यदि परिमित है, तो ?

निरंतर यादृच्छिक चर $X$ , यदि $E(|X|)$ परिमित है, is $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$ ?

यह एक ऐसी समस्या है जो मुझे इंटरनेट पर मिली, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह है या नहीं।

मुझे पता है कि मार्को असमानता द्वारा $n P(|X|>n)<E(|X|)$ धारण करता है, लेकिन मैं यह नहीं दिखा सकता कि $n$ को अनंत तक जाता है।

probability expected-value probability-inequalities

— 456 123
स्रोत

(1) निरंतरता की आवश्यकता नहीं है। (2) अस्तित्व समारोह के अभिन्न अंग के रूप में अपेक्षा व्यक्त करें

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$ । (३) गर्भनिरोधक पर विचार करें: अपेक्षा के बारे में एक गैर-बीमित सीमा क्या होगी?

— whuber

@ शुभ व्यायाम! मुझे लगता है कि मेरे पास एक सही उत्तर है, लेकिन चूंकि यह दिखता है self-study, मुझे नहीं लगता कि मुझे इसे यहां लिखना चाहिए। क्या मैं एक निजी चैट-रूम बना सकता हूं और आपको अपना समाधान दिखा सकता हूं, ताकि आप मुझे बता सकें कि क्या यह सही है?

— डेल्टा 50

@ डेल्टा यह एक ऐसा मामला है जहां आपका जवाब पोस्ट करना मेरे लिए ठीक प्रतीत होगा: ओपी के पास एक विशिष्ट उप-प्रश्न है और केवल होमवर्क के जवाब के लिए ट्रोलिंग प्रतीत नहीं होता है।

— whuber

@ जब यह मुझे प्राकृतिक नंबरों पर एक समान वितरण के गैर-अस्तित्व की याद दिलाता है - क्या इसका मतलब यह है कि जबकि निरंतरता की यहां आवश्यकता नहीं है, गिनती योग्य संवेदनशीलता है ?

— बिल क्लार्क

जवाबों:

यादृच्छिक चर के अनुक्रम को देखें को केवल बड़े मानों को बनाए रखते हुए परिभाषित किया गया है :यह स्पष्ट है कि , इसलिए ध्यान दें कि औरप्रत्येक । इसलिए (1) का LHS हावी अभिसरण द्वारा शून्य हो जाता है । $\{Y_n\}$ $|X|$

Y_{n} := | X | I (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$

n

$n$

— grand_chat
स्रोत

मुझे लगता है कि आप अपने अंतिम वाक्य में "आरएचएस" का मतलब है, अन्यथा, अच्छी नौकरी!

— जंबोमैन

@jbowman, का प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय द्वारा ध्यान दें कि है (ध्यान दें कि उस निष्कर्ष तक पहुंचने के लिए अकेले पर्याप्त नहीं है)। मैंने विकिपीडिया पर DCT का लिंक जोड़ा

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$

— P.Windridge

@ P.Windridge - मैंने ध्यान से पर्याप्त नहीं पढ़ा, और पिछले वाक्य के साथ समीकरण 1 के साथ "So LHS" को संबद्ध किया। मेरी गलती।

— जूलमैन

ध्यान दें कि एक यादृच्छिक चर है। किस अर्थ में है?

Y_{n}

$Y_n$

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$

— YHH

@YHH अभिसरण बिंदुवार है: प्रत्येक , को ।

ω

$\omega$

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$

n \to \infty

$n\to\infty$

— Grand_chat

मैं एक सतत यादृच्छिक चर के लिए एक उत्तर प्रदान कर सकता हूं (निश्चित रूप से एक अधिक सामान्य उत्तर है)। चलो: $Y=|X|$

E [Y] = \int_{0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 - F_{Y} (n)) = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

इस प्रकार

0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

अब, क्योंकि परिकल्पना द्वारा परिमित है, हमारे पास वह है $\mathbb{E}[Y]$

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

फिर

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

सैंडविच प्रमेय द्वारा।

— DeltaIV
स्रोत

@ P.Windridge आप जाँच कर सकते हैं कि प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय का मेरा उपयोग भी सही है? मेरे पास एक मात्रा है,

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$ , जो nonnegative है, और एक मात्रा से अधिक नहीं है जिसकी सीमा 0 है, इस प्रकार

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$ मेरे प्रमेय के आवेदन में। धन्यवाद

— DeltaIV

@ DeltaIV- पहले, स्पष्ट करने के लिए, "

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$ तथा

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$ का तात्पर्य

b_{n} \to l

$b_n\to l$ "वर्चस्व अभिसरण प्रमेय नहीं है (आमतौर पर इसे सैंडविच प्रमेय कहा जाता है)।

— P.Windridge

@ DeltaIV- नहीं, आपको DCT की आवश्यकता नहीं है, MCT पर्याप्त है (इसमें संभावना शामिल है कि

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$ , लेकिन तब आप नहीं कह सकते

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$ ! )

— पी। विन्ड्रिज

कोई दिक्कत नहीं है। Btw, मुझे पता है

E [Y]

$E[Y]$ धारणा से परिमित है, मैं सिर्फ यह समझा रहा था कि आप उस धारणा का उपयोग कहां करते हैं (डीसीटी स्वयं को डीसीटी के विपरीत इसकी आवश्यकता नहीं है, जिसका उपयोग @grand_chat ने किया था और मुझे उम्मीद है कि आपने :) देखा।

— P.Windridge

@ P.Windridge आह, ठीक है! मैंने देखा कि MCT को धारणा की आवश्यकता नहीं है। मुझे DCT पर एक नज़र थी, इसीलिए मुझे लगा कि मुझे अपने प्रमाण के लिए इसकी आवश्यकता नहीं है :) मैं विश्वविद्यालय में Lebesgue के एकीकरण के बारे में नहीं पढ़ाए जाने की कीमत चुकाता हूँ ... इस कारण से, मैं इसका उपयोग कर रहा हूँ। उपायों के बजाय, pdfs के संदर्भ में प्रायिकता पथरी करें।

— 18

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$ (समान रूप से पूर्णांक)

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

अर्थात $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

— Aldehu
स्रोत