एक औसत से विभाजित एक यादृच्छिक चर की उम्मीद क्या है

चलो आईआईडी और हो । यह स्पष्ट प्रतीत होता है, लेकिन मुझे औपचारिक रूप से इसे प्राप्त करने में परेशानी हो रही है। $X_i$ $\bar{X} = \sum_{i=1}^{n} X_i$

E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] = ?

$E\left[\frac{X_i}{\bar{X}}\right] = \ ?$

probability random-variable expected-value

— stollenm
स्रोत

चलो स्वतंत्र और हूबहू यादृच्छिक परिवर्तनीय वितरित हो सकता है और परिभाषित $X_1,\dots,X_n$

\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} \dots + X_{n}}{n} .

$\bar{X}=\frac{X_1+X_2\dots+X_n}{n}.$

मान लीजिए कि । चूंकि की पहचान वितरित की गई है, इसलिए समरूपता हमें बताती है कि, , (आश्रित) यादृच्छिक चर का समान वितरण है: : यदि अपेक्षाएँ $\Pr\{\bar{X}\ne 0\}=1$ $X_i$ $i=1,\dots n$ $X_i/\bar{X}$

\frac{X_{1}}{\bar{X}} \sim \frac{X_{2}}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_{n}}{\bar{X}} .

$\frac{X_1}{\bar{X}} \sim \frac{X_2}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_n}{\bar{X}}.$

E [X_{i} / \bar{X}]

$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$ मौजूद है (यह एक महत्वपूर्ण बिंदु है), तो और, , हमारे पास है

E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] = E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] = \dots = E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}],

$\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] = \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] = \dots = \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right],$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

\begin{aligned} E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] & = \frac{1}{n} (E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] + E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] + \dots + E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}]) \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1}}{\bar{X}} + \frac{X_{2}}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{n \bar{X}}{\bar{X}}] \\ = \frac{n}{n} E [\frac{\bar{X}}{\bar{X}}] = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[ \frac{X_i}{\bar{X}} \right] &= \frac{1}{n} \left( \mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] + \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] + \dots + \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \right) \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} + \frac{X_2}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{n\bar{X}}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{n}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{\bar{X}}{\bar{X}} \right] = 1. \end{align}$

आइए देखें कि क्या हम इसे सरल मोंटे कार्लो द्वारा जांच सकते हैं।

x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5)
mean(x[, 3] / rowMeans(x))

[1] 1.00511

ठीक है, और परिणाम दोहराव के तहत ज्यादा नहीं बदलते हैं।

— जेन
स्रोत

(+1) यह निष्कर्ष कि मौजूद नहीं है, सच है, लेकिन उन सब में से किसी से भी अधिक तर्क की आवश्यकता है, जिससे आप अभी तक जुड़े हुए हैं, क्योंकि और स्वतंत्र नहीं हैं।

E [X_{i} / \bar{X}]

$E[X_i/\bar X]$

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar X$

— व्ह्यूबेर

@ शुभकर्ता: क्या आप इसे थोड़ा बढ़ा सकते हैं, बिल? मैंने टिप्पणी से जुड़े प्रश्नों में से एक में और की निर्भरता का उल्लेख किया है । इसके अलावा, शीआन का उत्तर सरल रूपांतरण के साथ मामले को संबोधित करता है । उन्होंने अपनी एक टिप्पणी में का वितरण भी दिया । इस पर आपके विचारों के लिए धन्यवाद।

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar{X}$

n = 2

$n=2$

X_{i} / \bar{X}

$X_i/\bar{X}$

— ज़ेन

@ उत्तर: मुझे लगता है कि मेरा स्पष्टीकरण करता है जो , एक मानक कॉची है। कोई निर्भरता शामिल नहीं है।

X_{i} / \bar{X} = n / {1 + X_{2} / X_{1} + \dots + X_{n} / X_{1}}

$X_i/\bar{X}=n/\{1+X_2/X_1+\cdots+X_n/X_1\}$

n / {1 + (n - 1) Z}

$n/\{1+(n-1)Z\}$

Z

$Z$

— शीआन

@ शीआन: क्या आपने यहाँ उपयोग किया है ( मामले पर विचार करें ), चूंकि और मानक कॉची हैं, तो भी मानक कॉची है? लेकिन यह सच नहीं है क्योंकि और स्वतंत्र नहीं हैं, है ना?

n = 3

$n=3$

U = X_{2} / X_{1}

$U=X_2/X_1$

V = X_{3} / X_{1}

$V=X_3/X_1$

(U + V) / 2

$(U+V)/2$

U

$U$

V

$V$

— ज़ेन

@Zen: हालांकि, और स्वतंत्र सामान्य variates, इसलिए कर रहे हैं एक कॉची, एक साथ करता है, तो है पैमाने बजाय ।

(X_{2} + \dots + X_{n})

$(X_2+\cdots+X_n)$

X_{1}

$X_1$

(X_{2} + \dots + X_{n}) / X_{1}

$(X_2+\cdots+X_n)/X_1$

\sqrt{n - 1}

$\sqrt{n-1}$

n - 1

$n-1$

— शीआन