यादृच्छिक चर द्वारा उत्पन्न

Question

अक्सर, मेरे (स्व-) आँकड़ों के अध्ययन के दौरान, मैं शब्दावली से मिला हूँ " -algebra एक यादृच्छिक चर द्वारा उत्पन्न"। मुझे विकिपीडिया पर परिभाषा समझ में नहीं आती है , लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि मुझे इसके पीछे अंतर्ज्ञान नहीं मिलता है। क्यों / कब हमें को यादृच्छिक चर द्वारा उत्पन्न करने की आवश्यकता है ? उनका अर्थ क्या है? मुझे निम्नलिखित पता है:$\sigma$$\sigma-$

• एक -algebra एक सेट पर के सबसेट के एक अरिक्त संग्रह है जिसमें , पूरक के तहत और गणनीय संघ के तहत बंद कर दिया है।$\sigma$$\Omega$$\Omega$$\Omega$
• हम अनंत नमूना स्थानों पर प्रायिकता रिक्त स्थान बनाने के लिए $\sigma$ -algebras का परिचय देते हैं । विशेष रूप से, अगर $\Omega$ बेशुमार अनंत है, तो हम जानते हैं कि अचूक उपसमुच्चय मौजूद हो सकते हैं (वे सेट जिनके लिए हम संभाव्यता को परिभाषित नहीं कर सकते हैं)। इस प्रकार, हम सिर्फ घटनाओं / गणित {F} के हमारे सेट के रूप में $\Omega$ \ mathcal {P} (\ Omega) के पावर सेट का उपयोग नहीं कर सकते । हमें एक छोटे से सेट की आवश्यकता है, जो अभी भी काफी बड़ा है ताकि हम दिलचस्प घटनाओं की संभावना को परिभाषित कर सकें, और हम यादृच्छिक चर के अनुक्रम के अभिसरण के बारे में बात कर सकते हैं।$\mathcal{P}(\Omega)$$\mathcal{F}$

संक्षेप में, मुझे लगता है कि मुझे अल्जेब्रा की निष्पक्ष समझ है। मैं यादृच्छिक चर द्वारा उत्पन्न the बीजगणित के लिए एक समान समझ रखना चाहूंगा : परिभाषा, हमें उनकी आवश्यकता क्यों है, अंतर्ज्ञान, एक उदाहरण ...σ $\sigma-$$\sigma-$

Comments

एक प्रभावी (और intuitively सार्थक) लक्षण वर्णन है कि इस पर काफी मोटा सिग्मा-बीजगणित है कि यादृच्छिक चर औसत दर्जे का बना देता है। $\Omega$

— whuber

@ व्हाइटर कोस्टरेस्ट का अर्थ है सबसे छोटा? दूसरे शब्दों में, मैं अपने संभावना जगह है , मैं एक आर.वी. है एक्स : Ω → आर (जो यादृच्छिक चर की परिभाषा द्वारा मापा जा सकता है), और σ के सबसे छोटे सबसेट है एफ ऐसी है कि एक्स अब भी है औसत दर्जे का। ठीक है, लेकिन यह है कि क्या यह सहज मतलब यह है कि के सवाल भीख माँगता एक्स औसत दर्जे का है :-) यह कहना अर्थ है कि हम एक तरह से सभी घटनाओं की संभावना परिभाषित कर सकते हैं बनाना होगा एक < एक्स < b और यूनियनों / चौराहों? $(\Omega,\mathcal{F},P)$$X:\Omega\to\mathcal{R}$$\sigma$$\mathcal{F}$$X$$X$$a\lt X \lt b$

— डेल्टा एनवी

एक समय में एक एकल को देखने से मापने योग्यता के संबंध में थोड़ा अंतर्ज्ञान होता है। जब आप यादृच्छिक चर - स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के संग्रह का अध्ययन करते हैं तो यह अवधारणा अपने आप आती ​​है। बदले में, सबसे सरल स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं (जैसे कि परिमित असतत द्विपद यादृच्छिक चालें) एक व्याख्यात्मक सेटिंग प्रदान करती हैं जिसमें सभी चर एक्स 0 , एक्स 1 , … , एक्स टी द्वारा उत्पन्न सिग्मा-बीजगणित के बारे में सोचा जा सकता है , “उपलब्ध जानकारी के रूप में। , (सहित) समय टी । " $X$$X_0, X_1, \ldots, X_t$$t$

— whuber

माफ करना, मुझे समझ नहीं आ रहा है :) मैं सराहना करूँगा यदि आप मुझे आपके किसी अन्य उत्तर की ओर संकेत कर सकते हैं जहाँ आप अधिक विस्तार से जाते हैं, या यदि आप उत्तर के रूप में इसका विस्तार करना चाहते हैं। अन्यथा चिंता न करें - हो सकता है कि मैं अपनी बात रखने के लिए स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के बारे में पर्याप्त नहीं जानता। पूरी तरह से..मुझे अपने डायनेमिक बायेसियन नेटवर्क कौशल को सुधारने की आवश्यकता है, इसलिए यदि यह अंतर्ज्ञान समय श्रृंखला पर काम करने में मदद करता है, तो मुझे काफी दिलचस्पी होगी।

— डेल्टावीवी

देखें stats.stackexchange.com/a/123754/919 । साथ ही उपयोगी भी हो सकते हैं आँकड़े ।stackexchange.com/a/164995/ 919 और ysts.stackexchange.com/a/74339/919 ।

— whuber

Answer 1

एक यादृच्छिक चर $X$ पर विचार करें । हम जानते हैं कि $X$ के अलावा कुछ नहीं से एक औसत दर्जे का समारोह है $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ में $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ है, जहां $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ वास्तविक रेखा के बोरेल सेट कर रहे हैं। मापनीयता की परिभाषा से हम जानते हैं कि हमारे पास है

$$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$$

लेकिन व्यवहार में बोरेल सेटों के पहले के उदाहरण $\mathcal{A}$ सभी नहीं हो सकते हैं, लेकिन इसके बजाय वे इसके बहुत बड़े उपसमूह का गठन कर सकते हैं। इसे देखने के लिए, हमें परिभाषित करना चाहिए

$$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$$

Preimages के गुणों का उपयोग करना, यह दिखाने के लिए कि बहुत मुश्किल नहीं है $\mathcal{\Sigma}$ एक सिग्मा-बीजगणित है। यह भी तुरंत इस प्रकार है कि $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ है, इसलिए $\mathcal{\Sigma}$ एक उप-सिग्मा-बीजगणित है। इसके अलावा, परिभाषाओं से यह देखने के लिए कि मानचित्रण आसान है $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ औसत दर्जे का है। $\mathcal{\Sigma}$ वास्तव में छोटी से छोटी सिग्मा-बीजगणित है कि बनाता है $X$ एक यादृच्छिक चर उस तरह के अन्य सभी सिग्मा अल्जेब्रास बहुत कम शामिल पर के रूप में $\mathcal{\Sigma}$। कारण यह है कि हम यादृच्छिक चर के preimages साथ काम कर रहे के लिए $X$ , हम फोन $\mathcal{\Sigma}$ सिग्मा-बीजगणित यादृच्छिक चर द्वारा प्रेरित $X$ ।

यहाँ एक चरम उदाहरण है: एक निरंतर यादृच्छिक चर पर विचार $X$ , यह है कि, $X(\omega) \equiv \alpha$ । फिर $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ या तो बराबर होती है $\Omega$ या $\varnothing$ पर कि क्या आधार पर $\alpha \in B$ । इस प्रकार उत्पन्न सिग्मा-बीजगणित तुच्छ है और जैसे, यह निश्चित रूप से $\mathcal{A}$ में शामिल है ।

उम्मीद है की यह मदद करेगा।

Comments

घटनाओं का समुच्चय है, है ना? एक मैं एफ के साथ व्यक्त$\mathcal{A}$$\mathcal{F}$

— Delta

हाँ, मैं पाने की शर्त के साथ पैदा हुआ था से अधिक अपील एफ । $\mathcal{A}$$\mathcal{F}$

— जॉनके

अति उत्कृष्ट! बहुत साफ़। आपको एक किताब लिखनी चाहिए :)

— DeltaIV