हर 10 और 15 मिनट पर चलने वाली दो बसों में से पहले के लिए प्रतीक्षा समय की उम्मीद है

19

मुझे एक साक्षात्कार प्रश्न आया:

एक लाल ट्रेन है जो हर 10 मिनट पर आ रही है। हर 15 मिनट पर एक ब्लू ट्रेन आती है। दोनों एक यादृच्छिक समय से शुरू होते हैं ताकि आपके पास कोई शेड्यूल न हो। यदि आप एक यादृच्छिक समय पर स्टेशन पर आते हैं और किसी भी ट्रेन पर जाते हैं जो पहले आती है, तो अपेक्षित प्रतीक्षा समय क्या है?

probability random-variable expected-value

— शेंजी झांग
स्रोत

3

क्या ट्रेनें समय पर पहुंचती हैं लेकिन अज्ञात समान रूप से वितरित चरणों के साथ, या क्या वे 10mins और 15 मिनट के साथ एक पॉइज़न प्रक्रिया का पालन करते हैं।

— टाइलफिश पॉवेल

1

पूर्व वाला, कविता नहीं।

— शेंजी झांग

7

@Tilefish एक महत्वपूर्ण टिप्पणी करती है जिस पर हर किसी को ध्यान देना चाहिए। इसका कोई निश्चित उत्तर नहीं है। आपको लगता है कि "एक यादृच्छिक समय से शुरू" का मतलब क्या हो सकता है। (क्या इसका मतलब है कि वे एक साथ शुरू करते हैं या कि वे अलग-अलग अज्ञात समय पर शुरू होते हैं? एक निश्चित ज्ञात वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर के रूप में "अज्ञात" का क्या औचित्य साबित होगा?) उनके चरण अंतर के एक समारोह के रूप में (जो केवल 5 मिनट के लिए मायने रखता है), मतलब? जवाब में भिन्न हो सकता के लिए । चरण अंतर का एक समान वितरण होगा ।

15 / 4

$15/4$

25 / 6

$25/6$

35 / 9

$35/9$

— whuber

@ हर कोई ओपी की टिप्पणी की व्याख्या करने के लिए लग रहा था जैसे कि दो बसें दो अलग-अलग यादृच्छिक समय पर शुरू हुईं। कि वे एक ही यादृच्छिक समय पर शुरू होता है एक असामान्य ले की तरह लगता है

— अक्सकाल

1

@Aksakal। हर कोई नहीं: मैं नहीं करता हूं और इस धागे में कम से कम एक उत्तर नहीं है - यही कारण है कि हम अलग-अलग संख्यात्मक उत्तर देख रहे हैं। इसके अलावा, लगभग कोई भी इस तथ्य को स्वीकार नहीं करता है कि उन्हें उत्तर प्राप्त करने के लिए प्रश्न की कुछ ऐसी व्याख्या करनी थी।

— व्हीबर

15

समस्या से संपर्क करने का एक तरीका अस्तित्व समारोह के साथ शुरू करना है। ताकि कम से कम इंतज़ार करना पड़े $t$ मिनट आप कम से कम के लिए प्रतीक्षा करनी दोनों लाल के लिए मिनट और नीले रंग की गाड़ी। इस प्रकार समग्र उत्तरजीविता समारोह केवल व्यक्तिगत अस्तित्व कार्यों का उत्पाद है: $t$

S (t) = (1 - \frac{t}{10}) (1 - \frac{t}{15})

$S(t) = \left( 1 - \frac{t}{10} \right) \left(1-\frac{t}{15} \right)$

जो, , संभावना है कि आप कम से कम इंतज़ार करना होगा है अगली ट्रेन के लिए मिनट। यह एक टिप्पणी में ओपी के स्पष्टीकरण को ध्यान में रखता है कि लेने के लिए सही धारणा यह है कि प्रत्येक ट्रेन एक निश्चित समय सारिणी पर स्वतंत्र है और यात्री के आगमन का समय है, और दो ट्रेनों के चरणों को समान रूप से वितरित किया गया है , $0 \le t \le 10$ $t$

फिर पीडीएफ के रूप में प्राप्त किया जाता है

p (t) = (1 - S (t))^{'} = \frac{1}{10} (1 - \frac{t}{15}) + \frac{1}{15} (1 - \frac{t}{10})

$p(t) = (1-S(t))' = \frac{1}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{1}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right)$

और अपेक्षित मूल्य सामान्य तरीके से प्राप्त होता है:

, $E[t] = \int_0^{10} t p(t) dt = \int_0^{10} \frac{t}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{t}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right) dt = \int_0^{10} \left( \frac{t}{6} - \frac{t^2}{75} \right) dt$

जो तक काम करता है मिनट। $\frac{35}{9}$

— डेव
स्रोत

डेव, क्या आप बता सकते हैं कि कैसे p (t) = (1- s (t)) '?

— शेफ 1075

मैं समझा सकता हूं कि आपके लिए एस (टी) = 1-एफ (टी), पी (टी) सिर्फ एफ (टी) = एफ (टी) 'है।

— दीप उत्तर

4

उत्तरजीविता समारोह विचार महान है। लेकिन पीडीएफ प्राप्त क्यों करें जब आप अपेक्षा को प्राप्त करने के लिए अस्तित्व समारोह को सीधे एकीकृत कर सकते हैं? वास्तव में, इस उत्तर का दो-तिहाई केवल एक विशेष उदाहरण के साथ पथरी के मौलिक प्रमेय को प्रदर्शित करता है। और

प्राप्त करने के लिए उत्पाद का उपयोग करने का क्या औचित्य है ? इसके पीछे एक छिपी हुई धारणा है।

S

$S$

— whuber

2

@ जब भी मैं इस दृष्टिकोण को पसंद करता हूं, उत्तरजीविता फ़ंक्शन से पीडीएफ प्राप्त करता हूं, क्योंकि यह उन मामलों को सही ढंग से संभालता है जहां यादृच्छिक चर का डोमेन 0. पर शुरू नहीं होता है

— डेव

2

(1) आपका डोमेन सकारात्मक है। (२) सूत्र आसानी से सामान्यीकृत है। ।

— व्हिबर

9

जवाब है parantheses अंदर भागों प्राप्त करें: तो, हिस्सा है:

E [t] = \int_{x} \int_{y} min (x, y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x d y = \int_{x} (\int_{y < x} y d y + \int_{y > x} x d y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x

$E[t]=\int_x\int_y \min(x,y)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx dy=\int_x\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx$

\int_{y < x} y d y = y^{2} / 2 |_{0}^{x} = x^{2} / 2

$\int_{y<x}ydy=y^2/2|_0^x=x^2/2$

\int_{y > x} x d y = x y |_{x}^{15} = 15 x - x^{2}

$\int_{y>x}xdy=xy|_x^{15}=15x-x^2$

अंत में,

(.) = (\int_{y < x} y d y + \int_{y > x} x d y) = 15 x - x^{2} / 2

$(.)=\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)=15x-x^2/2$

E [t] = \int_{x} (15 x - x^{2} / 2) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x = (15 x^{2} / 2 - x^{3} / 6) |_{0}^{10} \frac{1}{10} \frac{1}{15} = (1500 / 2 - 1000 / 6) \frac{1}{10} \frac{1}{15} = 5 - 10 / 9 \approx 3.89

$E[t]=\int_x (15x-x^2/2)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx= (15x^2/2-x^3/6)|_0^{10}\frac 1 {10} \frac 1 {15}\\= (1500/2-1000/6)\frac 1 {10} \frac 1 {15}=5-10/9\approx 3.89$

यहाँ अनुकरण करने के लिए MATLAB कोड है:

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)

— Aksakal
स्रोत

1

आप ट्रेनों के आरंभिक बिंदु के बारे में गलत धारणाएँ बना रहे हैं। यानी अपने तर्क का उपयोग करते हुए, हर 2 घंटे में कितनी लाल और नीली ट्रेनें आती हैं? 2 घंटे में कुल कितनी ट्रेनें? आदि

— टाइलफिश पॉवेल

1

क्या ट्रेनें मिनट ० और मिनट ६० पर नहीं आ सकती हैं?

— टाइलफिश पॉवेल

1

अगर वे उसी समय शुरू करते हैं तो मैं क्या कहना चाहता हूं। क्या होगा अगर वे दोनों मिनट में शुरू करते हैं। आपके पास आने वाली ट्रेनों के कितने उदाहरण हैं?

— टाइलफिश पॉवेल

1

सिमुलेशन समस्या कथन का बिल्कुल अनुकरण नहीं करता है। विशेष रूप से, यह "यादृच्छिक समय" को मॉडल नहीं करता है जिस पर आप बस स्टेशन पर दिखाई देते हैं। इस तरह से यह समस्या के बारे में कई अस्थिर धारणाओं का प्रतीक है।

— whuber

2

@ जब भी यह स्टेशन पर मेरे आगमन के सापेक्ष बसों के चरण का अनुकरण करता है

— अक्सकल

4

प्रत्येक ट्रेन को दूसरे के स्वतंत्र समय पर और यात्री के आगमन के समय से स्वतंत्र मानते हुए, पहले मिनट में ट्रेन के न आने की संभावना $x$ के लिएहै, जो जब एकीकृत देता है $\frac{10-x}{10} \times \frac{15-x}{15}$ $0 \le x \le 10$ मिनट $\frac{35}9\approx 3.889$

वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक ट्रेन को एक पॉइसन प्रक्रिया का हिस्सा माना जाता है, संयुक्त दर ट्रेन एक मिनट, अपेक्षित प्रतीक्षा समयमिनट $\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}$ $6$

— हेनरी
स्रोत

3

@ यह ठीक है अगर समर्थन nonnegative वास्तविक संख्या है।

— नील जी

3

@ क्या वह कुछ औचित्य याद कर रहा है, लेकिन यह सही समाधान है जब तक आप यह मानते हैं कि रेलगाड़ियाँ समान रूप से वितरित की जाती हैं (यानी, एक निश्चित शेड्यूल जिसे ज्ञात निरंतर इंटर-ट्रेन समय, लेकिन अज्ञात ऑफसेट है)। यह किसी भी संख्या में गाड़ियों के साथ काम करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक नॉनवेज रैंडम वैरिएबल का अपेक्षित मूल्य इसके अस्तित्व समारोह का अभिन्न अंग है।

— नील जी

1

10

$10$

\frac{10 - x}{10}

$\frac{10-x}{10}$

0 \leq x \leq 10

$0 \le x \le 10$

5

$5$

λ = \frac{1}{10}

$\lambda=\frac1{10}$

e^{- λ x}

$e^{-\lambda x}$

0 \leq x < \infty

$0 \le x \lt \infty$

\frac{1}{λ} = 10

$\frac1\lambda=10$

1

0

$0$

3

+1 इस समय, यह अद्वितीय उत्तर है जो इसकी मान्यताओं के बारे में स्पष्ट है। अन्य सभी उन्हें स्वीकार किए बिना कुछ महत्वपूर्ण धारणाएँ बनाते हैं।

— whuber

2

मैं शायद गलत हूं, लेकिन यह मानते हुए कि प्रत्येक ट्रेन का शुरुआती समय एक समान वितरण का अनुसरण करता है, मैं कहूंगा कि जब स्टेशन पर एक यादृच्छिक समय पर पहुंचने के लिए अपेक्षित प्रतीक्षा समय होता है:

$R$ $\mathbb{E}[R] = 5$
$B$ $\mathbb{E}[B] = 7.5$
$\mathbb{E}[\min(R,B)] =\frac{15}{10}(\mathbb{E}[B]-\mathbb{E}[R]) = \frac{15}{4} = 3.75$

जैसा कि टिप्पणियों में बताया गया है, मुझे समझ में आया "दोनों एक यादृच्छिक समय से शुरू होते हैं" के रूप में "दो ट्रेनें एक ही समय में शुरू होती हैं यादृच्छिक समय "। जो एक बहुत ही सीमित धारणा है।

— जिंदा रहो
स्रोत

1

धन्यवाद! आपको सही उत्तर मिला। लेकिन 3. अभी भी मेरे लिए स्पष्ट नहीं है। क्या आप थोड़ा और समझा सकते हैं?

— शेंग्जी झांग

1

यह सही उत्तर नहीं है

— अक्कल

1

मुझे लगता है कि दृष्टिकोण ठीक है, लेकिन आपका तीसरा कदम समझ में नहीं आता है।

— नील जी

2

यह उत्तर मानता है कि कुछ बिंदु पर, लाल और नीली ट्रेनें एक साथ पहुंचती हैं: अर्थात, वे चरण में हैं। अन्य उत्तर चरण के बारे में एक अलग धारणा बनाते हैं।

— whuber

2

$\Delta$ $0\le\Delta<10$ $t=0$

$\Delta$ $0$ $5$ $t=0$ $t=30$ $\Delta$ $10$ $5-\Delta$ $\Delta + 5$ $10-\Delta$

$W_\Delta(t)$ $t$ $W_\Delta(t)$ $t$ $-1$ $0$ $30$ $30$

\begin{aligned} {\bar{W}}_{Δ} & := \frac{1}{30} (\frac{1}{2} [Δ^{2} + 10^{2} + (5 - Δ)^{2} + (Δ + 5)^{2} + (10 - Δ)^{2}]) \\ = \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) . \end{aligned}

$\begin{align}\bar W_\Delta &:= \frac1{30}\left(\frac12[\Delta^2+10^2+(5-\Delta)^2+(\Delta+5)^2+(10-\Delta)^2]\right)\\&=\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125). \end{align}$ Notice that in the above development there is a red train arriving

Δ + 5

$\Delta+5$ minutes after a blue train. Since the schedule repeats every 30 minutes, conclude

{\bar{W}}_{Δ} = {\bar{W}}_{Δ + 5}

$\bar W_\Delta=\bar W_{\Delta+5}$ , and it suffices to consider

0 \leq Δ < 5

$0\le\Delta<5$ .

If $\Delta$ is not constant, but instead a uniformly distributed random variable, we obtain an average average waiting time of

\frac{1}{5} \int_{Δ = 0}^{5} \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) d Δ = \frac{35}{9} .

$\frac15\int_{\Delta=0}^5\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125)\,d\Delta=\frac{35}9.$

— grand_chat
स्रोत

2

This is a Poisson process. The red train arrives according to a Poisson distribution wIth rate parameter 6/hour.
The blue train also arrives according to a Poisson distribution with rate 4/hour. Red train arrivals and blue train arrivals are independent. Total number of train arrivals Is also Poisson with rate 10/hour. Since the sum of The time between train arrivals is exponential with mean 6 minutes. Since the exponential mean is the reciprocal of the Poisson rate parameter. Since the exponential distribution is memoryless, your expected wait time is 6 minutes.

— Alison
स्रोत

The Poisson is an assumption that was not specified by the OP. But some assumption like this is necessary. The logic is impeccable. +1 I like this solution.

— Michael R. Chernick

1

OP said specifically in comments that the process is not Poisson

— Aksakal