क्या हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि स्वतंत्र हैं?

खैर, हम नहीं देख सकते हैं, उदाहरण के लिए https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence एक दिलचस्प काउंटरएक्सप्लिमेंट्री के लिए। लेकिन असली सवाल यह है: क्या स्थिति को मजबूत करने का कोई तरीका है ताकि स्वतंत्रता का पालन किया जाए? उदाहरण के लिए, क्या फ़ंक्शन के कुछ सेट ताकि यदि सभी के लिए तब स्वतंत्रता निम्न प्रकार हो? और, इस तरह के फंक्शन का सेट कितना बड़ा होना चाहिए, अनंत? $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

और, इसके अलावा, क्या कुछ अच्छे संदर्भ हैं जो इस प्रश्न का इलाज करते हैं?

— kjetil b halvorsen
स्रोत

क्या आपको इसके साथ कोई भाग्य मिला है? मुझे यह देखने में अच्छा लगेगा कि क्या फ़ंक्शंस का एक छोटा सेट है जो आरवी के किसी भी जोड़े के लिए काम करता है, और विशेष रूप से औचित्य सीडीएफ

— फैक्ट्रीज़ेशन के

मैं इस पर ध्यान दूँगा! मुझे संदेह है कि सामान्य रूप से एक परिमित सेट है, लेकिन कोई भी सेट जो कार्यों के रैखिक सेट का एक आधार है (इसलिए उदाहरण के लिए, यदि दोनों का मान तो a के सेट रैखिक स्वतंत्र बहुआयामी पद (या अन्य) कार्य करना चाहिए।

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

— Kjetil ख Halvorsen

चलो $(\Omega, \mathscr F, P)$ संभावना स्थान हो। परिभाषा के अनुसार दो यादृच्छिक चर $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ स्वतंत्र हैं अगर उनके $\sigma$ -algebras $S_X := \sigma(X)$ तथा $S_Y := \sigma(Y)$ स्वतंत्र हैं, अर्थात $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ हमारे पास है $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ ।

चलो $g_a(x) = I(x \leq a)$ और ले लो $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ (इस ओर इशारा करने के लिए @grand_chat को धन्यवाद $\mathbb Q$ suffices)। तो हमारे पास हैं

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$ तथा

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

अगर हम ऐसा मान लें $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$ तो हम अपील कर सकते हैं

π - λ

$\pi-\lambda$ यह दिखाने के लिए प्रमेय

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$ अर्थात

X ⊥ Y

$X \perp Y$ ।

इसलिए जब तक मैंने कोई गलती नहीं की है, तब तक हमें कम से कम ऐसे कार्यों का एक संग्रहणीय संग्रह मिल गया है और यह किसी भी सामान्य संभावना स्थान पर परिभाषित यादृच्छिक चर के किसी भी जोड़े पर लागू होता है।

— जेएलडी
स्रोत

आपने वास्तव में क्या दिखाया है? यद्यपि आपने फ़ंक्शन के एक बेशुमार संग्रह को परिभाषित किया है, आपने कहां प्रदर्शन किया है कि वे सभी आवश्यक हैं? यह कल्पना करना मुश्किल है कि ऐसे कार्यों की मात्रा कब आवश्यक होगी

X

$X$ तथा

Y

$Y$ उदाहरण के लिए, प्रत्येक में संभावित मानों के सीमित सेट हैं।

— whuber

@ जब भी मैं इस सवाल का जवाब देने की कोशिश कर रहा था कि क्या इस तरह के कार्यों का कोई संग्रह मौजूद है या नहीं। मैं सहमत हूँ कि अधिक दिलचस्प पहलू एक न्यूनतम सेट की खोज करना है (जो कि मैं अभी भी काम कर रहा हूं)

— jld

आप कम कर सकते हैं

G

$G$ एक तर्कसंगत सेट पर विचार करने के लिए बस तर्कसंगत है

a

$a$ ।

— Grand_chat

@grand_chat महान बिंदु, मैंने अद्यतन किया है

— बड़ा