"बिल्कुल सतत यादृच्छिक चर" बनाम "सतत यादृच्छिक चर"?

वैलेंटाइन वी। पेट्रोव की पुस्तक "लिमिट थ्योरीज ऑफ प्रोबेबिलिटी थ्योरी" में, मैंने एक वितरण की परिभाषाओं के बीच एक अंतर देखा, जो "निरंतर" और "बिल्कुल निरंतर" है, जिसे निम्नानुसार बताया गया है:

$(*)$ "... यादृच्छिक चर वितरण को निरंतर कहा जाता है यदि वास्तविक लाइन के किसी भी परिमित या गणनीय सेट के लिए । यह कहा जाता है। यदि बिलकुल सही हो, तो लिए सभी Borel सेट के लिए Lebesgue का लाभ शून्य होगा ... " $X$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$

मैं जिस अवधारणा से परिचित हूं वह है:

$(\#)$ "यदि एक यादृच्छिक चर में एक निरंतर संचयी वितरण फ़ंक्शन है, तो यह बिल्कुल निरंतर है।"

$\textbf{My questions are:}$ एक ही चीज़ के बारे में और में "पूर्ण निरंतरता" के बारे में दो वर्णन हैं ? यदि हाँ, तो मैं एक व्याख्या को दूसरे में कैसे बदल सकता हूँ? $(*)$ $(\#)$

धन्यवाद!

probability distributions random-variable

— तियान
स्रोत

एक सतत नहीं बल्कि पूरी तरह से निरंतर वितरण के मानक उदाहरण पर चर्चा की है stats.stackexchange.com/questions/229556/... , जहां यह ग्राफ़ किया गया है और कोड से नमूने के आपूर्ति की है।

— whuber

विवरण अलग-अलग हैं: केवल पहला वाला सही है। यह उत्तर बताता है कि कैसे और क्यों। $(*)$

निरंतर वितरण

एक "निरंतर" वितरण एक सतत फ़ंक्शन के सामान्य अर्थों में निरंतर है । एक परिभाषा (आमतौर पर पहले एक लोगों को अपने शिक्षा के क्षेत्र में मुठभेड़) है कि प्रत्येक के लिए और किसी भी संख्या के लिए वहाँ एक से मौजूद है (के आधार पर और ) जिसके लिए के मूल्यों पर की -neighborhood से अधिक नहीं के हिसाब से बदलती से । $F$ $x$ $\epsilon\gt 0$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F(x)$

यह प्रदर्शित करने के लिए यह एक छोटा कदम है कि जब एक सतत एक यादृच्छिक चर का वितरण होता है , तो किसी भी संख्या लिए । सब के बाद, निरंतरता की परिभाषा का अर्थ है कि आप किसी भी रूप में बनाने के लिए को छोटा कर सकते हैं और चूंकि (1) यह संभावना नहीं है से कम और (2) मनमाने ढंग से छोटा हो सकता है, यह उस अनुसरण करता है । प्रायिकता की गणनीय व्यसनशीलता इस परिणाम को किसी परिमित या गणनीय समुच्चय तक फैला देती है । $F$ $X$ $\Pr(X=x)=0$ $x$ $\delta$ $\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$ $\epsilon \gt 0$ $\Pr(X=x)$ $\epsilon$ $\Pr(X=x)=0$ $B$

बिल्कुल निरंतर वितरण

सभी वितरण कार्यों सकारात्मक, परिमित परिभाषित उपायों द्वारा निर्धारित $F$ $\mu_F$

μ_{F} ((a, b]) = F (b) - F (a) .

$\mu_F((a,b]) = F(b) - F(a).$

निरपेक्ष निरंतरता उपाय सिद्धांत की एक अवधारणा है। एक माप एक अन्य माप (दोनों एक ही सिग्मा बीजगणित पर परिभाषित) के संबंध में पूरी तरह से निरंतर है , जब प्रत्येक औसत दर्जे का सेट , का अर्थ है । दूसरे शब्दों में, सापेक्ष , कोई "छोटा" (शून्य) माप नहीं होता है, जिसके लिए "बड़े" ( ) की संभावना प्रदान करता है। $\mu_F$ $\lambda$ $E$ $\lambda(E)=0$ $\mu_F(E)=0$ $\lambda$ $\mu_F$

हम लेने जाएगा सामान्य Lebesgue उपाय है, जिसके लिए होने के लिए एक अंतराल की लंबाई है। की दूसरी छमाही कहा गया है कि संभावना उपाय Lebesgue माप के संबंध में पूरी तरह से निरंतर है। $\lambda$ $\lambda((a,b]) = b-a$ $(*)$ $\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

निरपेक्षता विभिन्नता से संबंधित है। (कम से कुछ बिंदु एक और के संबंध में एक उपाय के व्युत्पन्न ) एक सहज ज्ञान युक्त अवधारणा है: की औसत दर्जे का पड़ोस का एक सेट ले कि करने के लिए नीचे हटना और उन इलाकों में दो उपायों की तुलना करें। यदि वे हमेशा एक ही सीमा पर पहुंचते हैं, तो कोई बात नहीं कि पड़ोस का क्रम चुना जाए, तो वह सीमा व्युत्पन्न है। (एक तकनीकी समस्या है: आपको उन पड़ोस को बनाने की आवश्यकता है ताकि उनके पास "रोगात्मक" आकार न हो। यह प्रत्येक पड़ोस को उस क्षेत्र के गैर-नगण्य हिस्से पर कब्जा करने की आवश्यकता होती है जिसमें यह निहित है। $x$ $x$ $x$

इस अर्थ में भेदभाव ठीक है कि निरंतर वितरण पर प्रायिकता की परिभाषा में प्रश्न क्या है? संबोधित कर रहा है।

आइए लिखने के व्युत्पन्न के लिए के संबंध में । प्रासंगिक प्रमेय - यह कैलकुलस --asserts के मौलिक प्रमेय का एक उपाय-सिद्धांत है $D_\lambda(\mu_F)$ $\mu_F$ $\lambda$

$\mu_F$ के संबंध में पूरी तरह से निरंतर है यदि और केवल यदि हर दर्जे का सेट के लिए । [रुडिन, प्रमेय 8.6] $\lambda$
$μ_{F} (E) = \int_{E} (D_{λ} μ_{F}) (x) d λ$ $\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$ $E$

दूसरे शब्दों में, निरपेक्षता ( के संबंध में ) एक घनत्व फ़ंक्शन के अस्तित्व के बराबर है । $\mu_F$ $\lambda$ $D_\lambda(\mu_F)$

सारांश

एक वितरण निरंतर है जब एक फ़ंक्शन के रूप में निरंतर है: सहजता से, इसमें कोई "कूदता नहीं है।" $F$ $F$
एक वितरण पूरी तरह से निरंतर है जब इसका घनत्व फ़ंक्शन (लेबेस्ग माप के संबंध में) होता है। $F$

यह कि दो प्रकार की निरंतरता समतुल्य नहीं है उदाहरणों द्वारा प्रदर्शित की जाती है, जैसे कि https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 पर रिकॉल किया गया । यह प्रसिद्ध कैंटर समारोह है । इस फ़ंक्शन के लिए, लगभग हर जगह क्षैतिज है (जैसा कि इसका ग्राफ़ सादा बनाता है), जहाँ लगभग हर जगह शून्य है, और इसलिए । यह स्पष्ट रूप से का सही मूल्य नहीं देता है (कुल संभावना के स्वयंसिद्ध के अनुसार)। $F$ $D_\lambda(\mu_F)$ $\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$ $1$

वस्तुतः सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाने वाले सभी वितरण बिल्कुल निरंतर हैं, कहीं भी निरंतर (असतत), या मिश्रण नहीं हैं, इसलिए निरंतरता और पूर्ण निरंतरता के बीच अंतर को अक्सर अनदेखा किया जाता है। हालांकि, इस अंतर की सराहना करने में विफल रहने से मैला तर्क और खराब अंतर्ज्ञान हो सकता है, खासकर उन मामलों में जहां कठोरता की सबसे अधिक आवश्यकता होती है: अर्थात्, जब कोई स्थिति भ्रामक या गैर-उद्देश्यपूर्ण होती है, तो हम परिणामों को सही करने के लिए गणित पर भरोसा करते हैं। यही कारण है कि हम आमतौर पर व्यवहार में इस सामान का एक बड़ा सौदा नहीं करते हैं, लेकिन हर किसी को इसके बारे में पता होना चाहिए।

संदर्भ

रूडिन, वाल्टर। वास्तविक और जटिल विश्लेषण । मैकग्रा-हिल, 1974: खंड 6.2 (निरपेक्ष निरंतरता) और 8.1 (माप के अणु)।

— व्हीबर
स्रोत

अन्य अनुप्रयोगों में गैर-बिल्कुल वितरण जारी है। एक उदाहरण (कुछ) डायनेमिक सिस्टम में है, जहां स्मेल के घोड़े की नाल है, जो कैंटर के वितरण जैसी गुणों के साथ वितरण को जन्म देती है।

— kjetil b halvorsen

"बिल्कुल सतत यादृच्छिक चर" बनाम "सतत यादृच्छिक चर"?

निरंतर वितरण

बिल्कुल निरंतर वितरण

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