अनुभवजन्य संभावना के कुछ उदाहरण अनुप्रयोग क्या हैं?

मैंने ओवेन के अनुभवजन्य संभावना के बारे में सुना है, लेकिन हाल ही में जब तक मैंने ब्याज के एक कागज में इसे पार नहीं किया, तब तक कोई ध्यान नहीं दिया ( मेसर्सन एट अल। 2012 )।

यह समझने के लिए मेरे प्रयासों में, मैं gleaned है कि मनाया डेटा की संभावना के रूप में प्रस्तुत किया जाता है

L = \prod_{i} p_{i} = \prod_{i} P (X_{i} = x) = \prod_{i} P (X_{i} \leq x) - P (X_{i} < x)

$L = \prod_i p_i = \prod_i P(X_i=x) = \prod_i P(X_i \le x) - P(X_i \lt x)$ , जहां

\sum_{i} p_{i} = 1

$\sum_i p_i = 1$ और

p_{i} > 0

$p_i > 0$ ।

हालांकि, मैं इस प्रतिनिधित्व को जोड़ने के लिए मानसिक छलांग लगाने में असमर्थ रहा हूं कि इसका उपयोग टिप्पणियों के बारे में अनुमान लगाने के लिए कैसे किया जा सकता है। शायद मैं एक मॉडल की संभावना wrt मापदंडों के बारे में सोच रहा हूँ?

भले ही, मैं अनुभवजन्य संभावना को नियोजित करने वाले कुछ पेपर के लिए Google विद्वान खोज रहा हूं जो मुझे अवधारणा को आंतरिक बनाने में मदद करेगा ... कोई फायदा नहीं हुआ। जाहिर है, अनुभवजन्य संभावना पर आर्ट ओवेन की पुस्तक है , लेकिन Google पुस्तकें सभी स्वादिष्ट बिट्स को छोड़ देती हैं और मैं अभी भी अंतर-पुस्तकालय ऋण प्राप्त करने की धीमी प्रक्रिया में हूं।

इस बीच, क्या कोई कृपया मुझे ऐसे कागजात और दस्तावेजों को इंगित कर सकता है जो स्पष्ट रूप से अनुभवजन्य संभावना के आधार को स्पष्ट करते हैं और यह कैसे नियोजित किया जाता है? ईएल का एक चित्रण विवरण भी स्वागत योग्य होगा!

— समीर
स्रोत

अर्थशास्त्री, विशेष रूप से, ईएल के साथ प्यार में पड़ गए हैं। यदि आप अनुप्रयोगों की तलाश कर रहे हैं , तो साहित्य देखने के लिए बेहतर स्थानों में से एक हो सकता है।

— कार्डिनल

जवाबों:

मैं अनुभवजन्य संभावना के बारे में जानने के लिए ओवेन की किताब से बेहतर कोई जगह नहीं सोच सकता।

बारे में सोचने का एक व्यावहारिक तरीका है कि देखे गए डेटा बिंदुओं पर एक बहुराष्ट्रीय वितरण की संभावना के रूप में है । संभावना इस प्रकार संभावना वेक्टर की एक समारोह है , पैरामीटर अंतरिक्ष वास्तव में है संभावना वैक्टर की आयामी सिंप्लेक्स, और MLE भार डालने है $L = L(p_1, \ldots, p_n)$ $x_1, \ldots, x_n$ $(p_1, \ldots, p_n)$ $n$ $1/n$ प्रत्येक प्रेक्षण पर (वे सभी अलग हैं) पैरामीटर स्पेस का आयाम टिप्पणियों की संख्या के साथ बढ़ता है।

एक केंद्रीय बिंदु यह है कि अनुभवजन्य संभावना एक पैरामीट्रिक मॉडल को निर्दिष्ट किए बिना प्रोफाइलिंग द्वारा आत्मविश्वास अंतराल की गणना के लिए एक विधि देता है। यदि ब्याज की पैरामीटर मतलब है, , तो किसी भी संभावना वेक्टर के लिए हम है मतलब है कि और हम रूप में प्रोफाइल संभावना की गणना कर सकते हैं $\mu$ $p = (p_1, \ldots, p_n)$

μ (p) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i},

$\mu(p) = \sum_{i=1}^n x_i p_i,$

फिर हम फार्म के विश्वास के अंतराल गणना कर सकता है

के साथ

। यहाँ

अनुभवजन्य मतलब और है

L_{prof} (μ) = max {L (p) ∣ μ (p) = μ} .

$L_{\text{prof}}(\mu) = \max \{ L(p) \mid \mu(p) = \mu \}.$

I_{r} = {μ ∣ L_{prof} (μ) \geq r L_{prof} (\bar{x})}

$I_r = \{ \mu \mid L_{\text{prof}}(\mu) \geq r L_{\text{prof}}(\bar{x}) \}$

r \in (0, 1)

$r \in (0,1)$

\bar{x}

$\bar{x}$

। अंतराल

शायद सिर्फ बुलाया जाना चाहिए (प्रोफ़ाइल) संभावना अंतराल के बाद से कवरेज के बारे में कोई बयान अग्रिम बनाया गया है। घटते के साथ

अंतराल

(हाँ, वे अंतराल होते हैं) एक नेस्टेड, विश्वास के अंतराल के परिवार में वृद्धि के रूप में। Asymptotic सिद्धांत या बूटस्ट्रैप का उपयोग95% कवरेज प्राप्त करने के लिए

कोकैलिब्रेटकरने के लिएकिया जा सकता है, कहते हैं।

L_{prof} (\bar{x}) = n^{- n}

$L_{\text{prof}}(\bar{x}) = n^{-n}$

I_{r}

$I_r$

r

$r$

I_{r}

$I_r$

r

$r$

ओवेन की पुस्तक इसे विस्तार से शामिल करती है और अधिक जटिल सांख्यिकीय समस्याओं और ब्याज के अन्य मापदंडों को विस्तार प्रदान करती है।

— NRH
स्रोत

(+1) पुस्तक तक पहुँच कम करना, कोई भी मूल सिद्धांत के साथ मूल सिद्धांत को प्राप्त करने के लिए हमेशा शुरुआत कर सकता है। पुस्तक की तरह, कागजात भी काफी स्पष्ट रूप से लिखे गए हैं।

— कार्डिनल

कुछ लिंक: ( 1 ) ए। ओवेन (1988), एकल कार्यात्मक , बायोमेट्रिक , वॉल्यूम के लिए अनुभवजन्य संभावना अनुपात अंतर । 75, नंबर 2, पीपी 237-249, ( 2 ) ए। ओवेन (1990), अनुभवजन्य संभावना अनुपात विश्वास क्षेत्र , एन। सांख्यिकीविद। , वॉल्यूम। 18, सं। 1, पीपी। 90-120 ( खुली पहुंच ), और ( 3 ) ए। ओवेन (1991) रैखिक मॉडल , ऐन के लिए अनुभवजन्य संभावना । सांख्यिकीविद। , वॉल्यूम। 19, सं। 4, पीपी। 1725-1747 ( खुली पहुंच )।

— कार्डिनल

@ कार्डिनल शानदार! खुद ऐसा सोचना चाहिए था।

— समीर

L_{p r o f} (μ)

$L_{prof}(\mu)$

a r g m a x

$argmax$

p

$p$

L_{p r o f} (\bar{x}) = n^{n}

$L_{prof}(\bar{x})=n^n$

\prod_{i} n^{- 1} = n^{- n}

$\prod_i n^{-1} = n^{-n}$

μ

$\mu$

अर्थमिति में, कई लागू कागजात इस धारणा के साथ शुरू होते हैं

ए [जी (एक्स, θ)] = 0

$E[g(X,\theta)] = 0$ कहा पे

X

$X$ डेटा का एक वेक्टर है,

g

$g$ की ज्ञात प्रणाली है

q

$q$ समीकरण, और

θ \in Θ \subseteq R^{p}

$\theta \in \Theta \subseteq \mathbb{R}^p$ एक अज्ञात पैरामीटर है,

q \geq p

$q \geq p$ । कार्यक्रम

g

$g$ एक आर्थिक मॉडल से आता है। लक्ष्य का अनुमान लगाना है

θ

$\theta$ ।

The traditional approach, in econometrics, for estimation and inference on $\theta$ is to use generalized method of moments:

{\hat{θ}}_{GMM} = {argmin}_{θ \in Θ} {\bar{g}}_{n} (θ)^{'} W {\bar{g}}_{n} (θ)

$\hat{\theta}_\text{GMM} = \text{argmin}_{\theta \in \Theta} \; \bar{g}_n(\theta) 'W \bar{g}_n(\theta)$ where

W

$W$ is a positive definite weighting matrix and

{\bar{g}}_{n} (θ) := \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} g (X_{i}, θ) .

$\bar{g}_n(\theta) := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n g(X_i,\theta).$ Empirical likelihood providers an alternative estimator to GMM. The idea is to enforce the moment condition as a constraint when maximizing the nonparametric likelihood. First, fix a

θ

$\theta$ . Then solve

L (θ) = max_{p_{1}, \dots, p_{n}} \prod_{i = 1}^{n} p_{i}

$L(\theta) = \max_{p_1,\ldots,p_n} \; \prod_{i=1}^n p_i$ subject to

\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1, p_{i} \geq 0, \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \cdot g (X_{i}, θ) = 0.

$\sum_{i=1}^n p_i=1, \qquad p_i \geq 0, \qquad \sum_{i=1}^n p_i \cdot g(X_i,\theta) = 0.$ This is the `inner loop'. Then maximize over

θ

$\theta$ :

{\hat{θ}}_{EL} = {argmax}_{θ \in Θ} \log L (θ) .

$\hat{\theta}_\text{EL} = \text{argmax}_{\theta \in \Theta} \; \log L(\theta).$ This approach has been shown to have better higher order properties than GMM (see Newey and Smith 2004, Econometrica), which is one reason why it is preferable over GMM. For additional reference, see the notes and lecture by Imbens and Wooldridge here (lecture 15).

There are of course many other reasons why EL has garnered attention in econometrics, but I hope this is a useful starting place. Moment equality models are very common in empirical economics.

— Aelmore
स्रोत

Thank you for writing such a clear, well-referenced answer. Welcome to our community!

— whuber

In survival analysis, the Kaplan-Meier curve is the most famous non-parametric estimator of the survival function $S(t) = Pr(T > t)$ , where $T$ denotes the time-to-event random variable. Basically, $\hat{S}$ is a generalisation of the empirical distribution function which allows censoring. It can be derived heuristically, as given in most practical textbooks. But it can also be formally derived as a maximum (empirical) likelihood estimator. Here are more details.

— ocram
स्रोत