क्या सीडीएफ पीडीएफ से अधिक मौलिक हैं?

मेरे स्टेट प्रोफ ने मूल रूप से कहा, यदि निम्नलिखित तीन में से एक दिया जाए, तो आप अन्य दो पा सकते हैं:

संचयी वितरण फलन
क्षण उत्पन्न करने का कार्य
संभाव्यता घनत्व कार्य

लेकिन मेरे अर्थशास्त्री प्रोफेसर ने कहा कि सीडीएफ पीडीएफ की तुलना में अधिक मौलिक हैं क्योंकि ऐसे उदाहरण हैं जहां आपके पास सीडीएफ हो सकता है लेकिन पीडीएफ परिभाषित नहीं है।

क्या सीडीएफ पीडीएफ से अधिक मौलिक हैं? मुझे कैसे पता चलेगा कि सीडीएफ से पीडीएफ या एमजीएफ प्राप्त किया जा सकता है या नहीं।

— स्टेन शुनपाइक
स्रोत

क्या यह किसी प्रकार की कट्टरता की प्रतियोगिता है? क्या हमारे पास सेलिब्रिटी जजों का पैनल है? इन सभी तीन अवधारणाओं एक स्थान पर एक उपाय परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता

R^{d}

$\mathbb{R}^d$ । हालाँकि किसी दिए गए CDF के लिए, MGF और PDF मौजूद नहीं हो सकते हैं, क्योंकि PDF को CDF के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, और MGF को एक

रूप में परिभाषित किया गया है

\int_{R} \exp (t x) d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}\exp(tx)dF(x)$ , और यह अभिन्न आवश्यकता नहीं है। हालांकि इसका मतलब यह नहीं है कि इनमें से कोई भी अवधारणा कम मौलिक है। मौलिक एक अच्छा विशेषण है जिसकी कोई गणितीय परिभाषा नहीं है। यह महत्वपूर्ण का एक पर्याय है।

— एमपिकटास

@mpiktas: हर पर प्रायिकता बंटन (के एक सबसेट)

R^{n}

$\mathbb R^n$ एक CDF है, और यह विशिष्ट वितरण परिभाषित करता है। सभी संभाव्यता वितरणों में PDF या MGF नहीं होता है, लेकिन (लेकिन वे सभी एक विशिष्ट कार्य करते हैं )।

— इल्मरी करोनन

@mpiktas आप के साथ यह कर सकता है

पर

। तब

को परिभाषित नहीं किया गया है। फिर भी मेरे लिए यह स्पष्ट है कि प्रोफेसर ने अभिव्यक्ति का उपयोग अधिक मौलिक क्यों किया। "विशेषण का कोई गणितीय अर्थ नहीं हो सकता है, लेकिन इतना क्या है? मैं बोलता हूं (कुछ) ।।) अंग्रेजी भी हर पीडीएफ है कि हम एक अंतर्निहित CDF है के बारे में पता यहाँ "अंतर्निहित" "मौलिक" के साथ एक अच्छा सहयोग दिया है विपरीत सच नहीं

A = {R, \emptyset}

$\mathcal A=\{\mathbb R,\varnothing\}$

R

$\mathbb R$

P ((- \infty, x])

$P((-\infty,x])$

— drhab

@drhab, स्वाभाविक रूप से मैं रैडॉन-निकोडियम व्युत्पन्न के बारे में बात कर रहा था :) मैं भी पूरी तरह से समझता हूं कि प्रोफेसर के दिमाग में क्या था, लेकिन मेरी राय में छात्रों के साथ इस तरह के भाव का उपयोग करना खतरनाक है, क्योंकि तब इसके बजाय अंतर को समझने की कोशिश करना गणितीय अवधारणाएं वे उन्हें मौलिकता के अनुसार रैंक करने का प्रयास करती हैं, जो कि मौलिक रूप से गलत है। जानबूझ का मजाक।

— एमपिकटास

@mpiktas: निश्चित रूप से, "मौलिक" की कोई सटीक परिभाषा नहीं है। लेकिन "कठोरता से परिभाषित" और "पूरी तरह से अर्थहीन" के बीच एक बड़ा मध्य मैदान है। हमारे गणित में, निश्चित रूप से, सब कुछ अंत में पूरी तरह से कठोर होना चाहिए, इसलिए हम किसी भी चीज़ को थप्पड़ मारने के आदी हैं। लेकिन जब हम गणित के बारे में बात करते हैं और सोचते हैं , तो हमारे पास "मौलिक", "सामान्य" आदि जैसे व्यक्तिपरक-अभी तक सार्थक विचार हैं, ठीक वैसे ही जैसे हर कोई; और यह ठीक है।

— पीएलएल

जवाबों:

हर उप-वितरण (प्रायश्चित) पर एक संचयी वितरण कार्य होता है , और यह वितरण को विशिष्ट रूप से परिभाषित करता है। तो, इस अर्थ में, सीडीएफ वास्तव में वितरण के समान ही मौलिक है। $\mathbb R^n$

हालाँकि, एक प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन , केवल (बिल्कुल) निरंतर संभाव्यता वितरण के लिए मौजूद है । पीडीएफ की कमी वाले वितरण का सबसे सरल उदाहरण किसी भी असतत संभावना वितरण है , जैसे कि एक यादृच्छिक चर का वितरण जो केवल पूर्णांक मान लेता है।

बेशक, इस तरह के असतत संभावना वितरण को इसके बजाय संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन द्वारा विशेषता दी जा सकती है , लेकिन ऐसे वितरण भी हैं जिनमें न तो पीडीएफ और न ही पीएमएफ, जैसे कि निरंतर और असतत वितरण का कोई मिश्रण:

^{( संबंधित प्रश्न के ग्लेन_ब के उत्तर से आरेख बेशर्मी से चुराया गया है ।)}

यहाँ तक कि विलक्षण संभाव्यता वितरण भी हैं , जैसे कि कैंटर वितरण , जिसे पीडीएफ और पीएमएफ के संयोजन द्वारा भी वर्णित नहीं किया जा सकता है । इस तरह के वितरण में अभी भी एक अच्छी तरह से परिभाषित सीडीएफ है, हालांकि। उदाहरण के लिए, यहाँ कैंटर वितरण की CDF है, जिसे कभी-कभी "डेविल्स सीढ़ी" भी कहा जाता है:

^{( CC-SA-3.0 लाइसेंस के तहत उपयोग किए गए उपयोगकर्ता Theon और Amirki द्वारा विकिमीडिया कॉमन्स से छवि ।)}

CDF, जिसे कैंटर फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है , निरंतर है लेकिन बिल्कुल निरंतर नहीं है। वास्तव में, यह शून्य Lebesgue माप के एक कैंटर सेट को छोड़कर हर जगह स्थिर है , लेकिन जिसमें अभी भी असीम रूप से कई बिंदु शामिल हैं। इस प्रकार, कैंटर वितरण की संपूर्ण संभाव्यता द्रव्यमान वास्तविक संख्या रेखा के इस लुप्तप्राय छोटे उपसमुच्चय पर केंद्रित है, लेकिन सेट में प्रत्येक बिंदु पर अभी भी व्यक्तिगत रूप से शून्य संभावना है।

ऐसे प्रायिकता वितरण भी होते हैं जिनमें एक पल उत्पन्न करने वाला कार्य नहीं होता है । संभवत: सबसे अच्छा ज्ञात उदाहरण कैची वितरण , वसा-पूंछ वाला वितरण है, जिसमें क्रम 1 या उच्चतर के कोई अच्छी तरह से परिभाषित क्षण नहीं हैं (इस प्रकार, विशेष रूप से, कोई अच्छी तरह से परिभाषित मतलब या भिन्नता नहीं है!)।

पर सभी प्रायिकता वितरण , हालांकि, एक (संभवतः जटिल-मूल्यवान) विशेषता फ़ंक्शन है , जिसकी परिभाषा केवल काल्पनिक इकाई के साथ गुणा से MGF से भिन्न है । इस प्रकार, विशेषता फ़ंक्शन को सीडीएफ के रूप में मौलिक माना जा सकता है। $\mathbb R^n$

— इल्मरी करोनें
स्रोत

आप कहते हैं कि प्रत्येक वितरण में CDF होता है, लेकिन प्रत्येक में PDF नहीं होता है, लेकिन वास्तव में ऐसे वितरण होते हैं जिनमें PDF होते हैं और सामान्य रूप से मल्टीवेरेट जैसे CDFs बंद नहीं होते हैं।

— टिम

@ समय: यह सच है, लेकिन केवल "बंद फॉर्म" क्वालीफायर के साथ; सीडीएफ अभी भी मौजूद है, भले ही हम इसे बंद रूप में नहीं लिख सकते। और किसी भी मामले में, " बंद फ़ॉर्म अभिव्यक्ति " की परिभाषा कुख्यात है; कुछ सख्त परिभाषाओं द्वारा, यहां तक कि अविभाज्य सामान्य वितरण में एक बंद-फॉर्म सीडीएफ नहीं होता है, लेकिन यदि आप त्रुटि फ़ंक्शन को बंद-रूप मानते हैं , तो यह करता है।

— इल्मरी करोनें २५'१६

@ यह एक काउंटर-उदाहरण नहीं है। यह एक मनमानी संपत्ति है जिसे आपने अपने लिए महत्वपूर्ण / मौलिक माना है। मेरे लिए, "मौजूद" संपत्ति "बंद किए गए फ़ॉर्म" की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण है। और अधिक, "हमेशा मौजूद" बनाम "कभी-कभी किसी भी फ़ंक्शन की तरह, कभी-कभी बंद रूप नहीं हो सकता है"।

— -

[0, 1] \subset R

$[0,1] \subset \Bbb{R}$

@ अरक-कुन मैं शैतानों की वकालत कर रहा हूं क्योंकि यहां ऐसे मामले हैं जहां पीडीएफ कुछ और है "सीधे उपलब्ध" तो सीडीएफ। मुझे यह उत्तर (+1) पसंद है, लेकिन IMHO, यह कुछ ऐसा है जिसका उल्लेख भी किया जा सकता है।

— टिम

मेरा मानना है कि आपके अर्थशास्त्री प्रोफेसर निम्नलिखित पंक्तियों के साथ कुछ सोच रहे थे।

$F$ $[0, 1]$

एफ (एक्स) = \frac{1}{2} एक्स के लिये एक्स < \frac{1}{2}

$F(x) = \frac{1}{2}x \ \text{for} \ x < \frac{1}{2}$

एफ (एक्स) = \frac{1}{2} एक्स + \frac{1}{2} के लिये एक्स \geq \frac{1}{2}

$F(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \ \text{for} \ x \geq \frac{1}{2}$

$[0, 1]$

पी ({\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}

$P\left(\left\{\frac{1}{2}\right\}\right) = \frac{1}{2}$

$f$

एक पीडीएफ की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास होना चाहिए

\int_{0}^{एक्स} च (टी) घ टी = एफ (एक्स) - एफ (0) = \frac{1}{4} एक्स

$\int_0^x f(t) dt = F(x) - F(0) = \frac{1}{4}x$

$0 < x < \frac{1}{2}$

च (एक्स) = \frac{1}{4} के लिये एक्स < \frac{1}{2}

$f(x) = \frac{1}{4} \ \text{for} \ x < \frac{1}{2}$

उसी तरह, लेकिन एक पर शुरू करना, शून्य की ओर बढ़ना, और पर समाप्त करना $x > \frac{1}{2}$

च (एक्स) = \frac{1}{4} के लिये एक्स > \frac{1}{2}

$f(x) = \frac{1}{4} \ \text{for} \ x > \frac{1}{2}$

इसलिए हमने निर्धारित किया है $f$ $f\left(\frac{1}{2}\right)$ $f\left(\frac{1}{2}\right)$

पी ({\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}

$P\left(\left\{\frac{1}{2}\right\}\right) = \frac{1}{2}$

हमे चाहिए होगा

\int_{\frac{1}{2} - ε}^{\frac{1}{2} + ε} च (टी) घ टी > \frac{1}{2}

$\int_{\frac{1}{2} - \epsilon}^{\frac{1}{2} + \epsilon} f(t) dt > \frac{1}{2}$

युक्त हर अंतराल के लिए $\frac{1}{2}$

\int_{\frac{1}{2} - ε}^{\frac{1}{2} + ε} च (टी) घ टी = \int_{\frac{1}{2} - ε}^{\frac{1}{2} + ε} \frac{1}{4} घ टी = \frac{1}{2} ε

$\int_{\frac{1}{2} - \epsilon}^{\frac{1}{2} + \epsilon} f(t) dt = \int_{\frac{1}{2} - \epsilon}^{\frac{1}{2} + \epsilon} \frac{1}{4} dt = \frac{1}{2} \epsilon$

$f$

आप एक पीडीएफ की भावना को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन आपको अधिक परिष्कृत गणितीय वस्तुओं का उपयोग करना चाहिए, या तो माप या वितरण ।

— मैथ्यू ड्र्यू
स्रोत

यह "असंभव संपत्ति" आसानी से योग द्वारा प्राप्त की जाती है

\frac{1}{2} δ (x - \frac{1}{2})

$\frac{1}{2} \delta \left(x-\frac{1}{2}\right)$

δ (x)

$\delta(x)$

x = 0

$x=0$

\int_{- \infty}^{+ \infty} δ (एक्स) घ एक्स = 1

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \,\mathrm{d}x = 1$

L^{1}

$L^1$

@IwillnotexistIdonotexist व्हाट ने कहा कि मैं आखिरी लाइन में क्या इशारा कर रहा था। मैंने "वितरण" शब्द का इस्तेमाल किया।

— मैथ्यू डॉरी

1 / 2

$1/2$

1 / 2

$1/2$

इल्मरी सैद्धांतिक दृष्टिकोण से एक अच्छा जवाब देता है। हालांकि, कोई यह भी पूछ सकता है कि व्यावहारिक अभिकलन के लिए घनत्व (पीडीएफ) और वितरण फ़ंक्शन (पीडीएफ) क्या उद्देश्य हैं। यह स्पष्ट कर सकता है कि किन स्थितियों के लिए एक दूसरे की तुलना में अधिक उपयोगी है।

$\mathbb{R}$ $(-\infty,x]$ $-$ $-$

घनत्व, हालांकि, आँकड़ों के लिए आवश्यक है, क्योंकि घनत्व के संदर्भ में संभावना को परिभाषित किया गया है। इस प्रकार यदि हम अधिकतम संभावना अनुमान की गणना करना चाहते हैं, तो हमें सीधे घनत्व की आवश्यकता है।

यदि हम एक अनुभवजन्य और एक सैद्धांतिक वितरण की तुलना में मुड़ते हैं, तो दोनों उपयोगी हो सकते हैं, लेकिन वितरण फ़ंक्शन के आधार पर पीपी- और qq- प्लॉट जैसे तरीकों को अक्सर पसंद किया जाता है।

$\mathbb{R}^d$ $d \geq 2$

— NRH
स्रोत