Ln [E (x)]> E [ln (x)] क्यों है?

Question

हम एक वित्त पाठ्यक्रम में लॉगऑनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन के साथ काम कर रहे हैं और मेरी पाठ्यपुस्तक में कहा गया है कि यह सच है, जो मुझे निराशा की तरह लगता है क्योंकि मेरी मैथ्स की पृष्ठभूमि बहुत मजबूत नहीं है, लेकिन मैं अंतर्ज्ञान चाहता हूं। क्या कोई मुझे दिखा सकता है कि ऐसा क्यों है?

Comments

पहले से ही यहां उत्तर दिया गया है: math.stackexchange.com/questions/21063/…

— लक्षन नाथन

एक अवतल कार्य है। जेंसन असमानता देखें: en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality$\ln$

— kjetil b halvorsen

Inathan: ओह माफ करना, मुझे वह नहीं मिला जब मैं देख रहा था।

— चिसक

Answer 1

याद है कि $e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

अब दोनों पक्षों के लॉग लें

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

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वैकल्पिक रूप से:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$$\ln(t+1)\leq t$

अब दोनों पक्षों की अपेक्षाएं लें:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

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एक चित्रण (जेन्सेन की असमानता से संबंध दिखाते हुए):

( यहाँ X और Y की भूमिकाओं को आपस में जोड़ा गया है ताकि वे प्लॉट अक्षों से मेल खाएँ; बेहतर नियोजन ने उनकी भूमिकाओं को ऊपर स्वैप किया होगा ताकि प्लॉट बीजगणित से अधिक सीधे मेल खाए। )

ठोस रंग की रेखाएं प्रत्येक अक्ष पर साधन का प्रतिनिधित्व करती हैं।

$X$$Y$$Y$