यदि और प्रत्येक औसत शून्य के साथ सामान्य सामान्य चर हैं, तो भी एक सामान्य चर है

मैं बयान को साबित करने की कोशिश कर रहा हूं:

यदि और स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, $X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$ $Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

तब भी एक सामान्य यादृच्छिक चर है। $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

विशेष मामले के लिए (कहते हैं), हमारे पास सुविख्यात परिणाम है कि जब भी और स्वतंत्र चर हों चर। वास्तव में, यह अधिक सामान्यतः ज्ञात है कि स्वतंत्र चर हैं। $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$ $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$

अंतिम परिणाम का एक प्रमाण परिवर्तन जहां और । दरअसल, यहां और । मैंने हाथ में समस्या के लिए इस सबूत की नकल करने की कोशिश की, लेकिन यह गड़बड़ हो गया। $(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$ $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ $u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$ $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ $V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$

मैं के लिए तो किसी भी त्रुटि, नहीं किया है $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ मैं के संयुक्त घनत्व के साथ अंत $(U,V)$ के रूप में

f_{U, V} (u, v) = \frac{2}{σ_{1} σ_{2} π} \exp [- \sqrt{u^{2} + v^{2}} (\frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + v}{σ_{1}^{2}} + \frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} - v}{σ_{2}^{2}})]

$f_{U,V}(u,v)=\frac{2}{\sigma_1\sigma_2\pi}\exp\left[-\sqrt{u^2+v^2}\left(\frac{\sqrt{u^2+v^2}+v}{\sigma_1^2}+\frac{\sqrt{u^2+v^2}-v}{\sigma_2^2}\right)\right]$

मेरे पास गुणक ऊपर है क्योंकि परिवर्तन एक-से-एक नहीं है। $2$

तो के घनत्व द्वारा दी जाएगी है, जो आसानी से मूल्यांकन नहीं किया गया है। $U$ $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

अब मुझे यह जानने में दिलचस्पी है कि क्या कोई सबूत है जहां मैं केवल साथ काम कर सकता हूं और यह दिखाने के लिए कुछ पर विचार नहीं करना होगा कि सामान्य है। का CDF ढूंढना फिलहाल मुझे इतना आशाजनक नहीं लगता। मैं केस लिए भी यही करना । $U$ $V$ $U$ $U$ $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

यही है, अगर और स्वतंत्र चर हैं, तो मैं यह दिखाना चाहता हूं कि बदलावों का उपयोग किए बिना । अगर किसी तरह मैं तर्क दे सकता हूं कि , तो मैं कर रहा हूं। तो यहाँ दो प्रश्न, सामान्य मामला और फिर विशेष मामला। $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z\stackrel{d}{=}X$

Math.SE पर संबंधित पोस्ट:

$X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ जब स्वतंत्र रूप से $X,Y\sim N(0,1)$ ।

यह देखते हुए कि iid , उस हैं iid $X,Y$ $N(0,1)$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $N(0,\frac{1}{4})$ ।

संपादित करें।

यह समस्या वास्तव में एल। शेप के कारण है क्योंकि मुझे फेलर द्वारा एन इंट्रोडक्शन टू प्रोबेबिलिटी थ्योरी और इसके एप्लिकेशन (वॉल्यूम II) के अभ्यास में पता चला , एक संभावित संकेत के साथ:

निश्चित रूप से, और मेरे पास का घनत्व है । $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$ $\frac{1}{X^2}$

आइए देखें कि मैं अब क्या कर सकता हूं। इसके अलावा, ऊपर के अभिन्न के साथ थोड़ी मदद भी स्वागत है।

— StubbornAtom
स्रोत

इसी तरह, संयुक्त लिए एमजीएफ दृष्टिकोण थोड़ा आसान है। का अंतिम उत्तर देखें: math.stackexchange.com/a/2665178/22064 और: math.stackexchange.com/questions/2664469/…

(U, V)

$(U,V)$

— एलेक्स आर।

@AlexR। हां, मैंने संयुक्त एमजीएफ दृष्टिकोण देखा था, जो समान रूप से विचरण मामले के लिए संयुक्त वितरण को खोजने के लिए काफी अच्छी तरह से काम करता है। लेकिन मेरे पास पहले से ही उस मामले में परिवर्तन के सबूत हैं, जो मेरे दिमाग में आसान है। मैं जो करने की कोशिश कर रहा हूं वह अकेले साथ काम करना है , क्योंकि वह वितरण मैं बाद में हूं।

U

$U$

— स्टबबोर्नटॉम

चाल यह है कि और का योग , जो कि व्युत्क्रम chi-squared वितरण हैं, एक स्केल उलटा chi-squ वितरण (जो है) स्थिर वितरण की संपत्ति)। तो जादू निम्नलिखित के तीसरे समीकरण में होता है:

\frac{1}{X^{2}}

$\frac{1}{X^2}$

\frac{1}{Y^{2}}

$\frac{1}{Y^2}$

U = \frac{X Y}{X^{2} + Y^{2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^{2}} + \frac{1}{Y^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^{2}}}} = Z

$U = \frac{XY}{X^2+Y^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^2}}} = Z$

— Sextus Empiricus

@MartijnWeterings जाहिर है कि शेप द्वारा दिया गया मूल प्रमाण है।

— स्टबबोर्नटॉम

अगर आप शेप द्वारा की गई टिप्पणी का उल्लेख नहीं करते तो मैं खुद इस पर नहीं आता। लेकिन, मेरे पास यह विचार था कि आपको यह प्रमाण नहीं मिला। या कम से कम यह स्पष्ट नहीं था कि क्या यह मामला था।

— सेक्सटस एम्पिरिकस

जवाबों:

शेप द्वारा समस्या का मूल समाधान स्थिर कानून संपत्ति की अवधारणा का उपयोग करता है, जो इस समय मेरे लिए थोड़ा उन्नत लगता है। इसलिए मैं अपने पद में उद्धृत अभ्यास में दिए गए संकेत को समझ नहीं सका। मुझे लगता है कि केवल एकल चर जुड़े एक प्रमाण का अनुमान है और चर के परिवर्तन का उपयोग नहीं करना मुश्किल है। इसलिए मैं तीन ओपन एक्सेस पेपर साझा करता हूं जो मैंने पाया कि समस्या का एक वैकल्पिक समाधान प्रदान करते हैं: $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

पहले वाले ने मुझे आश्वस्त किया है कि मैं के घनत्व को प्राप्त करने के लिए चर की पसंद के साथ मेरे द्वारा लिए गए एकीकरण पथ से नीचे नहीं जाऊंगा । यह तीसरा पेपर है जो कुछ ऐसा दिखता है जिसका मैं अनुसरण कर सकता हूं। मैं यहाँ प्रमाण का संक्षिप्त विवरण देता हूँ: $V$ $U$

हम सामान्यता के नुकसान के बिना मान , और । अब यह देखते हुए कि और स्वतंत्र हैं, हमारे पास का संयुक्त घनत्व है। । हम इसे दर्शाते हैं । $\sigma_1^2=1$ $\sigma_2^2=\sigma^2$ $X^2\sim\chi^2_1$ $\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$ $(X^2,Y^2)$ $f_{X^2,Y^2}$

परिवर्तन पर विचार करें जैसे कि और । तो हमारे पास का संयुक्त घनत्व है । आइए हम इसे द्वारा निरूपित करते हैं । मानक प्रक्रिया के बाद, हम एकीकृत को wrt सीमांत घनत्व प्राप्त करने के लिए के । $(X^2,Y^2)\to(W,Z)$ $W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$ $Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$ $(W,Z)$ $f_{W,Z}$ $f_{W,Z}$ $z$ $f_W$ $W$

हम पाते हैं कि एक गामा रूपांतर है जिसमें पैरामीटर और , ताकि । हम ध्यान दें कि का घनत्व बारे में सममित है । इसका तात्पर्य यह है कि , और इसलिए । $W=U^2$ $\frac{1}{2}$ $2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$ $(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$ $U$ $0$ $(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$ $U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

— StubbornAtom
स्रोत

इसके अनुसार

दो सामान्य यादृच्छिक चर को बदलना

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$ । और स्वतंत्र हैं और स्वतंत्र हैं।
$X$ $Y$ $\Leftrightarrow$ $\theta$ $r$

भी कि बाद से $\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$ $f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$ $z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

दूसरों के लिए समान।

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

तो हम दिखा सकते हैं:

$X= \sigma r \cos(\theta)$ और $Y=\sigma r \sin(\theta)$

इसलिए

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

स्वतंत्र दिखाने के लिए

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$ और कहना आसान है कि वे स्वतंत्र हैं।

— मसूद
स्रोत

क्या होगा अगर ?

σ_{X} \neq σ_{Y}

$\sigma_X \neq \sigma_Y$

— सेक्सटस एम्पिरिकस

मैंने इसके बारे में नहीं सोचा। लेकिन कुछ गणना समस्याएं

s q r t (X^{2} + Y^{2})

$sqrt(X^2+Y^2)$

— Masoud