समरूपता के मामले में (0 + फैक्टर | ग्रुप) और (1 | ग्रुप) + (1 | ग्रुप: फैक्टर) का रैंडम इफेक्ट स्पेसिफिकेशन

डगलस बेट्स कहते हैं कि निम्न मॉडल "समतुल्य हैं" यदि वेक्टर-मूल्यवान यादृच्छिक प्रभावों के लिए विचरण-सहसंयोजक मैट्रिक्स का एक विशेष रूप है, जिसे यौगिक समरूपता कहा जाता है "( इस प्रस्तुति में स्लाइड 91 ):

m1 <- lmer(y ~ factor + (0 + factor|group), data)
m2 <- lmer(y ~ factor + (1|group) + (1|group:factor), data)

विशेष रूप से बेट्स इस उदाहरण का उपयोग करता है:

library(lme4)
data("Machines", package = "MEMSS")

m1a <- lmer(score ~ Machine + (0 + Machine|Worker), Machines)
m2a <- lmer(score ~ Machine + (1|Worker) + (1|Worker:Machine), Machines)

इसी आउटपुट के साथ:

print(m1a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (0 + Machine | Worker)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 208.3112
Random effects:
 Groups   Name     Std.Dev. Corr     
 Worker   MachineA 4.0793            
          MachineB 8.6253   0.80     
          MachineC 4.3895   0.62 0.77
 Residual          0.9616            
Number of obs: 54, groups:  Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917  

print(m2a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (1 | Worker) + (1 | Worker:Machine)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 215.6876
Random effects:
 Groups         Name        Std.Dev.
 Worker:Machine (Intercept) 3.7295  
 Worker         (Intercept) 4.7811  
 Residual                   0.9616  
Number of obs: 54, groups:  Worker:Machine, 18; Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917

क्या कोई भी मॉडल के बीच अंतर को समझा सकता है और सहज तरीके से कैसे (दिए गए सममित समरूपता) को m1कम करता है m2?

— statmerkur
स्रोत

+1 और, imho, यह बिल्कुल विषय पर है। फिर से मतदान करें।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

@Peter Flom आप इस प्रश्न को ऑफ़-टॉपिक क्यों मानते हैं?

— स्टेटमर

यह शायद स्पष्ट नहीं था कि आप lme4सिंटैक्स के बारे में मॉडल के बारे में पूछ रहे थे । यह उपयोगी होगा - और संभावित उत्तरदाताओं के पूल को चौड़ा करें - यदि आपने उन्हें अपरिचित लोगों के लिए समझाया है lme4।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

ऐसा लगता है कि यह कोडिंग के बारे में है।

— पीटर Flom - को पुनः स्थापित मोनिका

यदि यह उपयोगी है, तो यहां दो अच्छे पोस्ट हैं कि lme4 सिंटैक्स क्या कर रहा है, और मिश्रित मॉडल के संदर्भ में यौगिक समरूपता क्या है (दोनों प्रश्नों पर स्वीकृत उत्तर देखें)। आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज. com

— जैकब सोकोलर

$I_n$ $n$ $1_n$ $n$ $y$ $\mu$ $\gamma$ $\gamma$ $y$

y \sim N (μ + γ, σ_{y}^{2} I_{54})

$y \sim \mathcal{N}(\mu + \gamma, \sigma^2_y I_{54})$

$\sigma^2_y$

$\gamma$

y \sim N (μ, σ_{y}^{2} I_{54} + Σ)

$y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2_y I_{54} + \Sigma)$

$\Sigma$ $\gamma$ $\Sigma$

m1

γ = Z θ

$\gamma = Z \theta$

$Z = I_{18} \otimes 1_3$ $\theta^T = [\theta_{1,A}, \theta_{1,B}, \theta_{1,C} \dots \theta_{6,A}, \theta_{6,B}, \theta_{6,C}]$

θ \sim N (0, I_{6} \otimes Λ)

$\theta \sim \mathcal{N}(0, I_6 \otimes \Lambda)$

$\Lambda$ $\Lambda$ $\sigma_\theta$ $\tau$

Λ = [\begin{matrix} σ_{θ}^{2} + τ^{2} & τ^{2} & τ^{2} \\ τ^{2} & σ_{θ}^{2} + τ^{2} & τ^{2} \\ τ^{2} & τ^{2} & σ_{θ}^{2} + τ^{2} \end{matrix}]

$\Lambda = \left[\begin{matrix} \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 \end{matrix}\right]$

$\Lambda$

$\Sigma = Z (I_6 \otimes \Lambda) Z^T$ $\sigma^2_\theta + \tau^2 + \sigma^2_y$ $i, j$ $u, v$

c o v (y_{i, u}, y_{j, v}) = {\begin{cases} 0 & if i \neq j \\ τ^{2} & if i = j, u \neq v \\ σ_{θ}^{2} + τ^{2} & if i = j, u = v \end{cases}

$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \tau^2 & \text{if } i=j, u\neq v \\ \sigma^2_\theta + \tau^2 & \text{if } i=j, u=v \end{cases}$

आपके लिए m2, यादृच्छिक प्रभाव में विघटित होते हैं:

γ = Z ω + X η

$\gamma = Z \omega + X \eta$

$X = I_6 \otimes 1_9$ $\omega^T = [\omega_{1,A}, \omega_{1,B}, \omega_{1,C}, \dots, \omega_{6,A}, \omega_{6,B}, \omega_{6,C}]$ $\eta^T = [\eta_{1}, \dots, \eta_{6}]$

η \sim N (0, σ_{η}^{2} I_{6})

$\eta \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\eta I_6)$

ω \sim N (0, σ_{ω}^{2} I_{18})

$\omega \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\omega I_{18})$

σ_{η}^{2}, σ_{ω}^{2}

$\sigma_\eta^2, \sigma_\omega^2$

के सीमांत सहप्रसरण संरचना m2है $\Sigma = \sigma^2_\omega Z Z^T + \sigma^2_\eta X X^T$ $\sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta + \sigma^2_y$ $i, j$ $u, v$

c o v (y_{i, u}, y_{j, v}) = {\begin{cases} 0 & if i \neq j \\ σ_{η}^{2} & if i = j, u \neq v \\ σ_{ω}^{2} + σ_{η}^{2} & if i = j, u = v \end{cases}

$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \sigma_\eta^2 & \text{if } i=j,u\neq v \\ \sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta & \text{if } i=j,u=v \end{cases}$

$\sigma^2_\theta \equiv \sigma^2_\omega$ $\tau^2 \equiv \sigma^2_\eta$ m1

ब्रेविटी मेरा मजबूत बिंदु नहीं है: यह सब कहने का एक लंबा, जटिल तरीका है कि प्रत्येक मॉडल में यादृच्छिक प्रभावों के लिए दो भिन्नता पैरामीटर हैं, और एक ही "सीमांत" मॉडल के लेखन के सिर्फ दो अलग-अलग तरीके हैं।

कोड में ...

sigma_theta <- 1.8
tau         <- 0.5
sigma_eta   <- tau
sigma_omega <- sigma_theta
Z <- kronecker(diag(18), rep(1,3))
rownames(Z) <- paste(paste0("worker", rep(1:6, each=9)), 
                     rep(paste0("machine", rep(1:3, each=3)),6))
X <- kronecker(diag(6), rep(1,9))
rownames(X) <- rownames(Z)
Lambda <- diag(3)*sigma_theta^2 + tau^2

# marginal covariance for m1:
Z%*%kronecker(diag(6), Lambda)%*%t(Z)
# for m2:
X%*%t(X)*sigma_eta^2 + Z%*%t(Z)*sigma_omega^2

— नैट पोप
स्रोत

बहुत अच्छा जवाब! लेकिन मुझे लगता है कि "मशीन वर्कर के अंदर नेस्टेड" वाक्यांश भ्रामक हो सकता है क्योंकि वर्कर के समान (वास्तव में हर) स्तर पर एक ही तीन मशीनें दिखाई देती हैं।

— स्टेटमर ठाकुर

@statmerkur धन्यवाद, मैंने इस पंक्ति को स्पष्ट करने का प्रयास किया है। अगर आपके पास कोई और सुझाव है तो मुझे बताएं।

— नाटे पोप

X

$X$

X = I_{6} \otimes 1_{9}

$X = I_6 \otimes 1_9$

@ S.Catterall हाँ, यह एक टाइपो है - इसे पकड़ने के लिए धन्यवाद! मैंने अपने उत्तर में तय कर लिया है।

— नैट पोप

@statmerkur क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि आपका क्या मतलब है? यहां कोई निरंतर सहसंयोजक नहीं है, इसलिए यह सुनिश्चित न करें कि "ढलान" से आपका क्या मतलब है। जिस तरह से मैं मॉडल के बारे में सोचता हूं वह यह है कि मशीनों (निश्चित प्रभाव) के बीच प्रतिक्रिया के बीच में व्यवस्थित अंतर हैं; फिर प्रत्येक कार्यकर्ता के लिए एक यादृच्छिक विचलन (यादृच्छिक अंतर / कार्यकर्ता); फिर प्रत्येक मशीन-कार्यकर्ता संयोजन के लिए एक यादृच्छिक विचलन; और अंत में प्रति अवलोकन एक यादृच्छिक विचलन। प्रति कार्यकर्ता यादृच्छिक विचलन का अधिक से अधिक संस्करण, किसी दिए गए कार्यकर्ता से अधिक सहसंबद्ध अवलोकन आदि

— नैट पोप