सशर्त संभावनाएं - क्या वे बायेसियनवाद के लिए अद्वितीय हैं?

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मुझे आश्चर्य है कि क्या सशर्त संभाव्यताएं बेइज़ियनवाद के लिए अद्वितीय हैं, या क्या वे एक सामान्य अवधारणा से अधिक हैं जो कि सांख्यिकीय / संभाव्यता लोगों के बीच विचार के कई स्कूलों के बीच साझा किया जाता है।

मैं यह मानता हूं कि यह इसलिए है, क्योंकि मेरा मानना है कि कोई भी तार्किक नहीं है, इसलिए मुझे लगता है कि फ्रीक्वेंटर्स कम से कम सैद्धांतिक रूप से सहमत होंगे, जबकि बायेसियन के खिलाफ चेतावनी देते हुए व्यावहारिक कारणों से अधिक अनुमान, और सशर्त संभावनाओं के कारण नहीं। $p(A,B) = p(A|B)p(B)$

bayesian conditional-probability

— wirrbel
स्रोत

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"बायेसियन" और "अक्सरवादी" समस्याओं को हल करने के लिए अलग-अलग तरीकों का वर्णन करते हैं, न कि विभिन्न अंतर्निहित सिद्धांतों का। इसे प्राप्त करने में मुझे थोड़ा समय लगा। यहाँ एक उदाहरण है ।

— user541686

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मुझे लगता है कि यकीनन किसी भी तरह की सभी संभावनाएं सशर्त हैं; यह सिर्फ इस बात का मामला है कि क्या स्थितियाँ स्पष्ट, तर्कसंगत या वैचारिक हैं।

— निक कॉक्स

क्या यह केवल एक घटना नमूना स्थान के तत्वों का मामला नहीं है जो या तो पारस्परिक रूप से अनन्य और असहमति (स्वतंत्र) या अन्यथा संयुक्त (निर्भर) है? क्या सशर्त संभाव्यता उत्तरार्द्ध से नहीं निकलती है? इसलिए Bayesianism एक समस्या के समाधान को प्राप्त करने के लिए एक प्राथमिक ज्ञान के आवेदन का विशेष मामला है।

— असिमलैब्स

शब्द "प्रायिकता" बायर्सियन की तुलना में लगातार उपयोग में अधिक प्रतिबंधात्मक है, इसलिए ऐसे मामले हैं जहां पी (ए | बी) और पी (बी) वैध बारंबार प्रायिकताएं हैं, लेकिन पी (ए, बी) नहीं है।

— संचय

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दूसरे और पूरी तरह से पर्याप्त उत्तरों पर ढेर करने के लिए, ऐसे मॉडल की परिभाषा के बाद से रैखिक और सामान्यीकृत रैखिक मॉडल में सशर्त संभाव्यता मॉडल के उदाहरण regressors या covariates पर सशर्त हैं:

Y | X \sim f (y; g (X^{T} β), σ)

$Y|X \sim f(y;g(X^\text{T}\beta),\sigma)$

और सशर्त संभाव्यता वितरण की धारणा को माप सिद्धांत में परिभाषित किया गया है, जिसमें आंकड़ों का कोई संदर्भ नहीं है और यहां तक कि "बेयसियनवाद" से भी कम है। उदाहरण के लिए, रेनी ने सशर्त संस्करणों से बाहर एक संभावना सिद्धांत का निर्माण किया। यह भी ध्यान दें कि औपचारिक माप सिद्धांत में, कंडीशनिंग एक घटना के बजाय एक -field संबंध में है । सशर्त उम्मीद तो एक है -measurable समारोह ऐसा है कि सभी के लिए औसत दर्जे का काम करता है । (जैसा कि मार्टिंगेल्स की अवधारणा द्वारा चित्रित किया गया है $\sigma$ $\mathfrak{S}$ $\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]$ $\mathfrak{S}$

E^{S} {[X - E [X | S] Z} = 0

$\mathbb{E}^{\mathfrak{S}}\{[X-\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]Z\}=0$

S

$\mathfrak{S}$

Z

$Z$ ।)

— शीआन
स्रोत

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साथ के रूप में सभी संभाव्यता सिद्धांत , सशर्त संभावना frequentist आँकड़े बनाम बायेसियन कोई लेना देना नहीं है। यहां तक कि बेयस का प्रमेय "बायेसियन" नहीं है, लेकिन संभाव्यता के बारे में एक सामान्य प्रमेय है, उदाहरण के लिए इसका उपयोग बेस रेट के लिए संभाव्यता को सही करने के लिए किया जा सकता है , बिना किसी पुजारी के, या संभाव्यता के लिए व्यक्तिपरक बायेसियन व्याख्या ।

यदि आप पूछते हैं "डेटाबेस इंजीनियर की नौकरी पाने की संभावना क्या है कि आप एक महिला हैं?", या "क्या संभावना है कि आपके पास एचआईवी है जो पश्चिमी धब्बा परीक्षण सकारात्मक था?", तो आप सशर्त के बारे में पूछते हैं संभावनाओं। तार्किक प्रतिगमन मॉडल सशर्त संभावना, आदि।

यह भी देखें कि बायेसियन बनाम अक्सरवादी बहस के लिए कोई * गणितीय * आधार है? और बायेसियन बनाम प्रायिकता की व्याख्याएं

— टिम
स्रोत

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क्या हम कम गर्म बटन के उदाहरण का उपयोग कर सकते हैं? "उदाहरण के लिए एक इंजीनियर जो 5'6 से कम है" में चलने की संभावना।

— JFA

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@ जेएफए मुझे उदाहरण के साथ कोई समस्या नहीं दिखती है, कम से कम यह आपको एक विचार देता है अगर कंडीशनिंग यहां समझ में आता है।

— टिम

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बार-बार विधियां सशर्त संभावनाओं का भी उपयोग करती हैं। एक पी-मूल्य एक सशर्त संभावना है। एकमात्र मुद्दा यह है कि यह बहुत ~~उपयोगी या~~ सहज सशर्त संभावना नहीं है। यदि हम एक सहसंबंध गुणांक की गणना करते हैं और हमारी मशीन "पी = .03" कहती है, तो यह वास्तव में क्या कह रहा है:

$p(D^*|H_0) = .03$

कहाँ पे $D^*$ अवलोकन किए गए डेटा या अधिक चरम डेटा (यानी, डेटा जो मनाया परिणाम या उसी दिशा में अधिक मजबूत होता है) को संदर्भित करता है और $H_0$ शून्य परिकल्पना है (और इसके साथ जाने वाली सभी धारणाएं)।

अशक्त परिकल्पना पर वातानुकूलित, संभावना हम अपने डेटा या अधिक चरम डेटा का निरीक्षण करते हैं .03। यह एक सशर्त संभावना है जो बेयस प्रमेय के पूरी तरह अनुपस्थित है। यह सिर्फ मेरी राय में, आमतौर पर उतना उपयोगी नहीं है (जब तक कि आप वास्तव में किसी कारण या किसी अन्य के लिए इस संभावना को प्राप्त करने की कोशिश नहीं कर रहे हैं)।

— सफेद निशान
स्रोत

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मुझे लगता है कि "सहज नहीं" एक निष्पक्ष आलोचना है, लेकिन "उपयोगी नहीं" थोड़ा दूर है। पी-वैल्यू की आलोचना सभी अच्छी तरह से और अच्छी है, लेकिन उन्हें सावधान वैज्ञानिकों द्वारा अच्छे उपयोग के लिए रखा जा सकता है।

— मैथ्यू ड्र्यू

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@ मैथ्यू ड्यूर्री यह उचित है; मैं अपनी भाषा से बहुत मजबूत था। मेरे पास एक प्रकाशन रिकॉर्ड है जो पी-मानों से बना हुआ है, इसलिए मुझे लगता है कि मुझे सहमत होना होगा। हालांकि, कोई यह तर्क दे सकता है कि पी-वैल्यू इंट्रेंस केवल उपयोगी इंसोफर है क्योंकि यह बायेसियन पोस्टीरियर कवरेज शून्य का अनुमान लगाता है, न कि प्रति सेवेंशन।

— मार्क व्हाइट

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याह, मैं मानता हूँ कि वहाँ एक उचित तर्क दिया जाना है। मैं सिर्फ यह चाहता हूं कि हम अपने जवाबों में हमारी बर्खास्तगी के बारे में सावधान रहें, इसके लिए योग्यता प्राप्त करना महत्वपूर्ण है।

— मैथ्यू Drury

@MatthewDrury +1 सहमत और अच्छी बात है

— मार्क व्हाइट

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मुझे नहीं लगता कि यह कहना उचित है कि सशर्त संभावनाएं बायेसियनवाद के लिए अद्वितीय हैं।

(सिद्धांत विशेषज्ञों को मापें, कृपया मुझे सुधारने के लिए स्वतंत्र महसूस करें।)

एक तरह से आप एक सशर्त संभावना देख सकते हैं - विशेषकर जब आपके पास समान रूप से परिणाम होने की संभावना हो - एक सबसेट पर आपकी संभाव्यता गणना को आधार बना रहा है। $\Omega^{\prime} \subset \Omega$ , कहाँ पे $\Omega$ नमूना स्थान है।

उदाहरण के लिए, एकत्रित किए गए कुछ काल्पनिक डेटा पर विचार करें (NB: हमारे पास सर्वेक्षण में कोई "पूर्व" जानकारी नहीं है):

\begin{array}{lcc} Male & Female \\ Owns a TV & 75 & 72 \\ Does not own a TV & 25 & 28 \end{array}

$\begin{array}{|l|c|c|} \hline & \text{Male} & \text{Female} \\ \hline \text{Owns a TV} & 75 & 72 \\ \text{Does not own a TV} & 25 & 28 \\ \hline \end{array}$ मान लेते हैं कि ऊपर सर्वेक्षण किए गए किसी भी व्यक्ति को चुनने की संभावना समान रूप से है। नमूना स्थान पर विचार करें

Ω

$\Omega$ सभी लोगों ने सर्वेक्षण किया और जाने दिया

P : A \to [0, 1]

$\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0, 1]$ , कहाँ पे

A

$\mathcal{A}$ एक गैर-खाली है

σ

$\sigma$ के सबसेट का बीजगणित

Ω

$\Omega$ ।

किसी भी घटना के लिए समान रूप से संभावित घटना की परिभाषा के द्वारा $A \in \mathcal{A}$ ,

P (A) = \frac{| A |}{| Ω |}

$\mathbb{P}(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$ कहाँ पे

| \cdot |

$|\cdot|$ कार्डिनलिटी को दर्शाता है।

यदि हम इसमें रुचि रखते हैं, तो कहें, एक टीवी के मालिक होने की संभावना को देखते हुए कि आप एक महिला हैं, दे रही हैं $A$ एक महिला होने की घटना और $B$ टीवी के मालिक होने की घटना के रूप में, हम संभावना की गणना करेंगे

\frac{| A \cap B |}{| A |}

$\dfrac{|A \cap B|}{|A|}$ और हम इलाज कर रहे हैं

A

$A$ हमारे नए नमूना स्थान के रूप में

Ω^{'} = A

$\Omega^{\prime} = A$ । लेकिन गौर करें कि हम लिख सकते हैं

\frac{| A \cap B |}{| A |} = \frac{| A \cap B | / | Ω |}{| A | / | Ω |} = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

$\dfrac{|A \cap B|}{|A|} = \dfrac{|A \cap B|/|\Omega|}{|A|/|\Omega|} = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}$ यह ठीक सशर्त संभाव्यता की परिभाषा है, और बेयस प्रमेय का उपयोग नहीं करता है। हम जो कुछ कर रहे हैं वह हमारे नमूना स्थान को प्रतिबंधित कर रहा है।

— बाजा बजानेवाला
स्रोत

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मुझे इस विशेष पार्टी में थोड़ी देर हो गई है, लेकिन मुझे लगा कि मैं यहां अन्य उत्कृष्ट उत्तरों के लिए एक अधिक दार्शनिक उत्तर जोड़ूंगा, अगर यह भविष्य के खोजकर्ताओं के लिए सहायक हो सकता है।

यदि आप एक काल्पनिक अक्सरवादी हैं, तो सशर्त संभाव्यता की परिभाषा विभाजन के लिए सीमा कानून से होती है। स्पष्ट रूप से, बताए $f_N (A \land E)$ समय की संख्या हो $A\land E$ में सच है $N$ परीक्षण और चलो $f_N (E)$ समय की संख्या हो $E$ में सच है $N$ परीक्षणों। हम परिभाषित करते हैं

p (A \land E) := lim_{N \to \infty} \frac{f_{N} (A \land E)}{N}

$p(A\land E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{N}$ तथा

p (E) := lim_{N \to \infty} \frac{f_{N} (E)}{N}

$p (E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (E)}{ N}$ अंत में, चलो

p (A | E)

$p(A | E )$ जब समय का अंश हो

E

$E$ यह सच है

A

$A$ यह भी सत्य है, अनंत सीमा में:

p (A | E) := lim_{N \to \infty} \frac{f_{N} (A \land E)}{f_{N} (E)}

$p (A | E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{f_N (E)}$ मान

p (E)

$p(E)$ गैर शून्य है, हमारे पास है

p (A | E) = lim_{N \to \infty} \frac{f_{N} (A \land E) / N}{f_{N} (E) / N} = \frac{lim_{N \to \infty} f_{N} (A \land E) / N}{lim_{N \to \infty} f_{N} (E) / N} = \frac{p (A \land E)}{p (E)} .

$p (A | E) = \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)/ N}{f_N (E)/N} = \frac{\lim_{N\to \infty} f_N (A\land E) / N}{\lim_{N\to \infty} f_N (E)/ N } = \frac{p(A\land E)}{p(E)}.$

— supergeneric
स्रोत