अगर मैं एक यादृच्छिक सममित मैट्रिक्स उत्पन्न करता हूं, तो यह सकारात्मक निश्चित मौका क्या है?

मुझे एक अजीब सवाल मिला जब मैं कुछ उत्तल अनुकूलन का प्रयोग कर रहा था। प्रश्न है:

मान लें कि मैं अनियमित रूप से (मानक सामान्य वितरण कहता हूं) एक सममित मैट्रिक्स उत्पन्न करता है, (उदाहरण के लिए, मैं ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स उत्पन्न करता हूं, और यह सुनिश्चित करने के लिए नीचे आधा भरें कि यह सममित है), यह एक सकारात्मक निश्चित अवसर क्या है मैट्रिक्स? वहाँ वैसे भी संभावना की गणना करने के लिए है? $N \times N$

— हतौ दू
स्रोत

अनुकरण की कोशिश करें ...

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen धन्यवाद, लेकिन मैं सोच रहा हूं कि सभी eigenvalues का मौका 0. से बड़ा है या क्या हम संभवतः इसे विश्लेषणात्मक रूप से भी कर सकते हैं।

— हायतौ डू

इसका उत्तर इस बात पर निर्भर करता है कि आप मैट्रिक्स कैसे बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक ही रास्ता उत्पन्न कुछ वितरण के अनुसार वास्तविक eigenvalues और फिर एक यादृच्छिक orthogonal मैट्रिक्स द्वारा कि विकर्ण मैट्रिक्स conjugates। परिणाम सकारात्मक होगा यदि और केवल अगर वे सभी प्रतिध्वनि सकारात्मक हैं। यदि आप शून्य के बारे में एक वितरण सममित के अनुसार स्वतंत्र रूप से आइजनवेल्यूज उत्पन्न करने के लिए थे , तो यह मौका स्पष्ट रूप से अधिकतम

। एक पीडी मैट्रिक्स उत्पन्न करने के लिए, फिर, अपने eigenvalues को अच्छी तरह से चुनें! (त्वरित काम के लिए, मैं मल्टीवेरिएट सामान्य डेटा के सहप्रसरण रूप में इस तरह मैट्रिक्स पैदा करते हैं।)

n

$n$

2^{- n}

$2^{-n}$

— whuber

पूछे गए प्रश्न का उत्तर नहीं है, लेकिन ध्यान दें कि यदि पहले प्रत्येक एंट्री के साथ एक मैट्रिक्स

अनुकरण करें जो सामान्य है और

के समान आयाम हैं , तो

प्रायिकता 1 के साथ सममित और सकारात्मक निश्चित है।

L

$L$

N

$N$

N = L L^{T}

$N = LL^T$

— Cliff AB

अपने मैट्रिक्स मानक सामान्य आईआईडी प्रविष्टियों से तैयार कर रहे हैं, सकारात्मक-निश्चित किया जा रहा है की संभावना लगभग है $p_N\approx 3^{-N^2/4}$ , तो उदाहरण के लिए अगर $N=5$ , मौका 1/1000 है, और काफी नीचे चला जाता है उसके बाद उपवास करें। आप इस प्रश्न की विस्तारित चर्चा यहाँ पा सकते हैं ।

आप इस उत्तर को कुछ हद तक स्वीकार कर सकते हैं कि आपके मैट्रिक्स का आइगेनव्यू वितरण लगभग विग्नर अर्धवृत्त होगा , जो शून्य के बारे में सममित है। Eigenvalues सभी स्वतंत्र थे, तो आप एक होगा $(1/2)^N$ सकारात्मक-निश्चितता के इस तर्क के आधार मौका। वास्तव में आपको $N^2$ व्यवहार मिलता है, दोनों के कारण eigenvalues के बीच सहसंबंध और विशेष रूप से सबसे छोटे और सबसे बड़े eigenvalues के बड़े विचलन को नियंत्रित करने वाले कानून। विशेष रूप से, यादृच्छिक eigenvalues चार्ज कणों के बहुत अधिक हैं, और एक-दूसरे के करीब रहना पसंद नहीं करते हैं, इसलिए वे एक-दूसरे को पीछे हटाते हैं (चार्ज कणों के समान संभावित क्षेत्र के साथ अजीब रूप से, $\propto 1/r$ , जहां $r$ आसन्न eigenvalues के बीच की दूरी है)। उन सभी से पूछना सकारात्मक होगा इसलिए बहुत लंबा अनुरोध होगा।

इसके अलावा, यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में सार्वभौमिकता कानूनों के कारण, मुझे दृढ़ता से संदेह है कि उपरोक्त संभाव्यता $p_N$ संभवतः अनिवार्य रूप से किसी भी "उचित" यादृच्छिक मैट्रिक्स के लिए समान होगी, जिसमें आईआईडी प्रविष्टियां होती हैं जिनमें परिमित माध्य और मानक विचलन होता है।

— एलेक्स आर।
स्रोत

यह जानकर अच्छा लगता है कि यह बहुत कम है। इसलिए मैं भविष्य में एसपीडी मैट्रिक्स बनाने के लिए अस्वीकृति नमूने का उपयोग नहीं करूंगा।

— हायतौ डू

@ hxd1011: यदि आप SPD मैट्रिसेस को सैंपल देने की कोशिश कर रहे हैं, तो मैं ऊपर दिए गए कमेंट्स में बताए गए तरीके का सुझाव देता हूं। इसके अलावा, यह चोल्स्की डिकम्पोजिशन

— क्लिफ एबी

A^{'} A

$A'A$

2 \times 2

$2 \times 2$