क्या यह संभव है कि 3 वैक्टर में सभी नकारात्मक जोड़ीदार सहसंबंध हैं?

Question

तीन वैक्टर , और को देखते हुए , क्या यह संभव है कि और , और , और और बीच संबंध सभी नकारात्मक हैं? यानी यह संभव है?$a$$b$$c$$a$$b$$a$$c$$b$$c$

$$\begin{align} \text{corr}(a,b) < 0\\ \text{corr}(a,c) < 0 \\ \text{corr}(b,c) < 0\\ \end{align}$$

Comments

नकारात्मक सहसंबंधों का मतलब है, ज्यामितीय रूप से, कि केंद्रित वैक्टर परस्पर विरोधी कोण बनाते हैं। आपको विमान में तीन वैक्टर के विन्यास को चित्रित करने में कोई समस्या नहीं होनी चाहिए जिनके पास यह संपत्ति है।

— whuber

वे पूरी तरह से नकारात्मक सहसंबंधित नहीं हो सकते ( $\rho=-1$ ), लेकिन सामान्य तौर पर कुछ नकारात्मक सहसंबंध हो सकते हैं, फिर से अन्य सहसंबंधों द्वारा निर्धारित सीमाएं।

— कारकाफा

@whuber आपकी टिप्पणी Heikki Pulkkinen के उत्तर के विपरीत प्रतीत होती है, जो दावा करता है कि विमान में वैक्टर के लिए यह असंभव है। यदि आप इसके द्वारा खड़े होते हैं, तो आपको अपनी टिप्पणी को एक उत्तर में बदल देना चाहिए।

— आरएम

@RM व्हीबर और हेइक्की के बीच कोई विरोधाभास नहीं है। यह प्रश्न आकार के डेटा मैट्रिक्स के बारे में पूछता है । आम तौर पर हम 3 आयामों में डेटा बिंदुओं के बारे में बात करेंगे , लेकिन यह Q आयामों में तीन "वैक्टर" के बारे में बात कर रहा है । Heikki का कहना है कि सभी नकारात्मक सहसंबंध तब नहीं हो सकते हैं यदि (वास्तव में, दो बिंदुओं को केंद्रित करने के बाद हमेशा पूरी तरह से सहसंबद्ध होते हैं, इसलिए सहसंबंधों को होना चाहिए और सभी नहीं हो सकते )। व्हीबर का कहना है कि आयामों में 3 वैक्टर 2-आयामी उप-स्थान (यानी रैंक 2 है) में प्रभावी रूप से झूठ बोल सकते हैं और एक मर्सिडीज लोगो की कल्पना करने का सुझाव देते हैं। n × 3 एन एन एन = 2 ± 1 - 1 एन $X$$n\times 3$$n$$n$$n=2$$\pm 1$$-1$$n$$X$

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

संबंधित: तीन यादृच्छिक चर के सहसंबंध के लिए बाध्य । (सीसी, @amoeba)

— गुंग - को पुनः स्थापित मोनिका

Answer 1

यदि वेक्टर का आकार 3 या बड़ा है तो यह संभव है। उदाहरण के लिए

$$\begin{align} a &= (-1, 1, 1)\\ b &= (1, -9, -3)\\ c &= (2, 3, -1)\\ \end{align}$$

सहसंबंध

$$\begin{equation} \text{cor}(a,b) = -0.80...\\ \text{cor}(a,c) = -0.27...\\ \text{cor}(b,c) = -0.34... \end{equation}$$

हम यह साबित कर सकते हैं कि आकार 2 के वैक्टर के लिए यह संभव नहीं है:

$$\begin{align} \text{cor}(a,b) &< 0\\[5pt] 2\Big(\sum_i a_i b_i\Big) - \Big(\sum_i a_i\Big)\Big(\sum_i b_i\Big) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_2 b_2 &< 0\\[5pt] a_1 b_1 + a_2 b_2 - a_1 b_2 + a_2 b_1 &< 0\\[5pt] a_1 (b_1-b_2) + a_2 (b_2-b_1) &< 0\\[5pt] (a_1-a_2)(b_1-b_2) &< 0 \end{align}$$

सूत्र समझ में आता है: अगर से बड़ा है एक 2 , बी 1 से बड़ा हो गया है ख 1 सहसंबंध नकारात्मक बनाने के लिए।$a_1$$a_2$$b_1$$b_1$

इसी तरह (ए, सी) और (बी, सी) के बीच सहसंबंधों के लिए

$$\begin{equation} (a_1-a_2)(c_1-c_2) < 0\\ (b_1-b_2)(c_1-c_2) < 0\\ \end{equation}$$

स्पष्ट रूप से, ये तीनों सूत्र एक ही समय में धारण नहीं कर सकते हैं।

Comments

कुछ अप्रत्याशित का एक और उदाहरण जो केवल तीन या उच्चतर आयामों में होता है।

— nth

आकार के वैक्टर के साथ , सह-संबंध आमतौर पर कर रहे हैं ± 1 (दो अंक के माध्यम से सीधी रेखा), और आप के तीन सह-संबंध नहीं हो सकता है - 1 किसी भी आकार के तीन वैक्टर के साथ$2$$\pm1$$-1$

— हेनरी

Answer 2

हा वो कर सकते है।

मान लीजिए आप एक मल्टीवेरिएट सामान्य वितरण है । Σ पर एकमात्र प्रतिबंध यह है कि इसे सकारात्मक अर्ध-निश्चित होना चाहिए।$X\in R^3, X\sim N(0,\Sigma)$$\Sigma$

तो निम्न उदाहरण लें $\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & -0.2 & -0.2 \\ -0.2 & 1 & -0.2 \\ -0.2 & -0.2 & 1 \end{pmatrix}$

इसके आइजेनवेल्स सभी सकारात्मक (1.2, 1.2, 0.6) हैं, और आप नकारात्मक सहसंबंध के साथ वैक्टर बना सकते हैं।

Answer 3

चलो 3 चर के लिए सहसंबंध मैट्रिक्स के साथ शुरू करते हैं

$\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & p & q \\ p & 1 & r \\ q & r & 1 \end{pmatrix}$

गैर-नकारात्मक निश्चितता जोड़ीदार सहसंबंधों लिए अड़चन पैदा करती है , जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है$p,q,r$

$$pqr \ge \frac{p^2+q^2+r^2-1}2$$

उदाहरण के लिए, यदि , r का मान 2 r if r 2 + 1 से प्रतिबंधित है , जो r = 1 को बाध्य करता है । दूसरी ओर यदि p = q = - $p=q=-1$$r$$2r \ge r^2+1$$r=1$ ,आरके भीतर हो सकता2±$p=q=-\frac12$$r$ रेंज।$\frac{2 \pm \sqrt{3}}4$

@Amoeba द्वारा दिलचस्प अनुवर्ती प्रश्न का उत्तर देते हुए: "सबसे कम संभव सहसंबंध क्या है जो सभी तीन जोड़े एक साथ हो सकते हैं?"

$p=q=r=x < 0$$2x^3-3x^2+1$$-\frac12$

$r=-1$$-2pq \ge p^2+q^2$, we can deduce that $p=-q$. Therefore if two correlations are $-1$, third one should be $1$.

Comments

See stats.stackexchange.com/questions/72790/…, inter alia.

— whuber

Answer 4

यह पता लगाने के लिए एक सरल आर फ़ंक्शन:

f <- function(n,trials = 10000){
  count <- 0
  for(i in 1:trials){
    a <- runif(n)
    b <- runif(n)
    c <- runif(n)
    if(cor(a,b) < 0 & cor(a,c) < 0 & cor(b,c) < 0){
      count <- count + 1
    }
  }
  count/trials
}

के एक समारोह के रूप में n, f(n)0 से शुरू होता है, नॉनजेरो n = 3(0.06 के आसपास विशिष्ट मूल्यों के साथ) हो जाता है, फिर लगभग 0.11 तक बढ़ जाता है n = 15, जिसके बाद यह स्थिर होने लगता है:

इसलिए, न केवल सभी तीन सहसंबंधों को नकारात्मक करना संभव है, यह बहुत असामान्य नहीं लगता है (कम से कम समान वितरण के लिए)।