यह कुछ हद तक प्रयास है)। मैं व्यक्तिगत रूप से अभी भी संभावना स्थानों को पसंद करता हूं क्योंकि मुझे लगता है कि सिद्धांत उस दिशा में अधिक स्वाभाविक रूप से बहता है लेकिन सीडीएफ "गलत" नहीं हैं। $Q \mapsto F_Q$ $\mathscr P$ $\mathcal F$

— जेएलडी
स्रोत

3

मामले पर एक व्यापक परिप्रेक्ष्य के लिए +1; आप सही ढंग से ध्यान दें कि Skorokhod का càdlàg फ़ंक्शन-स्पेस केवल एक वर्तमान धारणा है कि प्रायिकता सिद्धांत क्या कहता है, बोरेल से मौलिक रूप से अलग है, और Skorokhod की खोज केवल ~ 40 वर्ष या उससे पहले की तारीख की है। कौन जानता है कि अगली सदी क्या उजागर कर सकती है?

— एडमो

1

@ अदमो बिल्कुल, और वहाँ गैर-आर्किमिडीज़ संभावना की तरह अजीब लोग हैं, जहां भले ही वे कभी भी प्रमुख नहीं बनते (और मेरी जानकारी के लिए कोई भी गंभीरता से ऐसा करने की कोशिश नहीं कर रहा है) मुझे लगता है कि वे मुझे मानक विनियमन को बेहतर ढंग से समझने में मदद करते हैं। जैसे कि कैसे एक बात सिग्मा additivity के गंभीर है)

— जेएलडी

मैंने टेरेंस ताओ के प्रश्न शीर्षक और विचार को पढ़ा; इसे वर्षों पहले ( 2010 ) पढ़ा होगा लेकिन यह वास्तव में यादगार है। जैसा कि उन्होंने कहा, एक व्यावहारिक स्तर पर, विपरीत सच है ...

— श्रीवत्सआर

इस प्रश्न पर मेरी टिप्पणी देखें: इस प्रश्न और चर्चा से संबंधित संभावना के वैकल्पिक सिद्धांत, जैसे कि बायेसियन (और डेम्पस्टर-शेफर और ट्रांसफ़रेबल बिलीफ मॉडल और डीज़र्ट-स्मरंडचे थ्योरी), इंपेक्टीज प्रायिकताएं, प्लॉसिबिलिटी सिद्धांत आदि कैसे हैं?

— ई। डगलस जेन्सेन

@ E.DouglasJensen मुझे यकीन नहीं है, मैं इसे मानक Kolmogorov axioms के संदर्भ में संबोधित कर रहा हूं, इसलिए उस संदर्भ में मुझे लगता है कि मेरा उत्तर "सही" है, लेकिन अगर हम स्वयंसिद्धता को बदल रहे हैं तो मुझे लगता है कि सभी दांव बंद हैं । इसके अलावा मैं इस बारे में दार्शनिक नहीं हूं इसलिए अगर हम किसी भी तरह से इसे वास्तविक दुनिया से जोड़ने की कोशिश कर रहे हैं, जैसे "सूर्य क्या उगता है इसकी संभावना है" जैसे सवालों के साथ, तो मुझे यकीन है कि यह हो जाता है अधिक जटिल। फिर भी, यह एक बहुत ही सुरक्षित शर्त है कि संभावना है कि "कुछ भी" होता है अधिकतम मूल्य (शायद

) है और इसमें कोई अनिश्चितता नहीं है

1

$1$

— Jld

12

नहीं; कैंटर वितरण सिर्फ इस तरह के प्रति एक है। यह एक यादृच्छिक चर है, लेकिन इसका कोई घनत्व नहीं है। हालाँकि, इसका वितरण कार्य है। इसलिए, मैं कहूंगा कि संभावना सिद्धांत , कैंडल डीएफ के समावेशी cddlg फ़ंक्शन का अध्ययन है , जिसमें 0 की सीमाएं और 1 की सही सीमाएं हैं।

— Adamo
स्रोत

अच्छा, मैंने कैडलग कार्यों के बारे में कभी नहीं सुना। हालांकि, ये अभी भी एक वास्तविक और एक मीट्रिक स्थान मानते हैं। ऐसे स्थानों पर सभी संभाव्यता सिद्धांत नहीं किए जाते हैं।

— HRSE

1

उदाहरण के लिए आप टेरेंस फाइन, थ्योरी ऑफ प्रोबेबिलिटी पर वापस जा सकते हैं। यह भी ध्यान दें कि Cadlag फ़ंक्शंस (कम से कम विकिपीडिया लेख के अनुसार) में डोमेन के रूप में वास्तविक संख्याएं हैं। एलजे सैवेज के "फ़ाउंडेशन ऑफ़ स्टैटिस्टिक्स" रिक्त स्थान पर (व्यक्तिपरक) संभाव्यता सिद्धांत का एक खाता देता है जो आवश्यक रूप से वास्तविक नहीं हैं।

— एचआरएसई

1

@jwg इस पोस्ट में कुछ अन्य टिप्पणियां नकारात्मक संभावना को संबोधित करती हैं, जो कि क्वांटम भौतिकी में कुछ उपयोग की बात लगती है, हालांकि मेरा सरल दिमाग इस तरह की बात नहीं कर सकता।

— एडमो

1

@HRSE संदर्भ के लिए धन्यवाद। मुझे उनमें से कोई भी ऑनलाइन नहीं मिला, लेकिन मैंने उन लेखकों द्वारा कुछ अन्य पत्रों को स्किम किया, हालांकि मुझे इसका कोई उदाहरण नहीं मिला। हम एक यादृच्छिक चर को परिभाषित कर रहे हैं

के रूप में

तो CDF pushforward उपाय के संदर्भ में परिभाषित किया गया है

(नहीं उपाय

पर

और के बाद से)

वास्तविक मूल्य है

आवश्यक रूप से एक माप है

X

$X$

X : Ω \to R^{n}

$X : \Omega \to \mathbb R^n$

P_{X} := P \circ X^{- 1}

$P_X := P \circ X^{-1}$

P

$P$

(Ω, F)

$(\Omega, \mathscr F)$

X

$X$

P_{X}

$P_X$

जिसका अर्थ है कि हम इसे सेट कर सकते हैं जैसे

तो

में

जैसा कि इसका डोमेन है। क्या मुझे कुछ याद आ रहा है?

(R^{n}, B^{n})

$(\mathbb R^n, \mathbb B^n)$

(- \infty, a]

$(-\infty, a]$

F

$F$

R^{n}

$\mathbb R^n$

— jld

1

मुझे लगता है कि अच्छी तरह से ऑर्डर किए गए साधनों का मतलब है कि हर सबसेट का कम से कम तत्व है, जबकि पूरी तरह से

और

लिए पूरी तरह से ऑर्डर किए गए साधन हैं , बिल्कुल

,

, या

में से एक है, इसलिए

दोनों है,

अभी पूरी तरह से ऑर्डर किया गया है, और

न तो है। हमें पूरी तरह से संभावनाओं को गुणा करना होगा और

के कोडोमैन को कम से कम एक क्षेत्र के रूप में जोड़ना होगा, लेकिन मुझे लगता है कि यह है

x

$x$

y

$y$

x < y

$x<y$

x > y

$x>y$

x = y

$x=y$

N

$\mathbb N$

R

$\mathbb R$

C

$\mathbb C$

P

$P$ पूरी तरह से आदेश या पूरा करने के लिए। जटिल मूल्यवान उपाय पहले का एक उदाहरण है और हाइपररियल वैल्यू का उपाय दूसरे का एक उदाहरण है। ये सभी मीट्रिक रिक्त स्थान हैं, हालांकि (या हो सकते हैं)

— Jld

6

मुझे यकीन है कि आपको अच्छे उत्तर मिलेंगे, लेकिन यहाँ आपको थोड़ा अलग परिप्रेक्ष्य मिलेगा।

आपने गणितज्ञों को यह कहते हुए सुना होगा कि भौतिकी बहुत अधिक गणित है, या प्रकृति के सबसे बुनियादी नियमों में गणित का सिर्फ एक अनुप्रयोग है। कुछ गणितज्ञ (कई?) वास्तव में इस मामले को मानते हैं। मैंने सुना है कि विश्वविद्यालय में और अधिक। इस संबंध में आप एक समान प्रश्न पूछ रहे हैं, हालांकि यह उतना व्यापक नहीं है।

भौतिक विज्ञानी आमतौर पर इस कथन का जवाब देने से भी परेशान नहीं होते हैं: यह उनके लिए बहुत स्पष्ट है कि यह सच नहीं है। हालाँकि, यदि आप उत्तर देने का प्रयास करते हैं तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उत्तर इतना तुच्छ नहीं है, यदि आप इसे स्पष्ट करना चाहते हैं।

मेरा जवाब है कि भौतिकी केवल मॉडल और समीकरणों और सिद्धांतों का एक गुच्छा नहीं है। यह दृष्टिकोणों और औजारों और सोच के तरीकों के अपने सेट के साथ एक क्षेत्र है। यही कारण है कि हालांकि आइंस्टीन से पहले Poincare ने सापेक्षता सिद्धांत विकसित किया, उन्होंने सभी निहितार्थों का एहसास नहीं किया और सभी को बोर्ड पर लाने के लिए पीछा नहीं किया। आइंस्टीन ने किया, क्योंकि वह एक भौतिक विज्ञानी थे और उन्हें वह मिला जो इसका मतलब था। मैं उस लड़के का प्रशंसक नहीं हूं, लेकिन ब्राउनियन मोशन पर उनका काम इस बात का एक और उदाहरण है कि कैसे एक भौतिक विज्ञानी गणितीय मॉडल का निर्माण करता है। वह कागज अद्भुत है, और अंतर्ज्ञान और सोच के निशान से भरा है जो कि अनजाने में भौतिकी-आंख हैं।

तो, मेरा उत्तर आपके लिए यह है कि भले ही यह मामला था कि संभाव्यता आपके द्वारा बताए गए कार्यों से संबंधित है, फिर भी यह उन फ़ंक्शन का अध्ययन नहीं होता। न ही यह एक उपाय सिद्धांत है जो कुछ उपवर्गों पर लागू होता है। संभाव्यता सिद्धांत एक अलग क्षेत्र है जो संभावनाओं का अध्ययन करता है, यह रेडियोधर्मी क्षय और क्वांटम यांत्रिकी और गैसों आदि के माध्यम से एक प्राकृतिक दुनिया से जुड़ा हुआ है। यदि ऐसा होता है कि कुछ कार्य मॉडल संभावनाओं के लिए उपयुक्त प्रतीत होते हैं, तो हम उनका उपयोग करेंगे और उनका अध्ययन करेंगे गुण भी, लेकिन ऐसा करते समय हम मुख्य पुरस्कार - संभावनाओं पर नज़र रखेंगे।

— Aksakal
स्रोत

1

एक गणित की लड़ाई में वास्तविकता लाने के लिए +1 और वास्तव में एकमात्र उचित उत्तर के साथ प्रश्न का उत्तर देना, अर्थात ऐसी कोई भी कमी, इस बिंदु को याद करती है

— jld

@Chaconne मैंने आज एक उपयोगी शब्द सीखा है, जो कमी को मेरी शब्दावली में सम्‍मिलित करेगा :)

— अक्षल

+1, यह वही है जो मैं अपने उत्तर के साथ कहना चाह रहा था, लेकिन मैंने इसे प्रभावी रूप से आपके विचार से कम कहा।

— नथानिएल

4

ठीक है, आंशिक रूप से सच है, यह एक दूसरी स्थिति का अभाव है। नकारात्मक संभावनाओं का कोई मतलब नहीं है। इसलिए, इन कार्यों को दो शर्तों को पूरा करना होगा:

सतत वितरण:
$\int_{D} f (x) d x = 1 and f (x) > 0 \forall x \in D$ $\int_{\mathcal{D}}f(x) dx = 1 \quad \text{and} \quad f(x)>0 \; \forall x \in \mathcal{D}$
असतत वितरण:
$\sum_{x \in D} P (x) = 1 and 0 < P (x) \leq 1 \forall x \in D$ $\sum_{x \in \mathcal{D}}P(x) = 1 \quad \text{and} \quad 0<P(x) \leq 1 \; \forall x \in \mathcal{D}$

जहाँ वह डोमेन है जहाँ संभाव्यता वितरण को परिभाषित किया गया है। $\mathcal{D}$

— कार्लोस कैंपोस
स्रोत

उत्तर के लिए बहुत सारे कार्लोस का धन्यवाद, वास्तव में मैं जानना चाहता हूं कि यदि गैर नकारात्मक स्थिति को जोड़ा गया तो क्या होगा?

— मतलू

1

मैं कहूंगा कि संभावना घनत्व / द्रव्य कार्यों (ऊपरी गुणों को पूरा करना) के अध्ययन के लिए संभावना क्षेत्र को कम करना बहुत मुश्किल है। इसके अलावा, जैसा कि @AdamO द्वारा कहा गया है, यादृच्छिक चर के कुछ मामले हैं जिनमें संभावना घनत्व घनत्व नहीं है, भले ही उनके पास एक अच्छी तरह से परिभाषित सीएफडी हो।

— कार्लोस कैंपोस

@CarlosCampos: नकारात्मक संभावनाओं के बारे में: वे वास्तव में कुछ संदर्भों में अर्थ रखते हैं, जैसे आधे सिक्के। अधिक जानकारी के लिए en.wikipedia.org/wiki/Negative_probability देखें ।

— इनकैन

3

मैं नहीं कहूंगा, कि मौलिक रूप से क्या संभाव्यता सिद्धांत है, लेकिन मैं इसे अन्य उत्तरों से अलग कारणों के लिए कहूंगा।

मौलिक रूप से, मैं कहूंगा, संभाव्यता सिद्धांत दो चीजों का अध्ययन है:

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं, और
बायेसियन अनुमान।

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में रोलिंग पासा, कलश से ड्राइंग बॉल आदि जैसी चीजें शामिल हैं, साथ ही भौतिकी और गणित में पाए जाने वाले अधिक परिष्कृत मॉडल भी शामिल हैं। अज्ञात मात्राओं के मूल्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए संभावनाओं का उपयोग करते हुए, बायेसियन अनुमान अनिश्चितता के तहत तर्क दे रहा है।

ये दो चीजें पहले से अधिक निकटता से संबंधित हैं, जो कि वे दिखाई दे सकती हैं। एक ही छतरी के नीचे हम उनका अध्ययन कर सकते हैं, यह है कि उन दोनों के महत्वपूर्ण पहलुओं को गैर-नकारात्मक कार्यों के रूप में दर्शाया जा सकता है जो योग / एक को एकीकृत करते हैं। लेकिन संभावना सिर्फ उन कार्यों का अध्ययन नहीं है - यादृच्छिक प्रक्रियाओं और अनुमान के संदर्भ में उनकी व्याख्या भी इसका एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।

उदाहरण के लिए, प्रायिकता सिद्धांत में सशर्त संभाव्यता और यादृच्छिक चर, और मात्राएं जैसे एन्ट्रापी, पारस्परिक जानकारी और यादृच्छिक चर की अपेक्षा और विचरण जैसी अवधारणाएं शामिल हैं। जबकि कोई इन चीजों को सामान्य रूप से गैर-नकारात्मक कार्यों के संदर्भ में विशुद्ध रूप से परिभाषित कर सकता है , इसके लिए प्रेरणा यादृच्छिक प्रक्रियाओं और अनुमानों की व्याख्या के बिना बहुत अजीब प्रतीत होगी।

इसके अलावा, एक कभी-कभी संभावना सिद्धांत में अवधारणाओं के पार आता है, विशेष रूप से इंजेक्शन पक्ष पर, जो एक गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है जो एक को सामान्य करता है। तथाकथित "अनुचित पुजारी" यहां दिमाग में आते हैं, और एडमो ने कैंटर वितरण को एक और उदाहरण के रूप में दिया।

निश्चित रूप से प्रायिकता सिद्धांत के कुछ क्षेत्र हैं जिनमें मुख्य रुचि सामान्यीकृत गैर-नकारात्मक कार्यों के गणितीय गुणों में है, जिसके लिए मैंने जिन दो एप्लिकेशन डोमेन का उल्लेख किया है, वे महत्वपूर्ण नहीं हैं। जब यह मामला होता है, तो हम अक्सर इसे प्रायिकता सिद्धांत के बजाय माप सिद्धांत कहते हैं। लेकिन संभाव्यता सिद्धांत भी है - वास्तव में, मैं ज्यादातर कहूंगा - एक लागू क्षेत्र, और संभाव्यता वितरण के अनुप्रयोग स्वयं क्षेत्र के एक गैर-तुच्छ घटक हैं।

— नथानिएल
स्रोत

2

आपने प्रायिकता सिद्धांत में विषयों के क्षेत्र को काफी संकीर्ण बना दिया ...

— टिम

@Tim not on purpose - I divided it into two areas, but intended each of them to be interpreted very broadly. Can you give me some other topics that don't fit under either heading?

— Nathaniel