क्या यह संभव है कि एक ही वितरण परिवार के दो रैंडम वेरिएबल्स में एक ही अपेक्षा और भिन्नता हो, लेकिन अलग-अलग उच्च क्षण?

Question

मैं स्थान-स्तरीय परिवार के अर्थ के बारे में सोच रहा था। मेरी समझ यह है कि स्थान और स्केल के मापदंडों वाले परिवार के हर सदस्य के लिए , फिर का वितरण किसी भी पैरामीटर पर निर्भर नहीं करता है और यह उस परिवार से संबंधित प्रत्येक लिए समान है।ए बी जेड = ( एक्स - ए ) / बी $X$$a$$b$$Z =(X-a)/b$$X$

तो मेरा सवाल यह है कि क्या आप एक उदाहरण प्रदान कर सकते हैं जहां एक ही वितरण परिवार से दो यादृच्छिक मानकीकृत हैं, लेकिन एक ही वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर में परिणाम नहीं है?

कहते हैं कि और एक ही वितरण परिवार से आते हैं (जहाँ परिवार के साथ मेरा मतलब सामान्य या गामा दोनों से है और इसलिए ..)। निर्धारित करें:$X$$Y$

$Z_1 = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$

$Z_2 = \dfrac{Y-\mu}{\sigma}$

हम जानते हैं कि और दोनों की एक ही अपेक्षा और भिन्नता है, ।Z 2 μ जेड = 0 , σ 2 जेड = $Z_1$$Z_2$$\mu_Z =0, \sigma^2_Z =1$

लेकिन क्या उनके अलग-अलग पल हो सकते हैं?

इस प्रश्न का उत्तर देने का मेरा प्रयास यह है कि यदि और का वितरण 2 से अधिक मापदंडों पर निर्भर करता है, तो यह हो सकता है। और मैं सामान्यीकृत बारे में सोच रहा हूं जिसमें 3 पैरामीटर हैं।वाई टी - एस टी यू डी ई एन $X$$Y$$t-student$

लेकिन अगर मापदंडों की संख्या और और समान वितरण परिवार से समान अपेक्षा और भिन्नता के साथ आते हैं, तो क्या इसका मतलब है कि और का समान वितरण (उच्च क्षण) है?X Y Z 1 Z $\le2$$X$$Y$$Z_1$$Z_2$

Comments

हा वो कर सकते है। लेकिन, सामान्यीकृत वितरण में आपको कम से कम 3 मापदंडों की आवश्यकता होगी।

— कार्ल

@ कार्ल एक पैरामीटर पर्याप्त होगा।

— whuber

@ कार्ल यह स्पष्ट नहीं है कि आपके "समान वितरण" से क्या मतलब है। शाब्दिक रूप से, यह एक कानून के साथ एक अद्वितीय वितरण का उल्लेख करता है, और इसलिए एक अद्वितीय अपेक्षा, अद्वितीय भिन्नता और अद्वितीय क्षण (वे जिस सीमा तक परिभाषित हैं)। यदि आपका मतलब "समान वितरण परिवार " है, तो आपकी टिप्पणी निरर्थक है, क्योंकि परिवार वह है जो आप इसे परिभाषित करते हैं।

— whuber

@ हर्डकोर चूंकि ऐसा लगता है कि आपको लगता है कि आपके प्रश्न का उत्तर दिया जा चुका है, कृपया देखें कि जब कोई मेरे प्रश्न का उत्तर दे तो मुझे क्या करना चाहिए?

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@ कार्ल मैंने आपका जवाब भी दिया। ओपी का उपयोग परिवार में एक्स के सभी विकल्पों के लिए समान मानक वितरण के रूप में की धारणा का समर्थन करता है । देखते हैं कि ओपी कौन सा उत्तर स्वीकार करता है (यदि ओपी कभी ग्लेन_ब की टिप्पणी और उस पर कार्य करता है)। $Z=(X-a)/b$$X$

— दिलीप सरवटे

Answer 1

स्पष्ट रूप से कुछ भ्रम है कि वितरण का एक परिवार क्या है और मुफ्त मापदंडों को कैसे मुक्त बनाम निर्धारित (असाइन किए गए) मापदंडों को गिनना है। वे प्रश्न एक तरफ हैं जो ओपी के इरादे और इस उत्तर के संबंध में असंबंधित हैं। मैं यहाँ परिवार शब्द का उपयोग नहीं करता क्योंकि यह भ्रामक है। उदाहरण के लिए, एक स्रोत के अनुसार एक परिवार आकार पैरामीटर को अलग करने का परिणाम है। @whuber बताता है कि एक परिवार का "पैरामीटराइजेशन" into n के सबसेट से एक निरंतर मानचित्र है , इसकी सामान्य टोपोलॉजी के साथ, वितरण के स्थान में, जिसकी छवि उस परिवार की है। मैं शब्द रूप का उपयोग करूंगा जो शब्द के दोनों इच्छित उपयोग को कवर करता है$^n$ परिवार और पैरामीटर की पहचान और गिनती। उदाहरण के लिए सूत्र$x^2-2x+4$ है प्रपत्र एक द्विघात सूत्र की, यानी,$a_2x^2+a_1x+a_0$ और अगर$a_1=0$ सूत्र द्विघात फार्म की अब भी है। हालाँकि, जब$a_2=0$सूत्र लीनियर है और एक द्विघात आकार शब्द को समाहित करने के लिए फॉर्म अब पर्याप्त नहीं है। जो लोग एक उचित सांख्यिकीय संदर्भ में परिवार शब्द का उपयोग करना चाहते हैं, उन्हें उस अलग प्रश्न में योगदान करने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है ।

आइए इस प्रश्न का उत्तर दें "क्या उनके अलग-अलग उच्च क्षण हो सकते हैं?"। ऐसे कई उदाहरण हैं। हम इस बात पर ध्यान देते हैं कि यह प्रश्न सममित पीडीएफ के बारे में प्रतीत होता है, जो कि सरल द्वि-पैरामीटर मामले में स्थान और पैमाना है। तर्क: मान लीजिए कि अलग-अलग आकृतियों के साथ दो घनत्व कार्य हैं जिनमें दो समान (स्थान, स्केल) पैरामीटर हैं। फिर या तो एक आकार पैरामीटर होता है जो आकार को समायोजित करता है, या, घनत्व कार्यों का कोई सामान्य आकार पैरामीटर नहीं होता है और इस प्रकार बिना किसी सामान्य रूप के घनत्व कार्य होते हैं।

यहाँ, इसका एक उदाहरण है कि आकृति पैरामीटर इसमें कैसे आरेखित करता है। सामान्यीकृत त्रुटि घनत्व समारोह और यहाँ , एक जवाब एक स्वतंत्र रूप से चयन कुकुदता के लिए प्रकट होता है।

Skbkekas द्वारा - खुद का काम, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6057753

पीडीएफ (उर्फ "संभावना" घनत्व समारोह, ध्यान दें कि शब्द "संभावना" ज़रूरत से ज़्यादा है)

$$\dfrac{\beta}{2\alpha\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)} \; e^{-\Big(\dfrac{|x-\mu|}{\alpha}\Big)^\beta}$$

मतलब और स्थान है $\mu$ पैमाने पर है, $\alpha$ , और $\beta$ आकार है। ध्यान दें कि सममित पीडीएफ को प्रस्तुत करना आसान है, क्योंकि उन पीडीएफ में अक्सर सबसे सरल दो पैरामीटर मामलों के रूप में स्थान और पैमाने होते हैं जबकि असममित पीडीएफ, गामा पीडीएफ की तरह , आकार और पैमाने उनके सरलतम मामले मापदंडों के रूप में होते हैं। त्रुटि घनत्व समारोह के साथ सतत, विचरण है $\dfrac{\alpha^2\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}$, तिरछापन है$0$, और कुकुदता है$\dfrac{\Gamma\Big(\dfrac{5}{\beta}\Big)\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)^2}-3$। इस प्रकार, यदि हम विचरण सेट 1 हो सकता है, तो हम के मूल्य निर्दिष्ट$\alpha$से$\alpha ^2=\dfrac{\Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}{\Gamma \left(\dfrac{3}{\beta }\right)}$, जबकि अलग$\beta>0$, ताकि कुकुदता से रेंज में चयन है$-0.601114$को$\infty$।

यही है, अगर हम उच्च क्रम के क्षणों को अलग करना चाहते हैं, और यदि हम शून्य और 1 के विचरण को बनाए रखना चाहते हैं, तो हमें आकृति को बदलने की आवश्यकता है। यह तीन मापदंडों का तात्पर्य है, जो सामान्य रूप से 1) स्थान का मतलब या अन्यथा उचित माप है, 2) परिवर्तन या परिवर्तनशीलता के अन्य माप को समायोजित करने के लिए पैमाने, और 3) आकार। आईटी कम से कम तीन PARAMETERS इसे करने के लिए ले जाता है।

ध्यान दें कि हम करते हैं प्रतिस्थापन $\beta=2$ , $\alpha=\sqrt{2}\sigma$ऊपर पीडीएफ, हम प्राप्त में

$$\frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma }\;,$$

जो एक सामान्य वितरण घनत्व घनत्व है। इस प्रकार, सामान्यीकृत त्रुटि घनत्व फ़ंक्शन सामान्य वितरण घनत्व घनत्व का एक सामान्यीकरण है। सामान्य वितरण घनत्व घनत्व को सामान्य करने के कई तरीके हैं। एक अन्य उदाहरण है, लेकिन सामान्य वितरण के रूप में ही घनत्व समारोह एक सीमित मूल्य, और सामान्यीकृत त्रुटि घनत्व समारोह की तरह मध्य दूरी प्रतिस्थापन मूल्यों के साथ नहीं के साथ, विद्यार्थी का है $-t$ के घनत्व समारोह। विद्यार्थी का उपयोग करना $-t$ घनत्व समारोह, हम कुकुदता की एक नहीं बल्कि अधिक सीमित चयन है, और $\textit{df}\geq2$ क्योंकि दूसरे पल के लिए मौजूद नहीं है आकार पैरामीटर है $\textit{df}<2$। इसके अलावा, df वास्तव में सकारात्मक पूर्णांक मूल्यों तक सीमित नहीं है, उस में सामान्य असली है $\geq1$ । विद्यार्थी का $-t$ के रूप में ही सीमा में सामान्य हो जाता है $\textit{df}\rightarrow\infty$ है, जिसके कारण मैं एक उदाहरण के रूप में यह नहीं चुना था,। यह न तो एक अच्छा उदाहरण है और न ही यह एक काउंटर उदाहरण है, और इसमें मैं @ शीआन और @ व्हीबर से असहमत हूं।

इसके बारे में आगे बताऊंगा। एक दो मापदंडों के कई मनमाना घनत्व कार्यों में से दो का चयन कर सकता है, उदाहरण के लिए, शून्य का मतलब और एक का विचरण। हालांकि, वे सभी एक ही रूप के नहीं होंगे। हालाँकि, यह सवाल समान रूपों के घनत्व कार्यों से संबंधित है, विभिन्न रूपों में नहीं। यह दावा किया गया है कि किस घनत्व के कार्य का एक ही रूप है एक मनमाना असाइनमेंट क्योंकि यह परिभाषा का विषय है, और इसमें मेरी राय अलग है। मैं इस बात से सहमत नहीं हूं कि यह मनमाना है क्योंकि कोई एक घनत्व फ़ंक्शन को दूसरे में बदलने के लिए प्रतिस्थापन बना सकता है, या कोई नहीं कर सकता है। पहले मामले में, घनत्व फ़ंक्शन समान हैं, और यदि प्रतिस्थापन द्वारा हम दिखा सकते हैं कि घनत्व फ़ंक्शन समान नहीं हैं, तो उन घनत्व फ़ंक्शन अलग-अलग रूप के हैं।

इस प्रकार, छात्र के उदाहरण का उपयोग $-t$ पीडीएफ, विकल्प या तो यह एक सामान्य पीडीएफ का सामान्यीकरण, जिस स्थिति में एक सामान्य पीडीएफ एक विद्यार्थी का के लिए एक स्वीकार्य रूप है होना करने के लिए विचार करने के लिए कर रहे हैं $-t$ की पीडीएफ, या नहीं, जिस स्थिति में विद्यार्थी का $-t$ की पीडीएफ सामान्य पीडीएफ से एक अलग रूप की है और इस तरह सवाल उठाया के लिए अप्रासंगिक है ।

हम इस पर कई तरह से बहस कर सकते हैं। मेरी राय यह है कि एक सामान्य पीडीएफ एक छात्र के $-t$ पीडीएफ का एक उप-चयनित रूप है , लेकिन यह कि एक सामान्य पीडीएफ एक गामा पीडीएफ का एक उप-चयन नहीं है, भले ही एक गामा पीडीएफ का सीमित मूल्य दिखाया जा सकता है एक सामान्य पीडीएफ हो, और, इस के लिए मेरे कारण यह है कि सामान्य / छात्र 'में है $-t$ मामले, समर्थन ही है, लेकिन सामान्य / गामा मामले में समर्थन बनाम अर्द्ध अनंत है, जो आवश्यक असंगति है अनंत है ।

Comments

(-1) जैसा कि अन्य टिप्पणियों में कहा गया है, मुद्दा "वितरण परिवार का क्या अर्थ है?"। मैं आसानी से वितरण के एक नए "परिवार" को परिभाषित कर सकता हूं जो कि केवल एकल पैरामीटर के साथ मतलब = 0, sd = 1 होने के लिए टी-वितरण को पुन: वितरित कर रहे हैं। फिर 1 और 2 पल सभी डीएफ के लिए समान हैं, लेकिन डीएफ के विभिन्न मूल्यों के लिए, उनके पास अलग-अलग उच्च क्षण हैं।

— क्लिफ एबी

हार्ड कोर, यह टिप्पणी थाह मुश्किल है, यह देखते हुए कि आपके शीर्षक में "परिवार" शब्द शामिल है! इसके अलावा, यदि आप इनकार करते हैं कि एक परिवार सार्थक है, तो सवाल कोई मतलब नहीं है। कृपया अपने इरादों को प्रतिबिंबित करने के लिए अपने प्रश्न को संपादित करके स्पष्ट करें।

— whuber

-1 क्योंकि आप "उत्तर नहीं है।" और फिर एक उदाहरण देने के लिए आगे बढ़ें जो प्रभावी रूप से उत्तर देता है हां (एक अन्य उदाहरण kjetilbhalvorsen के उत्तर में दिया गया है कि आप अनुकूल रूप से)। इससे मुझे कोई मतलब नहीं है। मुझे लगता है कि यहां का गणित हम सभी के लिए स्पष्ट है, इसलिए मेरा पतन प्रस्तुति में निरंतरता की कमी के लिए ही है।

— अमीबा

कार्ल, सवाल और हार्ड कोर की टिप्पणियों के बीच एक असंगत असंगतता है। प्रश्न स्पष्ट है: "एक उदाहरण प्रदान करने के लिए जहां एक ही वितरण परिवार से दो यादृच्छिक [चर] मानकीकृत हैं, लेकिन इसके परिणामस्वरूप समान वितरण के साथ ... यादृच्छिक चर [s] नहीं होता है।" जाहिर है "परिवार" का कुछ अर्थ है। सामान्य अर्थ स्पष्ट है, आसपास विभिन्न तकनीकी वेरिएंट होने के बावजूद, और (आसानी से प्रदर्शित) सही उत्तर "हां, ऐसे कई उदाहरण हैं।"

— whuber

धन्यवाद। स्पष्ट रूप से आपके पास इस बारे में एक अच्छी धारणा है कि आप किस बारे में लिख रहे हैं, लेकिन दुर्भाग्यवश आपकी पोस्ट "वितरण," "आकार," "फ़ॉर्म," और "पैरामीटर" के अर्थों के बारे में काफी भ्रम पैदा करती है। सूक्ष्मताओं के एक उदाहरण के रूप में, किसी भी वितरण कानून द्वारा निर्मित वितरणों के एक परिवार पर विचार करें, जिसमें गैर केंद्रीय तीसरा क्षण है। परिवार दो वास्तविक संख्या द्वारा अनुक्रमित ( μ , σ ≠ 0 ) और सभी कानूनों के होते हैं एक्स → एफ ( σ x + μ ) । यह एक स्थान पैमाने पर परिवार है, लेकिन इन कानूनों का आकार के हस्ताक्षर के आधार पर भिन्न σ ।$F$$(\mu,\sigma\ne 0)$$x\to F(\sigma x+\mu)$$\sigma$

— whuber

Answer 2

यदि आप एक उदाहरण चाहते हैं, जो "आधिकारिक तौर पर नामित डिस्ट्रीब्यूटेड डिस्ट्रीब्यूटेड फैमिली है, तो आप सामान्यीकृत गामा डिस्ट्रीब्यूशन, https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_gamma_distribution में देख सकते हैं । इस डिस्ट्रीब्यूशन फैमिली के तीन पैरामीटर हैं, इसलिए आप इसका मतलब ठीक कर सकते हैं। और विचरण और अभी भी अलग-अलग क्षणों को अलग-अलग करने की स्वतंत्रता है। विकी पृष्ठ से, बीजगणित आमंत्रित नहीं दिखता है, मैं इसे संख्यात्मक रूप से करना चाहूंगा। सांख्यिकीय अनुप्रयोगों के लिए, इस साइट को गेमल्स के लिए खोजें, जो गम (सामान्यीकृत योजक) का विस्तार है। मॉडल, अपने आप में glm के सामान्यीकरण के) जिसमें "स्थान, पैमाने और आकार" के पैरामीटर हैं।

एक अन्य उदाहरण $t$ -distributions है, जिसे एक स्थान-स्तरीय परिवार के रूप में विस्तारित किया गया है। फिर तीसरा पैरामीटर स्वतंत्रता की डिग्री होगी, जो एक निश्चित स्थान और पैमाने के लिए आकार से अलग होगा।

Comments

यद्यपि सामान्यीकृत त्रुटि वितरण एक बेहतर विकल्प हो सकता है।

— कार्ल

उत्तर देने के लिए आपका धन्यवाद!! मैं कार्ल का चयन करता हूं क्योंकि यह अधिक विस्तृत था लेकिन यह भी ठीक था .. बहुत बहुत धन्यवाद !!!

— gioxc88

Answer 3

, मतलब शून्य और विचरण एक साथ वितरण के एक अनंत संख्या है इसलिए ले ये वितरण में से एक से वितरित, का कहना है कि एन ( 0 , 1 ) , और ε 2 ये वितरण का एक और से, विद्यार्थी का कहना है कि टी 54 डिग्री के साथ आजादी के द्वारा पुनः पैमाना $\epsilon_1$$\mathcal{N}(0,1)$$\epsilon_2$$t$ इसलिए इसकी विचरण एक है, तो यह है कि एक्स=μ+σε$\sqrt\frac{1}{3}$ गुण आप का उल्लेख का आनंद लें। मापदंडों की "संख्या" संपत्ति के लिए अप्रासंगिक है।

$$X=\mu+\sigma\epsilon_1\qquad\text{and}\qquad Y=\mu+\sigma\epsilon_2$$

जाहिर है, यदि आप इस परिवार की परिभाषा के लिए और नियम निर्धारित करते हैं, जैसे कि उदाहरण के लिए कि एक निश्चित घनत्व मौजूद है जैसे कि X का घनत्व $f$$X$आप एक ही संभव वितरण के साथ हो सकता है।

$$\frac{1}{\sigma^d} f(\{x-\mu\}/\sigma)$$

Comments

उत्तर के लिए धन्यवाद, लेकिन मुझे लगता है कि यह वह नहीं है जो मैंने पूछा था

— gvcc88

मुझे लगता है कि ऐसा इसलिए होता है क्योंकि यदि वितरण के परिवार को के वाई और वाई के दोनों वितरणों के पुनर्मिलन द्वारा परिभाषित किया जाता है , तो आपके पास संपत्ति का विरोधाभास है। वितरण का एक "परिवार" काफी अस्पष्ट धारणा है। $X$$Y$

— शीआन

हाँ वास्तव में काफी अस्पष्ट है, लेकिन अगर आप मेरे प्रश्न को पढ़ते हैं तो मैंने लिखा है कि इस संदर्भ में परिवार के साथ मेरा मतलब सामान्य या गामा दोनों से है। आपने एक सामान्य और एक टी छात्र के साथ एक उदाहरण बनाया है

— gioxc88

हार्ड कोर, आप अपनी अवधारणा के साथ एक परिवार के नाम को भ्रमित करते हैं । यह उत्तर ठीक है और अच्छी तरह से अवधारणा को दिखाता है। आपका प्रश्न यह नहीं पूछता कि समाधान एक स्थान-स्तरीय परिवार हो। यदि आपको इसकी आवश्यकता है, तो आप हमेशा इस उत्तर को ले सकते हैं - या कोई अन्य उत्तर - और इसे मनमाने ढंग से अनुवाद और पुनर्जीवन की अनुमति देकर स्थान-स्तरीय परिवार को लम्बा खींच सकते हैं। मापदंडों की संख्या के बारे में शीआन की बात अभी भी रखती है।

— whuber

@ जब भी मुझे लगता है कि यह एक जवाब के रूप में उलझन में है। Student's-टी अपने आप में, एक बेहतर जवाब होगा बल्कि उपयोग की तुलना में के चरम जवाब और यह निर्दिष्ट नहीं। दरअसल, यह d f है जो तीसरा पैरामीटर है। $df=3,\infty$$df$

— कार्ल

Answer 4

मुझे लगता है कि आप पूछ रहे हैं कि क्या एक ही स्थान-स्तरीय परिवार से आने वाले दो यादृच्छिक चर समान माध्य और भिन्न हो सकते हैं, लेकिन कम से कम एक अलग उच्चतर क्षण। जवाब न है।

प्रमाण : और X 2 दो ऐसे यादृच्छिक चर हैं। के बाद से एक्स 1 और एक्स 2 एक ही स्थान पैमाने पर परिवार में हैं, वहाँ एक यादृच्छिक चर मौजूद एक्स और वास्तविक संख्या एक 1$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$$X$ ऐसी है कि एक्स 1 घ = एक 1 एक्स + ख 1 और एक्स 2 डी = एक 2$a_1>0, a_2>0, b_1, b_2$$X_1 \stackrel{d}{=} a_1 X + b_1$ । चूँकि X 1 और X 2 का माध्य और विचरण समान है, हमारे पास:$X_2 \stackrel{d}{=} a_2 X + b_2$$X_1$$X_2$

1. ।$E[X_1] = E[X_2] \implies a_1 E[X] + b_1 = a_2 E[X] + b_2$
2. ।$\operatorname{Var}[X_1] = \operatorname{Var}[X_2] \implies a_1^2 \operatorname{Var}[X] = a_2^2 \operatorname{Var}[X]$

यदि , तो X 1 = E [ X 1 ] = X 2 = E [ X 2 ] प्रायिकता 1 के साथ , और इसलिए X 1 और X 2 के उच्च क्षण सभी समान हैं। तो हम है कि यह मान सकते हैं वार [ एक्स ] ≠ 0 । इसके प्रयोग से, (2) का तात्पर्य है कि | ए 1 | = | एक 2 | । जबसे$\operatorname{Var}[X] = 0$$X_1=E[X_1]=X_2=E[X_2]$$1$$X_1$$X_2$$\operatorname{Var}[X] \neq 0$$|a_1|=|a_2|$ और एक 2 > 0 , हम तथ्य यह है कि में है एक 1 = एक 2 । बदले में, (1) ऊपर का अर्थ है कि b 1 = b 2 । इसलिए हमारे पास यह है: $a_1>0$$a_2>0$$a_1=a_2$$b_1=b_2$ किसी भी k के लिए , अर्थात, X 1 और X 2 के सभी क्षणसमान हैं।

$$E[X_1^k] = E[(a_1X+b_1)^k] = E[(a_2X+b_2)^k] = E[X_2^k],$$ $k$$X_1$$X_2$

Comments

(+1) मुझे इस उत्तर में कोई गलती नहीं मिली। जाहिरा तौर पर कोई करता है, और वे भी मेरी गलती पाते हैं। मैं इस अस्पष्टीकृत व्यवहार को नहीं समझता।

— कार्ल

@ कार्ल यह उत्तर गलत है - इसीलिए इसे अस्वीकृत किया जा रहा है। शीआन ने पहले ही एक पलटवार प्रदान किया है।

— whuber

@whuber कृपया शीआन के जवाब के तहत मेरी टिप्पणियों को देखें। मैं उससे सहमत नहीं हूं, लेकिन नीचे नहीं गया क्योंकि वह और आपकी राय दोनों का अधिकार है, भले ही मैं इसे गलत मानता हूं।

— कार्ल

@ कार्ल इस उत्तर को फिर से पढ़ने के बाद, मुझे अपने मूल मूल्यांकन को वापस लेने की आवश्यकता है: यह उत्तर सही है (और उस के लिए +1), और यह सही है क्योंकि यह स्पष्ट रूप से बताता है कि यह मूल प्रश्न की व्याख्या कैसे कर रहा है। (विशेष रूप से, एक "स्थान-स्केल परिवार" की एक आम अभी तक संकीर्ण अवधारणा है, जिसमें इसके सभी अनुवादों और सकारात्मक rescalings के साथ सिर्फ एक ही मानक वितरण शामिल है।) मेरा मानना ​​है कि मूल प्रश्न का उद्देश्य कुछ अलग से पूछना था; उस विश्वास का आधार पोस्ट में दो से अधिक मापदंडों का संदर्भ है।

— whuber

मुझे खेद है कि अगर मैं बहुत स्पष्ट नहीं हूं और मैं आपको इस पर गौर करने के लिए समय देने के लिए धन्यवाद देता हूं, लेकिन यह वह नहीं है जो मैंने पूछा था।

— gioxc88

Answer 5

चूंकि प्रश्न को मल्टीपाइप तरीके से व्याख्या किया जा सकता है इसलिए मैं इस उत्तर को दो भागों में विभाजित करूंगा।

• एक: वितरण परिवारों।
• बी: स्थान-पैमाने पर वितरण परिवार।

केस ए के साथ समस्या का आकार पैरामीटर के साथ कई परिवारों द्वारा आसानी से उत्तर दिया / प्रदर्शित किया जा सकता है।

मामले बी के साथ समस्या यह एक के बाद से और अधिक कठिन है और एक आधा मानकों (में स्थान स्थान और पैमाने को सिद्ध करने लगते $\mathbb{R}$ में और बड़े पैमाने $\mathbb{R_{>0}}$ ), और समस्या है कि क्या दो पैरामीटर एनकोड (एकाधिक) करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता हो जाता है इसके अलावा आकार। यह इतना तुच्छ नहीं है। हम आसानी से विशिष्ट दो पैरामीटर लोकेशन स्केल परिवारों के साथ आ सकते हैं और प्रदर्शित कर सकते हैं कि आपके पास अलग-अलग आकार नहीं हैं, लेकिन यह इस बात का सबूत नहीं है कि यह किसी भी दो पैरामीटर लोकेशन स्केल परिवार के लिए एक निश्चित नियम है।

एक: एक ही 2 पैरामीटर वितरण परिवार से दो अलग-अलग वितरण का एक ही मतलब और भिन्नता हो सकता है?

इसका उत्तर हां है और यह पहले से ही स्पष्ट रूप से वर्णित उदाहरणों में से एक का उपयोग करके दिखाया जा सकता है: सामान्यीकृत गामा वितरण

सामान्यीकृत गामा वितरण का परिवार

चलो $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$$X$ साथ एक गामा वितरित चर। $Z$ का संचयी (वितरण) निम्नानुसार है:

$$F_Z(z;k) = \begin{cases} 0 & \quad \text{if} & z < -\sqrt{k}\\ \frac{1}{\Gamma(k)} \gamma(k, {z\sqrt{k}+k}) & \quad \text{if} & z \geq -\sqrt{k} \end{cases}$$

जहां $\gamma$ अधूरा गामा कार्य है।

तो यहाँ यह स्पष्ट रूप से मामला अलग है कि $Z_1$ और $Z_2$ (सामान्यीकृत गामा वितरण के परिवार से वितरण) एक ही मतलब और विचरण (अर्थात् हो सकता है $\mu=0$ और$\sigma=1$ ), लेकिन पैरामीटर के आधार पर अलग-अलग हो$k$ (अक्सर निरूपित किया 'आकार' पैरामीटर)। यह इस तथ्य से निकटता से जुड़ा है कि गामा वितरण का परिवार एक स्थान-स्तरीय परिवार नहीं है।

बी: क्या एक ही 2 पैरामीटर स्थान-स्केल वितरण परिवार से दो अलग-अलग वितरण का एक ही मतलब और भिन्नता हो सकता है?

मुझे विश्वास है कि जवाब है नहीं करता है, तो हम केवल परिवारों चिकनी पर विचार (चिकनी: मानकों में एक छोटा सा परिवर्तन वितरण / समारोह / वक्र की एक छोटा सा परिवर्तन में परिणाम होगा)। लेकिन यह उत्तर इतना तुच्छ नहीं है और जब हम अधिक सामान्य (गैर-चिकने) परिवारों का उपयोग करेंगे तब हम हां कह सकते हैं , हालांकि ये परिवार केवल सिद्धांत में मौजूद हैं और इसकी कोई व्यावहारिक प्रासंगिकता नहीं है।

अनुवाद और स्केलिंग द्वारा एकल वितरण से एक स्थान-स्तरीय परिवार बनाना

किसी भी विशेष एकल वितरण से हम अनुवाद और स्केलिंग द्वारा एक स्थान-स्तरीय परिवार उत्पन्न कर सकते हैं। यदि $f(x)$ एकल वितरण की संभाव्यता घनत्व कार्य है, तो परिवार के किसी सदस्य के लिए संभाव्यता घनत्व कार्य होगा

$$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma}f(\frac{x-\mu}{\sigma})$$

एक स्थान-स्तरीय परिवार के लिए जिसे इस तरह से उत्पन्न किया जा सकता है:

• किसी भी दो सदस्यों के लिए $f(x;\mu_1,\sigma_1)$ और $f(x;\mu_2,\sigma_2)$ यदि उनके साधन और प्रसरण, बराबर हैं तो $f(x;\mu_1,\sigma_1) = f(x;\mu_2,\sigma_2)$

क्या सभी सदस्य पैरामीटर-स्केल परिवारों के लिए उनके सदस्य वितरण को अनुवाद और स्केलिंग द्वारा एकल सदस्य वितरण से उत्पन्न किया जा सकता है?

इसलिए अनुवाद और स्केलिंग एकल वितरण को स्थान-स्तरीय परिवार में बदल सकते हैं। सवाल यह है कि रिवर्स सही है है और क्या हर दो पैरामीटर स्थान पैमाने पर परिवार (जहां मानकों $\theta_1$ और $\theta_2$ जरूरी स्थान के साथ मेल खाना करने की जरूरत नहीं $\mu$ और पैमाने$\sigma$ ) एक अनुवाद और एक की स्केलिंग द्वारा वर्णित किया जा सकताउस परिवार सेएकलसदस्य।

सामान्य वितरण के परिवार जैसे विशेष रूप से दो पैरामीटर स्थान-स्तरीय परिवारों के लिए यह दिखाना बहुत मुश्किल नहीं है कि वे ऊपर की प्रक्रिया (एकल उदाहरण के सदस्य के स्केलिंग और अनुवाद) के अनुसार उत्पन्न हो सकते हैं।

किसी को आश्चर्य हो सकता है कि क्या हर दो पैरामीटर स्थान-स्केल परिवार के लिए एक सदस्य से अनुवाद और स्केलिंग द्वारा उत्पन्न किया जाना संभव है । या एक परस्पर विरोधी कथन: "क्या दो पैरामीटर स्थान-स्केल परिवार में एक ही माध्य और विचरण के साथ दो अलग-अलग सदस्य वितरण हो सकते हैं?", जिसके लिए यह आवश्यक होगा कि परिवार कई उप-भाषाओं का एक संघ है जो प्रत्येक अनुवाद द्वारा उत्पन्न होते हैं? स्केलिंग।

केस 1: सामान्यीकृत छात्रों के टी-डिस्ट्रीब्यूशन का परिवार, दो चर द्वारा परिचालित

एक काल्पनिक उदाहरण तब होता है जब हम से कुछ मानचित्रण बनाने के $R^2$ में $R^3$ ( प्रमुखता के- mathbbr और mathbbr2 ) जो स्वतंत्रता का उपयोग करने की अनुमति देता है दो पैरामीटर $\theta_1$ और $\theta_2$ कई उप-परिवारों कि द्वारा उत्पन्न कर रहे का एक संघ का वर्णन करने के अनुवाद और स्केलिंग।

आइए सामान्यीकृत छात्र के टी-वितरण का उपयोग करें (तीन पैरामीटर):

$f(x;\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1 + \frac{1}{\nu} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$

साथ तीन पैरामीटर निम्नलिखित के रूप में बदल गया

$$\begin{array}{rcl} \mu &=& \tan (\theta_1)\\ \sigma &=& \theta_2\\ \nu &=& \lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor \end{array}$$

तो हमारे पास हैं

$f(x;\theta_1,\theta_2) = \frac{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}{2} \right) \sqrt{\pi\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}\theta_2} \left(1 + \frac{1}{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor} \left( \frac{x-\tan(\theta_1)}{\theta_2} \right)^2 \right)^{-\frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor+1}{2}}$

जिसे दो पैरामीटर स्थान-स्केल परिवार माना जा सकता है (यद्यपि बहुत उपयोगी नहीं) जो केवल एक सदस्य के अनुवाद और स्केलिंग द्वारा उत्पन्न नहीं किया जा सकता है।

केस 2: गैर-स्केल तिरछा के साथ एकल वितरण के नकारात्मक स्केलिंग द्वारा उत्पन्न स्थान-स्केल परिवार

इस टैन-फंक्शन का उपयोग करने से कम वंचित उदाहरण, व्हीलर ने कार्ल के जवाब की टिप्पणियों के तहत दिया है। हम एक परिवार हो सकता है $x \mapsto f(x/b + a)$ जहां के हस्ताक्षर flipping $b$ मतलब और विचरण अपरिवर्तित लेकिन संभवतः बदल रहा है असमान उच्च क्षणों रहता है। तो यह दो पैरामीटर स्थान-स्केल वाले परिवार को थोड़ा और आसानी से देता है जहां एक ही माध्य और भिन्नता वाले सदस्य अलग-अलग उच्चतर क्रम के क्षण हो सकते हैं। व्हीबर के इस उदाहरण को दो सबफैमिली में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक को अनुवाद और स्केलिंग द्वारा एकल सदस्य से उत्पन्न किया जा सकता है।

चिकने परिवार

$f:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^3$ , यानी असीम डिफ़्रेंशिएबल।, कार्यों हालांकि देखते हैं ऐसे कार्य जो पीनो कर्व्स जैसे काम करेंगे)।

$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$$\mu$$\sigma$

$$\begin{array}{rcl} \theta_1 &= &f_{\theta_1}(\mu,\sigma) \\ \theta_2 &=& f_{\theta_2}(\mu,\sigma)\end{array}$$

$f_{\theta_1}(\mu,\sigma)$$\mu$$\sigma$

$\theta_1$$\theta_1$$f(x;\theta_1)$$x$

Comments

$x$$f,$$b\ne 1$$f$$\theta$$R^2$$R^3.$"मानचित्र" इन के साथ समस्या "वे निरंतर नहीं किया जा सकता और कोई सांख्यिकीय अर्थ होगा।

— whuber

$R^2\to R^3$$\theta$$\theta$

दूसरी गोली गलत है: यह न तो किसी धारणा से चलती है और न ही यह किसी स्थान-स्तरीय परिवार की परिभाषा का हिस्सा है।

— whuber

$\theta_i$$\theta_i$$x \to F(bx + a)$$F$$(a,b)\in\mathbb{R}^2$$b\gt 0$$F$

$\mu$$\sigma$$\theta_1$$\theta_2$$\mu$$\sigma$