तीन यादृच्छिक चर के सहसंबंध के लिए बाध्य

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तीन यादृच्छिक चर, । तीन चर के बीच तीन सहसंबंध समान हैं। अर्थात्, $x,y,z$

ρ = cor (x, y) = cor (x, z) = cor (y, z)

$\rho=\textrm{cor}(x,y)=\textrm{cor}(x,z)=\textrm{cor}(y,z)$

बेनाम: क्या कसकर आप लिए दे सकते हैं बाध्य है ? $\rho$

correlation correlation-matrix

— user1352399
स्रोत

1

संभवतः "pho" से, आपका मतलब है rho ( )। हालाँकि, आपका प्रश्न स्पष्ट नहीं है। "व्हाट्सएप सबसे टाइट बाउंड दे सकता है" से आपका क्या मतलब है?

ρ

$\rho$

— गूँज - मोनिका

वैसे चर का नाम सिर्फ डमी है। कसकर बाध्य होने से, मेरा मतलब है कि सहसंबंध के लिए [-1, 1] जैसा कुछ है, लेकिन यह स्पष्ट रूप से सबसे तंग संभव बाध्य नहीं है।

— user1352399 25

क्या आपका मतलब है कि rho = cor (x, y) = cor (x, z) = cor (y, z), और rho की सीमाएं क्या हैं?

— user31264

हां मेरा मतलब है कि rho = cor (x, y) = cor (x, z) = cor (y, z) और rho की सीमाएं क्या हैं। दिलीप, क्या आप यह कहने के लिए विस्तार कर सकते हैं कि आरएच गैर-नकारात्मक होना चाहिए, अर्थात> = 0?

— user1352399

1

इसके लिए उद्धृत करने के लिए एक पाठ्यपुस्तक है सेबर एंड ली "रैखिक प्रतिगमन विश्लेषण" (कम से कम यह पहले संस्करण में था ...)

— kjetil b halvorsen

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सामान्य सहसंबंध में मान हो सकता है, लेकिन नहीं । यदि , तो बराबर नहीं कर सकता है लेकिन वास्तव में । तीन यादृच्छिक चर के सामान्य सहसंबंध का सबसे छोटा मूल्य है । आम तौर पर, कम से कम आम सहसंबंध यादृच्छिक परिवर्तनीय है जब, वैक्टर के रूप में माना, वे (आयाम के एक सिंप्लेक्स के कोने पर हैं में) आयामी अंतरिक्ष। $\rho$ $+1$ $-1$ $\rho_{X,Y}= \rho_{X,Z}=-1$ $\rho_{Y,Z}$ $-1$ $+1$ $-\frac{1}{2}$ $n$ $-\frac{1}{n-1}$ $n-1$ $n$

इकाई प्रसरण यादृच्छिक चर के योग के विचरण पर विचार करें । हमारे पास वह जहां है औसत मूल्य के सहसंबंध गुणांक। लेकिन चूंकि , हम आसानी से that $n$ $X_i$

\begin{aligned} var (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) & = \sum_{i = 1}^{n} var (X_{i}) + \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j \neq i}^{n} cov (X_{i}, X_{j}) \\ = n + \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j \neq i}^{n} ρ_{X_{i}, X_{j}} \\ (1) & = n + n (n - 1) \bar{ρ} \end{aligned}

$\begin{align*} \operatorname{var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) &= \sum_{i=1}^n \operatorname{var}(X_i) + \sum_{i=1}^n\sum_{j\neq i}^n \operatorname{cov}(X_i,X_j)\\ &= n + \sum_{i=1}^n\sum_{j\neq i}^n \rho_{X_i,X_j}\\ &= n + n(n-1)\bar{\rho} \tag{1} \end{align*}$

\bar{ρ}

$\bar{\rho}$

(\binom{n}{2})

$\binom{n}{2}$

var (\sum_{i} X_{i}) \geq 0

$\operatorname{var}\left(\sum_i X_i\right) \geq 0$

(1)

$(1)$

\bar{ρ} \geq - \frac{1}{n - 1} .

$\bar{\rho} \geq -\frac{1}{n-1}.$

तो, एक सहसंबंध गुणांक का औसत मूल्य कम से कम है । यदि सभी सहसंबंध गुणांक में समान मान , तो उनका औसत भी बराबर होता है और इसलिए हमारे पास that क्या यादृच्छिक चर होना संभव है जिसके लिए सामान्य सहसंबंध मान बराबर है ? हाँ। मान लीजिए कि हैं असहसंबद्ध यूनिट विचरण यादृच्छिक चर और सेट । तब, , जबकि $-\frac{1}{n-1}$ $\rho$ $\rho$

ρ \geq - \frac{1}{n - 1} .

$\rho \geq -\frac{1}{n-1}.$

ρ

$\rho$

- \frac{1}{n - 1}

$-\frac{1}{n-1}$

X_{i}

$X_i$

Y_{i} = X_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j} = X_{i} - \bar{X}

$Y_i = X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j = X_i -\bar{X}$

E [Y_{i}] = 0

$E[Y_i]=0$

var (Y_{i}) = {(\frac{n - 1}{n})}^{2} + (n - 1) {(\frac{1}{n})}^{2} = \frac{n - 1}{n}

$\displaystyle \operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{n-1}{n}\right)^2 + (n-1)\left(\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{n-1}{n}$ और देने वाले इस प्रकार यादृच्छिक चर हैं का न्यूनतम सामान्य सहसंबंध मान । नोट, संयोग से, कि , और इसलिए, वैक्टर के रूप में माना, यादृच्छिक परिवर्तनीय एक में झूठ की आयामी hyperplane

cov (Y_{i}, Y_{j}) = - 2 (\frac{n - 1}{n}) (\frac{1}{n}) + (n - 2) {(\frac{1}{n})}^{2} = - \frac{1}{n}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{n-1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right) + (n-2)\left(\frac{1}{n}\right)^2 = -\frac{1}{n}$

ρ_{Y_{i}, Y_{j}} = \frac{cov (Y_{i}, Y_{j})}{\sqrt{var (Y_{i}) var (Y_{j})}} = \frac{- 1 / n}{(n - 1) / n} = - \frac{1}{n - 1} .

$\rho_{Y_i,Y_j} = \frac{\operatorname{cov}(Y_i,Y_j)}{\sqrt{\operatorname{var}(Y_i)\operatorname{var}(Y_j)}} =\frac{-1/n}{(n-1)/n} = -\frac{1}{n-1}.$

Y_{i}

$Y_i$

- \frac{1}{n - 1}

$-\frac{1}{n-1}$

\sum_{i} Y_{i} = 0

$\sum_i Y_i = 0$

(n - 1)

$(n-1)$

n

$n$ -डिमेटिक स्पेस।

— दिलीप सरवटे
स्रोत

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सबसे तंग संभव बाध्य । $-1/2 \le \rho \le 1$ ऐसे सभी मूल्य वास्तव में प्रकट हो सकते हैं - कोई भी असंभव नहीं है।

यह दिखाने के लिए कि परिणाम के बारे में कुछ भी विशेष रूप से गहरा या रहस्यमय नहीं है, यह उत्तर पहले एक पूरी तरह से प्राथमिक समाधान प्रस्तुत करता है, जिसमें केवल स्पष्ट तथ्य की आवश्यकता होती है कि भिन्न - वर्गों के अपेक्षित मूल्य - गैर-नकारात्मक होने चाहिए। यह एक सामान्य समाधान है (जो थोड़ा अधिक परिष्कृत बीजीय तथ्यों का उपयोग करता है)।

प्राथमिक समाधान

के किसी भी रैखिक संयोजन का विचरण गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। $x,y,z$ बता दें कि इन वेरिएबल्स का क्रमशः और है। सभी नॉनज़रो हैं (अन्यथा कुछ सहसंबंधों को परिभाषित नहीं किया जाएगा)। भिन्नताओं के मूल गुणों का उपयोग करके हम गणना कर सकते हैं $\sigma^2, \tau^2,$ $\upsilon^2$

0 \leq Var (α x / σ + β y / τ + γ z / υ) = α^{2} + β^{2} + γ^{2} + 2 ρ (α β + β γ + γ α)

$0 \le \text{Var}(\alpha x/\sigma + \beta y/\tau + \gamma z/\upsilon) = \alpha^2 +\beta^2+\gamma^2 + 2\rho(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$

सभी वास्तविक संख्याओं के लिए । $(\alpha, \beta, \gamma)$

मान लें कि , थोड़ा बीजीय हेरफेर का तात्पर्य यह बराबर है $\alpha+\beta+\gamma\ne 0$

\frac{- ρ}{1 - ρ} \leq \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{(α^{2} + β^{2} + γ^{2}) / 3}}{(α + β + γ) / 3})}^{2} .

$\frac{-\rho}{1-\rho} \le \frac{1}{3} \left(\frac{\sqrt{(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)/3}}{(\alpha+\beta+\gamma)/3}\right)^2.$

दाहिने हाथ की ओर चौकोर शब्द दो शक्ति साधनों का अनुपात है । प्राथमिक बिजली मतलब असमानता (वजन के साथ ) का दावा है कि अनुपात अधिक नहीं हो सकता (और बराबर होगा जब )। थोड़ा और बीजगणित का तात्पर्य है $(\alpha, \beta, \gamma)$ $(1/3, 1/3, 1/3)$ $1$ $1$ $\alpha=\beta=\gamma\ne 0$

ρ \geq - 1 / 2.

$\rho \ge -1/2.$

नीचे (सामान्य सामान्य चर ) का स्पष्ट उदाहरण दिखाता है कि ऐसे सभी मूल्य, , वास्तव में सहसंबंध के रूप में उत्पन्न होते हैं। यह उदाहरण केवल बहुभिन्नरूपी नॉर्मल की परिभाषा का उपयोग करता है, लेकिन अन्यथा पथरी या रैखिक बीजगणित के कोई परिणाम नहीं देता है। $n=3$ $(x,y,z)$ $-1/2 \le \rho \le 1$

सामान्य समाधान

अवलोकन

कोई भी सहसंबंध मैट्रिक्स मानकीकृत यादृच्छिक चर का सहसंयोजक मैट्रिक्स है, जहां - सभी सहसंबंध मैट्रिक्स की तरह - यह सकारात्मक अर्ध-निश्चित होना चाहिए। समान रूप से, इसके प्रतिरूप गैर-नकारात्मक हैं। यह पर एक साधारण शर्त लगाता है : यह से कम नहीं होना चाहिए (और निश्चित रूप से से अधिक नहीं हो सकता है )। इसके विपरीत, किसी भी ऐसे वास्तव में कुछ मामूली वितरण के सहसंबंध मैट्रिक्स से मेल खाते हैं, यह साबित करते हैं कि ये सीमाएं सबसे अधिक संभव हैं। $\rho$ $-1/2$ $1$ $\rho$

पर शर्तों की व्युत्पत्ति $\rho$

पर विचार करें द्वारा के बराबर सभी ऑफ विकर्ण मूल्यों के साथ सहसंबंध मैट्रिक्स(प्रश्न केस चिंता करता है लेकिन इस सामान्यीकरण का विश्लेषण करना अधिक कठिन नहीं है।) आइए इसे परिभाषा के अनुसार, प्रदान करने का एक प्रतिरूप है, जहां एक गैर-बीओ वेक्टर है $n$ $n$ $\rho.$ $n=3,$ $\mathbb{C}(\rho, n).$ $\lambda$ $\mathbf{x}_\lambda$

C (ρ, n) x_{λ} = λ x_{λ} .

$\mathbb{C}(\rho,n) \mathbf{x}_\lambda = \lambda \mathbf{x}_\lambda.$

वर्तमान मामले में इन ईजेनवल को ढूंढना आसान है, क्योंकि

दे , गणना कि $\mathbf{1} = (1, 1, \ldots, 1)'$

$C (ρ, n) 1 = (1 + (n - 1) ρ) 1 .$ $\mathbb{C}(\rho,n)\mathbf{1} = (1+(n-1)\rho)\mathbf{1}.$
दे एक साथ केवल में (जगह के लिए ), गणना कि $\mathbf{y}_j = (-1, 0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)$ $1$ $j^\text{th}$ $j = 2, 3, \ldots, n$

$C (ρ, n) y_{j} = (1 - ρ) y_{j} .$ $\mathbb{C}(\rho,n)\mathbf{y}_j = (1-\rho)\mathbf{y}_j.$

क्योंकि eigenvectors अब तक पाया पूर्ण अवधि आयामी अंतरिक्ष (सबूत: एक आसान पंक्ति में कमी से पता चलता है उनके निर्धारक का निरपेक्ष मान के बराबर होती है , जो अशून्य है), वे का कोई आधार सभी eigenvectors। इसलिए हमने सभी eigenvalues का पता लगाया है और निर्धारित किया है कि वे या तो या (बहुलता साथ उत्तरार्द्ध ) हैं। अच्छी तरह से ज्ञात असमानता के अलावा सभी सहसंबंधों से संतुष्ट, पहले eigenvalue के गैर नकारात्मकता का तात्पर्य है $n$ $n$ $n$ $1+(n-1)\rho$ $1-\rho$ $n-1$ $-1 \le \rho \le 1$

ρ \geq - \frac{1}{n - 1}

$\rho \ge -\frac{1}{n-1}$

जबकि दूसरी प्रतिध्वनि की गैर-नकारात्मकता कोई नई स्थिति नहीं लाती है।

शर्तों की पर्याप्तता का प्रमाण

निहितार्थ दोनों दिशाओं में काम करते हैं: प्रदान की मैट्रिक्स nonnegative-निश्चित है और इसलिए एक वैध सहसंबंधी मैट्रिक्स है। उदाहरण के लिए, यह बहुसंबंधी वितरण के लिए सहसंबंध मैट्रिक्स है। विशेष रूप से, लिखें $-1/(n-1)\le \rho \le 1,$ $\mathbb{C}(\rho, n)$

Σ (ρ, n) = (1 + (n - 1) ρ) I_{n} - \frac{ρ}{(1 - ρ) (1 + (n - 1) ρ)} 1 1^{'}

$\Sigma(\rho, n) = (1 + (n-1)\rho)\mathbb{I}_n - \frac{\rho}{(1-\rho)(1+(n-1)\rho)}\mathbf{1}\mathbf{1}'$

के व्युत्क्रम के लिए जब उदाहरण के लिए, जब $\mathbb{C}(\rho, n)$ $-1/(n-1) \lt \rho \lt 1.$ $n=3$

Σ (ρ, 3) = \frac{1}{(1 - ρ) (1 + 2 ρ)} (\begin{array}{ccc} ρ + 1 & - ρ & - ρ \\ - ρ & ρ + 1 & - ρ \\ - ρ & - ρ & ρ + 1 \end{array}) .

$\color{gray}{\Sigma(\rho, 3) = \frac{1}{(1-\rho)(1+2\rho)} \left( \begin{array}{ccc} \rho +1 & -\rho & -\rho \\ -\rho & \rho +1 & -\rho \\ -\rho & -\rho & \rho +1 \\ \end{array} \right)}.$

यादृच्छिक चर के वेक्टर का वितरण कार्य है $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$

f_{ρ, n} (x) = \frac{\exp (- \frac{1}{2} x Σ (ρ, n) x^{'})}{(2 π)^{n / 2} {((1 - ρ)^{n - 1} (1 + (n - 1) ρ))}^{1 / 2}}

$f_{\rho, n}(\mathbf{x}) = \frac{\exp\left(-\frac{1}{2}\mathbf{x}\Sigma(\rho, n)\mathbf{x}'\right)}{(2\pi)^{n/2}\left((1-\rho)^{n-1}(1+(n-1)\rho)\right)^{1/2}}$

जहाँ । उदाहरण के लिए, जब यह बराबर होता है $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $n=3$

\frac{1}{\sqrt{(2 π)^{3} (1 - ρ)^{2} (1 + 2 ρ)}} \exp (- \frac{(1 + ρ) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - 2 ρ (x y + y z + z x)}{2 (1 - ρ) (1 + 2 ρ)}) .

$\color{gray}{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{3}(1-\rho)^2(1+2\rho)}} \exp\left(-\frac{(1+\rho)(x^2+y^2+z^2) - 2\rho(xy+yz+zx)}{2(1-\rho)(1+2\rho)}\right)}.$

इन यादृच्छिक चर के लिए सहसंबंध मैट्रिक्स है $n$ $\mathbb{C}(\rho, n).$

आकृति

घनत्व कार्यों का नियंत्रण बाएं से दाएं, । ध्यान दें कि घनत्व समीप केंद्रित होने से रेखा समीप केंद्रित होने से कैसे बदलता है । $f_{\rho,3}.$ $\rho=-4/10, 0, 4/10, 8/10$ $x+y+z=0$ $x=y=z$

विशेष मामलों और को भी पतित वितरण द्वारा महसूस किया जा सकता है ; मैं यह बताने के अलावा विवरण में नहीं जाऊंगा कि पूर्व मामले में वितरण को हाइपरप्लेन पर समर्थित माना जा सकता है , जहां यह पहचाने जाने वाले माध्य का योग है- सामान्य वितरण, जबकि बाद के मामले में (पूर्ण सकारात्मक सहसंबंध) यह द्वारा उत्पन्न लाइन पर समर्थित है , जहां इसका एक अर्थ है- सामान्य वितरण। $\rho = -1/(n-1)$ $\rho = 1$ $\mathbf{x}.\mathbf{1}=0$ $0$ $\mathbf{1}'$ $0$

गैर-अध: पतन के बारे में अधिक

इस विश्लेषण की समीक्षा से यह स्पष्ट होता है कि सहसंबंध मैट्रिक्स का रैंक और का रैंक है की (क्योंकि केवल एक आइजन्वेक्टर है एक अशून्य eigenvalue)। के लिए , यह या तो मामले में सह-संबंध मैट्रिक्स पतित बना देता है। अन्यथा, इसके विलोम का अस्तित्व यह साबित करता है कि यह नोंडेगेंरेट है। $\mathbb{C}(-1/(n-1), n)$ $n-1$ $\mathbb{C}(1, n)$ $1$ $n\ge 2$ $\Sigma(\rho, n)$

— व्हीबर
स्रोत

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आपका सहसंबंध मैट्रिक्स है

(\begin{matrix} 1 & ρ & ρ \\ ρ & 1 & ρ \\ ρ & ρ & 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1&\rho&\rho\\ \rho&1&\rho\\ \rho&\rho&1 \end{pmatrix}$

यदि प्रमुख प्रमुख नाबालिग सभी गैर-नकारात्मक हैं, तो मैट्रिक्स सकारात्मक अर्धचालक है। प्रमुख नाबालिग मैट्रिक्स के "उत्तर-पश्चिम" ब्लॉक के निर्धारक हैं, अर्थात 1 के निर्धारक

(\begin{matrix} 1 & ρ \\ ρ & 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1&\rho\\ \rho&1\end{pmatrix}$

और सहसंबंध मैट्रिक्स के निर्धारक।

1 स्पष्ट रूप से सकारात्मक है, दूसरा प्रमुख नाबालिग , जो किसी भी स्वीकार्य सहसंबंध लिए गैर- । संपूर्ण सहसंबंध मैट्रिक्स का निर्धारक है $1-\rho^2$ $\rho\in[-1,1]$

2 ρ^{3} - 3 ρ^{2} + 1.

$2\rho^3-3\rho^2+1.$

यह भूखंड स्वीकार्य-योग्य सहसंबंधों की सीमा से अधिक कार्य के निर्धारक को दर्शाता है । $[-1,1]$ यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

आप देख सकते हैं कि समारोह @stochazesthai द्वारा दी गई सीमा से अधिक है (जिसे आप निर्धारक समीकरण की जड़ों को खोजकर भी देख सकते हैं)।

— क्रिस्टोफ हांक
स्रोत

क्या हम आपके उत्तर में यह नहीं मान रहे हैं कि ? हम क्यों कर सकते हैं?

V a r () = 1

$Var( )=1$

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

1

@Anold आप "सहसंबंध" पढ़ रहे हैं जहां "सहसंबंध" लिखा गया है।

— whuber

6

यादृच्छिक चर , और सहसंबंधों और यदि केवल सहसंबंध मैट्रिक्स सकारात्मक अर्धवृत्त है। यह केवल लिए होता है । $X$ $Y$ $Z$ $\rho_{XY} = \rho_{YZ} = \rho_{XZ} = \rho$ $\rho \in [-\frac{1}{2},1]$

— stochazesthai
स्रोत

2

क्या आप इसे बहुत सरल शब्दों में समझा सकते हैं।

— एलिजाबेथ सुसान जोसेफ

1

मुझे नहीं लगता कि कोई स्पष्टीकरण मौजूद है जिसमें मैट्रिक्स बीजगणित के ज्ञान की आवश्यकता नहीं है। मेरा सुझाव है कि आप विकिपीडिया पृष्ठ ( en.wikipedia.org/wiki/… ) को देखें।

— स्टोचज़ेथाई

4

मुझे एक स्पष्टीकरण मिला जिसमें केवल मूल (हाई स्कूल स्तर) बीजगणित की आवश्यकता होती है और इसे अपने उत्तर में शामिल किया है।