सशर्त संभाव्यता के सूत्र के पीछे अंतर्ज्ञान क्या है?

Question

की सशर्त संभाव्यता के लिए सूत्र उस दिया जा रहा है जो हुआ है:$\text{A}$P ( $\text{B}$

$$P\left(\text{A}~\middle|~\text{B}\right)=\frac{P\left(\text{A} \cap \text{B}\right)}{P\left(\text{B}\right)}.$$

मेरी पाठ्यपुस्तक एक वेन आरेख के संदर्भ में इसके पीछे के अंतर्ज्ञान की व्याख्या करती है।

यह देखते हुए कि घटित हुआ है, घटना के लिए लिए एकमात्र तरीका और के चौराहे पर गिरना है ।ए ए $\text{B}$$\text{A}$$\text{A}$$\text{B}$

उस स्थिति में, की संभावना नहीं होगी, बस चौराहा की संभावना के बराबर होगा , क्योंकि इस तरह से घटना हो सकती है? मुझे किसकी याद आ रही है? ए $P\left(\text{A} \middle| \text{B}\right)$$\text{A}$$\text{B}$

Comments

क्या आपके पास "सशर्त संभाव्यता" की सहज समझ है, "अगर हम थोड़ी देर के लिए भूल जाते हैं कि यह कैसे गणना की जाए?"

— जुहो कोक्कल

बी (घटना है कि पर कंडीशनिंग द्वारा किया गया है हुई), आप से परिणामों के अपने स्थान को प्रतिबंधित केवल बी को (पूरे विमान)। आप वह सब कुछ भूल जाते हैं जो बी के बाहर है। घटना ए की संभावना को सम्मान बी के साथ मापा जाना है, क्योंकि संभावना 0 और 1 के बीच है।$\Omega$

— व्लादिस्लाव डोभालगिक्स

आप इस तथ्य को याद कर रहे हैं कि इवेंट ए सर्कल का सफेद हिस्सा अब आबादी का हिस्सा नहीं है, जब आप जानते हैं कि इवेंट बी हुआ।

— मोंटी हार्डर

अंतर्ज्ञान सटीक नहीं हैं, न ही वे एकवचन हैं, इसलिए सटीक (अंतर्ज्ञान) के बारे में क्यों पूछा जाए? एक उपयोगी अंतर्ज्ञान पर्याप्त है, लेकिन सभी सुझाव सभी लोगों के लिए उपयोगी नहीं होंगे।

— जॉन कोलमैन

Answer 1

एक अच्छा अंतर्ज्ञान दिया जाता है कि बी हुआ- ए के साथ या बिना — ए की संभावना क्या है? यानी, हम अब उस ब्रह्मांड में हैं जिसमें B हुआ- पूर्ण दाहिना चक्र। उस सर्कल में, ए की संभावना सर्कल के क्षेत्र द्वारा विभाजित ए इंटरसेक्ट बी का क्षेत्र है।

Comments

दूसरे शब्दों में - मैं आपको बताता हूं कि हुआ, जिसका अर्थ है कि हम सर्कल में रहते हैं । उस दुनिया के भीतर, लेंस ( ) में कौन सी% घटनाएं हैं ? बी ए ∩ $B$$B$$A\cap B$

— माइकलक्रिको 12

Answer 2

मैं इसके बारे में इस तरह से सोचूंगा: मैं इस बात को स्वीकार करता हूं कि आप अंतर्ज्ञान को तब तक समझते हैं:

यह देखते हुए कि बी हुआ है, ए के लिए एक ही रास्ता ए एंड बी के चौराहे में गिरने के लिए भी है।

और मैं आपके द्वारा पोस्ट की गई दूसरी छवि पर टिप्पणी करने जा रहा हूं:

1. कल्पना करें कि संपूर्ण श्वेत आयत आपका नमूना स्पेस ।$\Omega$

   एक सेट के लिए एक संभावना को सौंपने का मतलब है कि आप कुछ अर्थों में माप रहे हैं कि सेट करें। यह वैसा ही है जैसे कि आपने आयत के क्षेत्र को मापा है, लेकिन संभावना एक अलग तरह का माप है जिसमें विशिष्ट गुण हैं (मैं इस बारे में अधिक कुछ नहीं कहूंगा)।

2. आप जानते हैं कि और इसकी व्याख्या इस तरह की जाती है:$P(\Omega) = 1$

   $\Omega$ उन सभी घटनाओं का प्रतिनिधित्व करता है जो हो सकती हैं और कुछ घटित होना है इसलिए हमारे पास 100% संभावना है कि कुछ घटित हो।

3. पर सेट में एक संभाव्यता जो नमूना स्पेस की संभावना के लिए आनुपातिक है । रेखांकन के अनुसार, आप देखते हैं कि इसलिए (इसकी प्रायिकता ) का माप से कम होना चाहिए । एक ही तर्क सेट लिए मान्य है । इस सेट को मापा जा सकता है और इसका माप ।पी ( ए ) Ω एक ⊂ Ω एक पी ( ए ) पी ( Ω ) एक ∩ बी पी ( ए ∩ बी $A$$P(A)$$\Omega$$A \subset \Omega$$A$$P(A)$$P(\Omega)$$A \cap B$$P(A \cap B)$

4. यदि अब आपको बताया गया है कि हो गया है तो आपको यह सोचना होगा कि क्या आपके "नए" । यदि आपका "नया" तो आप 100% सुनिश्चित हो सकते हैं कि सेट में सब कुछ होता है ।B Ω B Ω $B$$B$$\Omega$$B$$\Omega$$B$

   और उसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि अब, "नई" प्रतियोगिता , और आपको सभी संभाव्यता उपायों को फिर से बेचना होगा, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि उन्हें "नए" नमूना स्थान संदर्भ में व्यक्त किया जाना है । यह एक सरल अनुपात है।$P(B \mid B) =1$$B$

   जब आप कहते हैं कि आपका अंतर्ज्ञान लगभग सही है:

P (A | B) की संभावना बस A चौराहे B की संभावना के बराबर होगी

और "लगभग" इस तथ्य के कारण है कि अब आपका नमूना स्थान बदल गया है (यह अब है) और आप तदनुसार को फिर से बेचना चाहते हैं ।पी ( ए ∩ बी $B$$P(A \cap B)$

5. पी ( ए ∩ बी ) $P(A \mid B)$ नई दुनिया में आपका है जहां नमूना स्थान अब । शब्दों में आप इसे इस तरह कहेंगे (और कृपया इसे सेट के साथ छवि पर देखने की कोशिश करें):$P(A \cap B)$$B$

   नई दुनिया में के माप और के माप के बीच का अनुपात, के माप और के माप के बीच का अनुपात होना चाहिए।ए ∩ बी Ω ए ∣ $B$$A\cap B$$\Omega$$A \mid B$

6. गणितीय भाषा (सरल अनुपात) में अंतिम रूप से इसका अनुवाद करें:

$$P(B):P(A \cap B) = P(\Omega):P(A \mid B)$$

और यह इस प्रकार है:$P(\Omega)=1$

$$P(A \mid B)= P(A \cap B):P(B)$$

Answer 3

आप निम्नलिखित समस्या के बारे में आसानी से सोचकर अंतर्ज्ञान देखेंगे।

मान लीजिए, आपके पास 10 गेंदें हैं: 6 काले और 4 लाल। काली गेंदों में से 3 कमाल की हैं और लाल गेंदों की केवल 1 बहुत बढ़िया है। कितनी संभावना है कि आ ब्लैक बॉल भी कमाल की है?

इसका उत्तर बहुत आसान है: यह 50% है, क्योंकि हमारे पास कुल 6 ब्लैक गेंदों में से 3 विस्मयकारी ब्लैक बॉल हैं।

यह है कि आप हमारी समस्या के लिए संभावनाओं का नक्शा कैसे बनाते हैं:

• 3 गेंदें जो ब्लैक और विस्मयकारी हैं अनुरूप$P(A \cap B)$
• 6 गेंदें जो लिए काली होती हैं$P(B)$
• संभावना है कि एक गेंद जब हम जानते हैं कि यह काला है तो विस्मयकारी है:$P(A\mid B)$

Comments

क्या इसे बजाय लिखने का अधिक अर्थ नहीं होगा ? $n(B)=6$$P(B)=6$

— सिल्वर फिश

@ सिल्वरफ़िश यह अधिक सटीक होगा, लेकिन मैं इस मामले में अंतर्ज्ञान के बाद था

— अक्षल

Answer 4

सशर्त प्रायिकता सूत्र के मूल अंतर्ज्ञान के लिए, मैं हमेशा दो तरह की तालिका का उपयोग करना पसंद करता हूं। मान लें कि एक वार्षिक समूह में 150 छात्र हैं, जिनमें से 80 महिला और 70 पुरुष हैं, जिनमें से प्रत्येक को बिल्कुल एक भाषा पाठ्यक्रम का अध्ययन करना चाहिए। विभिन्न पाठ्यक्रम लेने वाले छात्रों की दो-तरफ़ा तालिका है:

        | French   German   Italian  | Total
-------- --------------------------- -------
Male    |     30       20        20  |    70
Female  |     25       15        40  |    80
-------- --------------------------- -------
Total   |     55       35        60  |   150

यह देखते हुए कि एक छात्र इतालवी पाठ्यक्रम लेता है, वे महिला होने की कितनी संभावना है? वैसे इतालवी पाठ्यक्रम में 60 छात्र हैं, जिनमें से 40 महिलाएं इतालवी का अध्ययन कर रही हैं, इसलिए संभावना होनी चाहिए:

$$P(\text{F|Italian})=\frac{n(\text{F} \cap \text{Italian})}{n(\text{Italian})}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$$

जहाँ समुच्चय की कार्डिनैलिटी है , अर्थात इसमें शामिल वस्तुओं की संख्या। ध्यान दें कि हमें अंश में का उपयोग करने की आवश्यकता है और न केवल , क्योंकि उत्तरार्द्ध में अन्य 40 सहित सभी 80 महिलाएं शामिल होंगी। जो इतालवी का अध्ययन नहीं करते हैं।$n(A)$$A$$n(\text{F} \cap \text{Italian})$$n(\text{F})$

लेकिन अगर यह सवाल इधर-उधर हो गया, तो क्या संभावना है कि एक छात्र इतालवी पाठ्यक्रम लेता है, यह देखते हुए कि वे महिला हैं? फिर 80 में से 40 महिला छात्र इटैलियन कोर्स करती हैं, इसलिए हमारे पास:

$$P(\text{Italian|F})=\frac{n(\text{Italian} \cap \text{F})}{n(\text{F})}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$

मुझे उम्मीद है कि यह क्यों के लिए अंतर्ज्ञान प्रदान करता है

$$P(A|B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}$$

यह समझना कि अंशों को कार्डिनैलिटी के बजाय संभावनाओं के साथ क्यों लिखा जा सकता है, यह बराबर भिन्नता का विषय है । उदाहरण के लिए, आइए हम उस संभावना पर लौटते हैं जिसमें एक महिला को महिला दी गई है जो वे इतालवी अध्ययन कर रही हैं। कुल 150 छात्र हैं, इसलिए यह संभावना है कि एक छात्र महिला है और इतालवी 40/150 पढ़ता है (यह एक "संयुक्त" संभावना है) और एक छात्र के अध्ययन की संभावना इतालवी 60/150 है (यह "सीमांत" संभावना है )। ध्यान दें कि सीमांत संभावना द्वारा संयुक्त संभाव्यता को विभाजित करना:

$$\frac{P(\text{F} \cap \text{Italian})}{P(\text{Italian})}=\frac{40/150}{60/150}=\frac{40}{60}=\frac{n(\text{F} \cap \text{Italian})}{n(\text{Italian})}=P(\text{F|Italian})$$

(यह देखने के लिए कि अंश बराबर हैं, अंश और हर को 150 से गुणा करना प्रत्येक में "/ 150" को हटाता है।)

आम तौर पर, यदि आपके नमूना स्थान में कार्डिनैलिटी - इस उदाहरण में कार्डिनैलिटी 150 थी - हम पाते हैं कि$\Omega$$n(\Omega)$

$$P(A|B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}=\frac{n(A \cap B)/n(\Omega)}{n(B)/n(\Omega)}=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Answer 5

मैं तर्क को उलट दूंगा। संभावना है कि और दोनों हैं:$A$$B$

1. संभावना हुई, और यह देखते हुए कि हुआ।$B$$A$
2. और लिए समान लेकिन रिवर्स भूमिकाएं$A$$B$

यह आपको देगा

$p(A\cap B)=p(B)p(A\mid B)$

यदि आप अपने सुझाव के लिए एक नकारात्मक की तलाश कर रहे हैं, तो यह सही है कि की संभावना दी गई है उत्पाद की संभावना में निहित है, जिस स्थान पर आप पासा घुमा रहे हैं वह आपके मूल संभावना स्थान से छोटा है - आप जानते हैं सुनिश्चित करें कि आप " " में हैं , इसलिए आप नए स्थान के आकार से विभाजित करते हैं।$A$$B$$B$

Answer 6

वेन आरेख संभावना का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, यह घटना स्थान के सबसेट के उपाय का प्रतिनिधित्व करता है। एक संभावना दो उपायों के बीच का अनुपात है; एक्स की संभावना "सब कुछ है जो एक्स का गठन करता है" का आकार "सभी घटनाओं पर विचार किया जा रहा है" के आकार को विभाजित करता है। किसी भी समय आप संभावना की गणना कर रहे हैं, आपको "सफलता स्थान" और "जनसंख्या स्थान" दोनों की आवश्यकता है। आप सफलता की जगह "कितनी बड़ी" के आधार पर एक संभावना की गणना नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, दो पासा के साथ सात को लुढ़काने की संभावना है दो रोलिंग के तरीकों की कुल संख्या से विभाजित सात के तरीकों की संख्या। केवल सात को रोल करने के तरीकों की संख्या जानना संभावना की गणना करने के लिए पर्याप्त नहीं है। P (A | B) "A और B दोनों होता है" के माप का अनुपात है अंतरिक्ष और "बी होता है" अंतरिक्ष का माप। यही तो "|" का अर्थ है: इसका मतलब है "जनसंख्या स्थान के बाद जो आता है उसे बनाओ"।

Answer 7

मुझे लगता है कि इसके बारे में सोचने का सबसे अच्छा तरीका चरण-दर-चरण पथ है।

आइए घटना बी का वर्णन एक निष्पक्ष मरने पर रोल करने के रूप में करें - यह आसानी से प्रायिकता को दिखाया जा सकता है । अब आइए घटना ए का वर्णन कार्ड के मानक 52-कार्ड डेक से एक ऐस खींचने के रूप में करें - यह आसानी से प्रायिकता को दिखाया जा सकता है ।$4$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{13}$

आइए अब एक प्रयोग चलाते हैं जहां हम एक डाई रोल करते हैं और फिर एक कार्ड चुनते हैं। तो संभावना होगी कि हम एक ऐस खींचते हैं, यह देखते हुए कि हम पहले से ही रोल कर चुके हैं । यदि आप छवि को देखते हैं, तो यह पथ (ऊपर जाना) और फिर पथ (फिर से ऊपर जाना) होगा।$P\left(A \middle| B\right)$$4$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{13}$

सहज रूप से, कुल संभावना स्थान वह है जो हमें पहले ही दिया जा चुका है: रोल करना । हम और को अनदेखा कर सकते हैं , प्रारंभिक डाउन पथ की ओर जाता है, क्योंकि यह था कि हमने एक रोल किया था । गुणा के नियम से, हमारा कुल स्थान तो ।$4$$\frac{1}{13}$$\frac{12}{13}$$4$$\left(\frac{1}{6}{\times}\frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{6}{\times}\frac{12}{13}\right)$

अब क्या संभावना है कि हमने एक ऐस, GIVEN को आकर्षित किया है जिसे हमने रोल किया है ? पथ का उपयोग करके उत्तर , जिसे हमें फिर कुल स्थान से विभाजित करने की आवश्यकता है। तो हम$4$$\left(\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13} \right)$

$$P\left(A \middle| B\right) = \frac{\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13}}{\left(\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{6} {\times} \frac{12}{13}\right)}.$$

Comments

मैं सोच रहा था कि नीचे की ओर क्या था, क्योंकि संभावना वाले पेड़ बहुत ही शिक्षाप्रद हो सकते हैं। शायद चिंता यह है कि चित्रण के लिए स्वतंत्र घटनाओं का उपयोग सशर्त संभाव्यता के बहुत बिंदु को याद करता है, जो कि कंडीशनिंग घटना के आधार पर संभाव्यता वितरण बदल सकता है। कम-सतही चित्रण का उपयोग करने से मदद मिल सकती है।

— whuber

Answer 8

इसे काउंट की शर्तों पर सोचें। सीमांत आकार द्वारा विभाजित ए कितनी बार हुई है। ए और बी की संयुक्त संभावना है कि नमूना आकार द्वारा विभाजित बी के साथ ए कितनी बार एक साथ हुआ। A की B की सशर्त संभावना है कि B के साथ A कितनी बार हुई है, B को कितनी बार B से विभाजित किया गया है, यानी केवल A का "B" के भीतर है।

आप इस ब्लॉग पर अच्छा दृश्य चित्रण पा सकते हैं , जो इसे लेगो ब्लॉकों का उपयोग करके दिखाता है।

Answer 9

लेखन के समय लगभग 10 उत्तर हैं जो सभी को सबसे महत्वपूर्ण बिंदु याद आते हैं: आप अनिवार्य रूप से सही हैं।

उस स्थिति में, P (A | B) की प्रायिकता A चौराहे B की प्रायिकता के बराबर नहीं होगी, क्योंकि यह एकमात्र तरीका है जिससे घटना हो सकती है?

यह निश्चित रूप से सच है। यह बताता है कि हम को परिभाषित करने की मात्रा वास्तव में ।$P(A\vert B)$$P(A \cap B)$

मुझे किसकी याद आ रही है?

आपको याद आ रहा है कि B संतुष्ट होने की संभावना है कि B संतुष्ट है 1 होना चाहिए क्योंकि यह काफी महत्वपूर्ण घटना है, और जो कि कम से कम हो सकता है 1. द्वारा विभाजित किया जा रहा है की सशर्त संभावना को 1 के बराबर बनाता है, जैसा कि अपेक्षित था। वास्तव में यह और भी बेहतर है और नक्शे को एक संभावना बनाता है - इसलिए सशर्त संभावना वास्तव में एक संभावना है।$P(B\cap B) = P(B)$$P(B)$$A \mapsto P(A\vert B)$

Answer 10

मुझे लगता है कि यह अधिक सहज है जब हमारे पास संभावनाओं का अनुमान लगाने के लिए एक ठोस डेटा है।

mtcarsउदाहरण के रूप में डेटा का उपयोग करते हैं, डेटा इस तरह दिखता है (हम केवल सिलेंडरों की संख्या और ट्रांसमिशन प्रकार का उपयोग करते हैं।)

> mtcars[,c("am","cyl")]
                    am cyl
Mazda RX4            1   6
Mazda RX4 Wag        1   6
Datsun 710           1   4
Hornet 4 Drive       0   6
...  
...
Ford Pantera L       1   8
Ferrari Dino         1   6
Maserati Bora        1   8
Volvo 142E           1   4

हम एक क्रॉस टेबल करके दो चर पर संयुक्त वितरण की गणना कर सकते हैं :

> prop.table(table(mtcars$cyl,mtcars$am))

          0       1
  4 0.09375 0.25000
  6 0.12500 0.09375
  8 0.37500 0.06250

संयुक्त संभावना का मतलब है कि हम एक ही समय में दो चर पर विचार करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, हम पूछेंगे कि 4 सिलेंडर और मैनुअल ट्रांसमिशन में कितनी कारें हैं।

अब, हम सशर्त संभाव्यता पर आते हैं। मैंने सशर्त संभाव्यता को समझाने के लिए सबसे सहज तरीका पाया है जो डेटा पर फ़िल्टरिंग शब्द का उपयोग कर रहा है ।

मान लें कि हम प्राप्त करना चाहते हैं , हम निम्नलिखित अनुमान करेंगे:$P(am=1|cyl=4)$

> cyl_4_cars=subset(mtcars, cyl==4)
> prop.table(table(cyl_4_cars$am))

        0         1 
0.2727273 0.7272727 

इसका मतलब है, हम केवल देखभाल कारों में 4 सिलेंडर हैं। इसलिए हम उस पर डेटा फ़िल्टर करते हैं। फ़िल्टर करने के बाद, हम जांचते हैं कि उनमें से कितने मैनुअल ट्रांसमिशन हैं।

आप मतभेदों को महसूस करने के लिए पहले संयुक्त उल्लेख के साथ सशर्त इसकी तुलना कर सकते हैं।

Answer 11

यदि प्रायिकता Aका सुपरसेट होता है जो हमेशा होता है 1 दिया जाता है जो कि हुआ । हालाँकि, अपने आप में संभावना 1 से बहुत छोटी हो सकती है।BABP(A|B) = 1B

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

• x1..100 में दी गई एक प्राकृतिक संख्या है,
• A' xएक सम संख्या है'
• Bहै ' x10 से विभाज्य है'

हमारे पास तब है:

• P(A) 0.5 है
• P(B) 0.1 है

यदि हम जानते हैं कि x10 से विभाज्य है (अर्थात xमें है B) तो हम जानते हैं कि यह एक सम संख्या (यानी xमें है A) भी है P(A|B) = 1।

बेय्स नियम से हमारे पास:

$$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

ध्यान दें कि हमारे (विशेष) मामले में , यानी प्रायिकता जो एक सम संख्या और 10 से विभाज्य दोनों संख्या है, संभावना के बराबर है जो कि 10 से विभाज्य संख्या है। इसलिए हमारे पास और इसे वापस बायेज के नियम में जोड़कर हम ।$P(A \cap B)$xx$P(A \cap B) = P(B)$$P(A|B) = P(B) / P(B) = 1$

---

गैर-पतित उदाहरण के लिए विचार करें कि उदा A' x7 से विभाज्य है' और B' x3 से विभाज्य है'। तब P(A|B)'दिए गए के बराबर है कि हम जानते हैं कि x3 से विभाज्य है कि क्या संभावना है कि यह (भी) 7 से विभाज्य है?'। या समकक्ष 'संख्या 3, 6, ..., 99 का भाग 7 से विभाज्य है'?

Answer 12

मुझे लगता है कि आपका प्रारंभिक बयान गलतफहमी हो सकता है।

आप ने लिखा:

A की सशर्त संभाव्यता का सूत्र, एक बार B हुआ है:

आपके वाक्यांश से, ऐसा लग सकता है जैसे कि 2 घटनाएँ हैं "पहले बी हुआ, और फिर हम इस संभावना की गणना करना चाहते हैं कि ए क्या होगा"।

यह मामला नहीं है। (निम्नलिखित मान्य है कि क्या कोई गलतफहमी थी या नहीं)।

हमारे पास सिर्फ 1 घटना है, जिसे 4 संभावनाओं में से एक द्वारा वर्णित किया गया है:

1. न तो और न ही ;$\text{A}$$\text{B}$

2. बस , नहीं ;$\text{A}$$\text{B}$

3. बस , नहीं ;$\text{B}$$\text{A}$

4. दोनों और ।$\text{A}$$\text{B}$

इस पर कुछ उदाहरण संख्याएँ डालते हुए, लें कि

$$\begin{array}{ccccccc} P\left(\text{A}\right) = 0.5, & & P\left(\text{B}\right) = 0.5, & & \text{and} & & \text{A and B are independent}. \end{array}$$

यह इस प्रकार है कि

$$\begin{array}{ccccc} P\left(\text{A and B}\right)=0.25 & & \text{and} & & P\left(\text{neither A nor B}\right)=0.25. \end{array}$$

प्रारंभ में (घटना का कोई ज्ञान नहीं), हम जानते थे ।$P\left(\text{AB}\right) = 0.25$

लेकिन एक बार जब हम जानते हैं कि हो गया है, तो हम एक अलग स्थान पर हैं। का आधा है, इसलिए दिए गए , की संभावना , । यह नहीं है , यह जानते हुए कि हुआ है।$\text{B}$$P\left(\text{AB}\right)$$P\left(\text{B}\right)$$\text{A}$$\text{B}$$P\left(\text{A} \middle| \text{B}\right)$$0.5$$0.25$$\text{B}$

Answer 13

कंडीशनिंग संभावना चौराहे की संभावना के बराबर नहीं है। यहाँ एक सहज जवाब है:

1) : "हम जानते हैं कि हुआ है। क्या होगा इसकी संभावना क्या है ?"$P(B \mid A)$$A$$B$

2: : "हम नहीं जानते कि क्या या हुआ था। क्या संभावना है कि दोनों ही होंगे?$P(A \cap B)$$A$$B$

अंतर यह है कि पहले एक में, हमारे पास अतिरिक्त जानकारी है (हम जानते हैं कि पहले होता है)। दूसरे में हम कुछ भी नहीं जानते हैं।$A$

दूसरे एक की संभावना के साथ शुरू करते हुए, हम पहले वाले की संभावना को कम कर सकते हैं।

और दोनों होने वाली घटना दो तरह से हो सकती है:$A$$B$

1) और की संभावना की संभावना है कि हुआ।$A$$B$$A$

2) की संभावना और की संभावना को देखते हुए कि हुआ।$B$$A$$B$

यह पता चला है कि दोनों स्थितियां समान रूप से घटित होना पसंद करती हैं। (मैं खुद को सहज कारण का पता नहीं लगा सकता)। इस प्रकार हमें साथ दोनों परिदृश्यों का वजन करना होगा$0.5$

$P(A \cap B) = 1/2 * P(A \cap (B \mid A)) + 1/2*P(B \cap (A \mid B))$

अब उपयोग करें कि और स्वतंत्र हैं और याद रखें कि दोनों परिदृश्य समान रूप से होने की संभावना है।$A$$B \mid A$

$P(A \cap B) = P(A) * P(B \mid A)$

Tadaaa ... अब कंडीशनिंग की संभावना को अलग!

btw। मुझे अच्छा लगेगा अगर कोई यह समझा सके कि परिदृश्य 1 और 2 समान क्यों हैं। कुंजी वहाँ imo में है।