यादृच्छिक वाक्यों का परस्पर संबंध क्यों है?

मैंने देखा है कि, औसतन, पियरसन सहसंबंध गुणांक का पूर्ण मूल्य किसी भी जोड़ी के लिए एक निरंतर करीब है जो कि यादृच्छिक लंबाई की परवाह किए बिना चलता है।~~0.56~~0.42

क्या कोई इस घटना की व्याख्या कर सकता है?

मुझे उम्मीद थी कि सहसंबंध छोटे होने के साथ-साथ चलने की अवधि बढ़ेगी, जैसे किसी भी यादृच्छिक अनुक्रम के साथ।

अपने प्रयोगों के लिए मैंने स्टेप माध्य 0 और स्टेप स्टैण्डर्ड डेविएशन 1 के साथ रैंडम गॉसियन वॉक का इस्तेमाल किया।

अद्यतन करें:

मैं डेटा को केंद्रित करना भूल गया, इसीलिए इसके 0.56बजाय यह था 0.42।

यहाँ सहसंबंधों की गणना करने के लिए पायथन लिपि है:

import numpy as np
from itertools import combinations, accumulate
import random

def compute(length, count, seed, center=True):
    random.seed(seed)
    basis = []
    for _i in range(count):
        walk = np.array(list(accumulate( random.gauss(0, 1) for _j in range(length) )))
        if center:
            walk -= np.mean(walk)
        basis.append(walk / np.sqrt(np.dot(walk, walk)))
    return np.mean([ abs(np.dot(x, y)) for x, y in combinations(basis, 2) ])

print(compute(10000, 1000, 123))

— एडम
स्रोत

मेरा पहला विचार यह है कि जैसे-जैसे चलना लंबा होता है, मूल्यों को बड़े परिमाण के साथ प्राप्त करना संभव होता है, और सहसंबंध उसी पर निर्भर होता जा रहा है।

— जॉन पॉल

लेकिन यह किसी भी यादृच्छिक अनुक्रम के साथ काम करेगा, अगर मैं आपको सही समझता हूं, फिर भी केवल यादृच्छिक चलता है कि निरंतर सहसंबंध है।

— आदम

यह केवल कोई "यादृच्छिक अनुक्रम" नहीं है: सहसंबंध बहुत अधिक हैं, क्योंकि प्रत्येक शब्द पूर्ववर्ती से केवल एक कदम दूर है। ध्यान दें, भी, कि आप जिस सहसंबंध गुणांक की गणना कर रहे हैं, वह यादृच्छिक चरों के शामिल नहीं है: यह अनुक्रमों के लिए सहसंबंध गुणांक है (केवल युग्मित डेटा के रूप में सोचा गया), जो विभिन्न वर्गों और सभी के अंतरों को शामिल करने वाले एक बड़े सूत्र की मात्रा है। अनुक्रम में शर्तें।

— whuber

क्या आप रैंडम वॉक के बीच सहसंबंधों के बारे में बात कर रहे हैं (एक श्रृंखला के भीतर श्रृंखला नहीं)? यदि ऐसा है, तो यह इसलिए है क्योंकि आपके स्वतंत्र रैंडम वॉक एकीकृत हैं, लेकिन संयोग नहीं है, जो कि एक प्रसिद्ध स्थिति है, जहां सहज सहसंबंध दिखाई देंगे।

— क्रिस हग

यदि आप पहला अंतर लेते हैं, तो आप कोई संबंध नहीं पाएंगे। स्टेशनरी की कमी यहाँ की कुंजी है।

— पॉल

जवाबों:

आपकी स्वतंत्र प्रक्रियाएँ सहसंबद्ध नहीं हैं! यदि और स्वतंत्र यादृच्छिक चलता है: $X_t$ $Y_t$

समय पर एक सहसंबंध गुणांक बिना शर्त मौजूद नहीं है। ( बारे में बात न करें ।) $\operatorname{Corr}(X, Y)$
किसी भी समय , वास्तव में 0 है। $t$ $\operatorname{Corr}(X_t, Y_t)$
लेकिन समय-श्रृंखला औसत पर आधारित नमूना आँकड़े कुछ भी करने के लिए अभिसरित नहीं होंगे! समय के साथ कई अवलोकनों के आधार पर आपके द्वारा गणना की गई नमूना सहसंबंध गुणांक व्यर्थ है।

सहज रूप से, आप अनुमान लगा सकते हैं (गलत तरीके से) कि:

दो प्रक्रियाओं और बीच स्वतंत्रता का तात्पर्य है कि उनका शून्य संबंध है। (दो यादृच्छिक चलता है, मौजूद नहीं है।) $\{X_t\}$ $\{Y_t\}$ $\operatorname{Corr}(X, Y)$
समय श्रृंखला, नमूना सहसंबंध (समय-श्रृंखला का उपयोग करके सहसंबंध गुणांक की गणना की गई है, नमूना आँकड़े जैसे कि ) जनसंख्या सहसंबंध गुणांक को रूप में परिवर्तित करेगा । $\hat{\rho}_{XY}$ $\hat{\mu_X} = \frac{1}{T} \sum_{\tau = 1}^T X_\tau$ $\rho_{XY}$ $T \rightarrow \infty$

समस्या यह है कि है न इन बयानों से यादृच्छिक सैर के लिए सही कर रहे हैं! (वे बेहतर व्यवहार प्रक्रियाओं के लिए सही हैं।)

गैर-स्थिर प्रक्रियाओं के लिए:

आप किसी भी समय के दो विशेष बिंदुओं पर प्रक्रियाओं और बीच संबंध के बारे में बात कर सकते हैं (जैसे। एक पूरी तरह से समझदार कथन है।) $\{X_t\}$ $\{Y_t\}$ $\operatorname{Corr}(X_2, Y_3)$
लेकिन यह समय पर बिना शर्त दो श्रृंखलाओं के बीच सहसंबंध के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है! का एक अच्छी तरह से परिभाषित अर्थ नहीं है। $\operatorname{Corr}(X, Y)$

एक यादृच्छिक चलने के मामले में समस्याएं?

रैंडम वॉक के लिए, बिना शर्त जनसंख्या के क्षण (यानी जो समय पर निर्भर नहीं करते हैं ), जैसे कि , मौजूद नहीं है। (कुछ ढीले अर्थों में, वे अनंत हैं।) इसी तरह, दो स्वतंत्र यादृच्छिक चलता के बीच बिना शर्त सहसंबंध गुणांक शून्य नहीं है; यह वास्तव में मौजूद नहीं है! $t$ $\operatorname{E}[X]$ $\rho_{XY}$
एर्गोडिक प्रमेय की धारणाएं लागू नहीं होती हैं और विभिन्न समय-श्रृंखला औसत (उदा। ) किसी भी चीज़ की तरह रूप में परिवर्तित नहीं होती हैं ।
- एक स्थिर अनुक्रम के लिए, समय श्रृंखला औसत अंततः उस अर्थ पर अभिसरण करेगी जो समय पर बिना शर्त है। लेकिन एक गैर-स्थिर अनुक्रम के लिए, इसका कोई मतलब नहीं है कि यह समय पर बिना शर्त है!

आप समय के साथ दो स्वतंत्र यादृच्छिक क्षेत्रों के विभिन्न टिप्पणियों (जैसे। है, तो , , आदि ... और , , ....) और आप नमूना सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए, आप के बीच एक संख्या मिल जाएगा और । लेकिन यह जनसंख्या सहसंबंध गुणांक (जो मौजूद नहीं है) का एक अनुमान नहीं होगा। $X_1$ $X_2$ $Y_1$ $Y_2$ $-1$ $1$

इसके बजाय, ( से तक टाइम-सीरीज़ एवरेज का उपयोग करके गणना की जाती है, जो मूल रूप से एक रैंडम वैरिएबल है ( में मान ले रहा है ) जो दो विशेष रास्तों को दर्शाता है यादृच्छिक संयोग से लिया गया है (यानी नमूना अंतरिक्ष से खींचा गया द्वारा परिभाषित पथ ।) अत्यंत शिथिल (और अभेद्य रूप से) बोलते हुए: $\hat{\rho}_{XY}(T)$ $t=1$ $t=T$ $[-1, 1]$ $\omega$ $\Omega$

यदि और दोनों एक ही दिशा में भटकने के लिए हुए हैं, तो आप एक सकारात्मक रिश्ते का पता । $X_t$ $Y_t$
यदि और अलग-अलग दिशाओं में भटक गए, तो आप एक नकारात्मक नकारात्मक संबंध का पता । $X_t$ $Y_t$
यदि और एक दूसरे के साथ पर्याप्त घूमने के लिए हुए, तो आप एक निकट शून्य संबंध का पता । $X_t$ $Y_t$

आप शर्तों के साथ इसके बारे में Google को बता सकते हैं spurious regression random walk।

एक यादृच्छिक चलना स्थिर नहीं है और समय के साथ औसत ले रहा है क्या आप नमूना अंतरिक्ष से आईआईडी ड्रॉ _ लेने पर प्राप्त नहीं करेंगे । जैसा कि ऊपर की टिप्पणियों में बताया गया है, आप पहले अंतर और एक यादृच्छिक चलने के लिए, यह प्रक्रिया स्थिर है। $t$ $\omega$ $\Omega$ $\Delta x_t = x_t - x_{t-1}$ $\{\Delta x_t\}$

बड़ी तस्वीर विचार:

समय के साथ कई अवलोकन एक नमूना स्थान से कई ड्रा के समान नहीं है!

याद रखें कि एक असतत समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया दोनों समय का एक कार्य है ( ) और एक नमूना स्थान । $\{ X_t \}$ $t \in \mathbb{N}$ $\Omega$

समय के साथ औसत के लिए एक नमूना जगह पर उम्मीदों के प्रति कवरेज़ की , आप की जरूरत stationarity और ergodicity । बहुत समय-श्रृंखला विश्लेषण में यह एक मुख्य मुद्दा है। और एक यादृच्छिक-चलना एक स्थिर प्रक्रिया नहीं है। $t$ $\Omega$

जुबेर के उत्तर से संबंध:

यदि आप समय-समय पर औसत लेने के लिए मजबूर होने के बजाय कई सिमुलेशन (यानी, से कई ड्रा ) ले सकते , तो आपके कई मुद्दे गायब हो जाते हैं। $\Omega$ $t$

आप निश्चित रूप से को परिभाषित कर सकते हैं क्योंकि नमूना सहसंबंध गुणांक और पर गणना किया गया है और यह एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया भी होगी। $\hat{\rho}_{XY}(t)$ $X_1\ldots X_t$ $Y_1 \ldots Y_t$

आप कुछ यादृच्छिक चर को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं : $Z_t$

Z_{t} = | {\hat{ρ}}_{X Y} (t) |

$Z_t = |\hat{\rho}_{XY}(t)|$

से शुरू होने वाले दो रैंडम वॉक के लिए इन्क्रीमेंट के साथ, सिमुलेशन द्वारा खोजना आसान है (यानी से कई ड्रॉ लेना ।) $0$ $\mathcal{N}(0,1)$ $E[Z_{10000}]$ $\Omega$

नीचे, मैंने एक नमूना पीयरसन सहसंबंध गुणांक के 10,000 गणनाओं का अनुकरण किया। हर बार मैं:

दो 10,000 लंबाई यादृच्छिक चलता है (सामान्य रूप से वितरित वेतन वृद्धि के साथ )। $\mathcal{N}(0,1)$
उनके बीच नमूना सहसंबंध गुणांक की गणना।

नीचे एक हिस्टोग्राम दिखाया गया है जो 10000 से अधिक गणना सहसंबंध गुणांकों पर अनुभवजन्य वितरण दिखा रहा है।

आप स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि यादृच्छिक चर अंतराल में सभी जगह हो सकती है । और के दो निश्चित रास्तों के लिए , नमूना सहसंबंध गुणांक किसी भी चीज में नहीं बदलता है क्योंकि समय श्रृंखला की लंबाई बढ़ जाती है। $\hat{\rho}_{XY}(10000)$ $[-1, 1]$ $X$ $Y$

दूसरी ओर, किसी विशेष समय के लिए (जैसे। ), नमूना सहसंबंध गुणांक एक परिमित माध्य आदि के साथ एक यादृच्छिक चर है ... यदि मैं पूर्ण मूल्य लेता हूं और सभी सिमुलेशन पर औसत गणना करता हूं, तो मैं गणना करता हूं लगभग ।42। मुझे यकीन नहीं है कि आप ऐसा क्यों करना चाहते हैं या यह सब क्यों सार्थक है ??, लेकिन निश्चित रूप से आप कर सकते हैं। $t=10,000$

कोड:

for i=1:10000 
  X = randn(10000,2); 
  Y = cumsum(X); 
  z(i) = corr(Y(:,1), Y(:,2));
end;
histogram(z,20);
mean(abs(z))

— मैथ्यू गुन
स्रोत

चूंकि नमूना आकार स्पष्ट रूप से परिमित नहीं है, इसलिए विभिन्न मात्राओं के बारे में आपके दावे स्पष्ट नहीं हैं। यह देखना मुश्किल है कि आपके प्रतीक ओपी द्वारा वर्णित स्थिति पर कैसे लागू होते हैं।

— whuber

आपका नमूना आकार कभी भी अनंत तक नहीं जाता है! जब तक आप कंप्यूटर के साथ नमूने नहीं ले रहे हैं, ( केवल शुद्ध गणित में आप ऐसी धारणा बना सकते हैं )। और इसका क्या मतलब है: क्योंकि आपके पास असीम रूप से कई बिंदु हैं जो यह अभिसरण नहीं करता है? तुमने ऐसा कहां पढ़ा?

— मयउ ३६

@whuber उम्मीद है कि यह संस्करण थोड़ा स्पष्ट है। मैं इसे लेती हूं ओपी पूछ रहा है कि यादृच्छिक वाक के दो परिमित खंडों के बीच नमूना सहसंबंध गुणांक (समय-श्रृंखला औसत के आधार पर) शून्य क्यों नहीं है, यहां तक कि अपार लंबाई की समय-श्रृंखला के लिए भी। एक मूलभूत समस्या यह है कि एक यादृच्छिक चलने के लिए, विभिन्न जनसंख्या क्षण मौजूद नहीं हैं और समय-श्रृंखला औसत कुछ भी करने के लिए अभिसरण नहीं है।

— मैथ्यू गन

फिर भी, निश्चित सब कुछ परिमित है। इसके अलावा, पूर्ण नमूना सहसंबंध गुणांक की उम्मीद करता है के रूप में एकाग्र बढ़ जाती है! ध्यान दें, यह भी कि यह प्रश्न उस गुणांक के निरपेक्ष मान की चिंता करता है । इसकी उम्मीद (जाहिर है) शून्य है।

n

$n$

n

$n$

— whuber

@whuber क्या आप निश्चित समय-श्रृंखला लंबाई लिए मतलब , सब कुछ परिमित है? (हां मैं इससे सहमत हूं।) नमूना सहसंबंध की उम्मीद शून्य है (हां, मैं इससे सहमत हूं)। के रूप में हालांकि बढ़ जाती है, नमूना सहसंबंध हालांकि करता है नहीं एक बिंदु पर जमा होते है। मनमाने ढंग से लंबाई के दो यादृच्छिक वॉक-सेगमेंट के लिए, नमूना सहसंबंध गुणांक [0, 1] पर समान वितरण से एक यादृच्छिक ड्रॉ से दूर नहीं है (हिस्टोग्राम देखें)।

t

$t$

t

$t$

— मैथ्यू गन

एक सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए आवश्यक गणित गड़बड़ है, लेकिन हम अपेक्षाकृत कम दर्द रहित अपेक्षित वर्ग सहसंबंध गुणांक के लिए एक सटीक मान प्राप्त कर सकते हैं । यह समझाने में मदद करता है कि पास का मान क्यों दिखाता रहता है और यादृच्छिक चलने की लंबाई बढ़ने से चीजें क्यों नहीं बदल जाएंगी। $1/2$ $n$

मानक शर्तों के बारे में भ्रम की संभावना है। प्रश्न में संदर्भित पूर्ण सहसंबंध, इसे बनाने वाले आँकड़ों के साथ-साथ संस्करण और सहसंयोजक - ऐसे सूत्र हैं जो किसी भी यादृच्छिक वाक्यों की प्राप्ति के किसी भी जोड़े पर लागू हो सकते हैं । सवाल यह है कि जब हम कई स्वतंत्र वास्तविकताओं को देखते हैं तो क्या होता है। उसके लिए, हमें रैंडम वॉक प्रक्रिया पर अपेक्षाएँ रखने की आवश्यकता है ।

(संपादित करें)

इससे पहले कि हम आगे बढ़ें, मैं आपके साथ कुछ चित्रमय अंतर्दृष्टि साझा करना चाहता हूं। स्वतंत्र रैंडम वॉक की एक जोड़ी दो आयामों में एक रैंडम वॉक है। हम प्रत्येक से तक जाने वाले पथ को प्लॉट कर सकते हैं । यदि यह पथ नीचे की ओर झुकता है (बाएं से दाएं, सामान्य XY कुल्हाड़ियों पर प्लॉट किया जाता है) तो सहसंबंध के निरपेक्ष मूल्य का अध्ययन करने के लिए , चलो सभी मानों को नकार दें । प्लॉट चलता कुल्हाड़ियों देने के लिए आकार पर और मूल्यों मानक विचलन के बराबर और मिलाती हैं कम से कम वर्गों के फिट के लिए $(X,Y)$ $(X_t,Y_t)$ $X_{t+1},Y_{t+1}$ $Y$ $X$ $Y$ $Y$ $X$ । इन रेखाओं के ढलान सहसंबंध गुणांक के पूर्ण मान होंगे, जो हमेशा और बीच स्थित होते हैं । $0$ $1$

यह आंकड़ा ऐसे चलता है, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई (मानक सामान्य अंतर के साथ) है। छोटे खुले सर्कल उनके शुरुआती बिंदुओं को चिह्नित करते हैं। डार्क सर्कल उनके अंतिम स्थानों को चिह्नित करते हैं। $15$ $960$

ये ढलान बहुत बड़े होते हैं। इसके कई बिंदुओं का एकदम बेतरतीब बिखराव हमेशा ढलान को शून्य के बहुत करीब होगा। यदि हमें यहां उभरने वाले पैटर्न का वर्णन करना था, तो हम कह सकते हैं कि अधिकांश 2D यादृच्छिक चलता धीरे-धीरे एक स्थान से दूसरे स्थान पर स्थानांतरित हो जाता है। (ये जरूरी नहीं कि उनके शुरुआती और समापन बिंदु वाले स्थान हों, हालाँकि!) लगभग आधा समय, तब, यह प्रवास विकर्ण दिशा में होता है - और ढलान तदनुसार उच्च होता है।

इस पोस्ट के बाकी हिस्से में इस स्थिति का विश्लेषण है।

एक यादृच्छिक चलना के आंशिक योगों का एक क्रम है जहाँ स्वतंत्र रूप से वितरित शून्य-माध्य चर वितरित करते हैं। उनका सामान्य विचरण । $(X_i)$ $(W_1, W_2, \ldots, W_n)$ $W_i$ $\sigma^2$

इस तरह के चलने के एक साकार में, "विचरण" की गणना की जाएगी जैसे कि यह कोई डेटासेट था: $x = (x_1, \ldots, x_n)$

V (x) = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \bar{x})^{2} .

$\operatorname{V}(x) = \frac{1}{n}\sum (x_i-\bar x)^2.$

इस मान की गणना करने का एक अच्छा तरीका सभी चुकता अंतरों का आधा औसत लेना है:

V (x) = \frac{1}{n (n - 1)} \sum_{j > i} (x_{j} - x_{i})^{2} .

$\operatorname{V}(x) = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{j \gt i} (x_j-x_i)^2.$

जब को चरणों के यादृच्छिक वॉक के परिणाम के रूप में देखा जाता है , तो इस बात की उम्मीद है $x$ $X$ $n$

E (V (X)) = \frac{1}{n (n - 1)} \sum_{j > i} E (X_{j} - X_{i})^{2} .

$\mathbb{E}(\operatorname{V}(X)) = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{j \gt i} \mathbb{E}(X_j-X_i)^2.$

मतभेद IID चर के योग हैं,

X_{j} - X_{i} = W_{i + 1} + W_{i + 2} + \dots + W_{j} .

$X_j - X_i = W_{i+1} + W_{i+2} + \cdots + W_j.$

वर्ग का विस्तार करें और अपेक्षाएं लें। क्योंकि स्वतंत्र हैं और शून्य साधन हैं, सभी क्रॉस शब्दों की अपेक्षाएं शून्य हैं। यह जैसे शब्दों को छोड़ देता है , जिसकी अपेक्षा । इस प्रकार $W_k$ $W_k$ $\sigma^2$

E ((W_{i + 1} + W_{i + 2} + \dots + W_{j}^{2})) = (j - i) σ^{2} .

$\mathbb{E}((W_{i+1} + W_{i+2} + \cdots + W_j^2)) = (j-i)\sigma^2.$

यह आसानी से इस प्रकार है

E (V (X)) = \frac{1}{n (n - 1)} \sum_{j > i} (j - i) σ^{2} = \frac{n + 1}{6} σ^{2} .

$\mathbb{E}(\operatorname{V}(X)) = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{j \gt i} (j-i)\sigma^2 = \frac{n+1}{6}\sigma^2.$

दो स्वतंत्र अहसासों के बीच सहसंयोजक और - डेटासेट के अर्थ में, यादृच्छिक चर नहीं - एक ही तकनीक के साथ गणना की जा सकती है (लेकिन इसके लिए अधिक बीजीय कार्य की आवश्यकता है; एक चौगुनी राशि शामिल है)। परिणाम यह है कि सहसंयोजक का अपेक्षित वर्ग है $x$ $y$

E (C (X, Y)^{2}) = \frac{3 n^{6} - 2 n^{5} - 3 n^{2} + 2 n}{480 n^{2} (n - 1)^{2}} σ^{4} .

$\mathbb{E}(\operatorname{C}(X,Y)^2) = \frac{3n^6-2n^5-3n^2+2n}{480n^2(n-1)^2}\sigma^4.$

नतीजतन, और बीच चौकोर सहसंबंध गुणांक की उम्मीद , चरणों के लिए निकाली गई है , है $X$ $Y$ $n$

ρ^{2} (n) = \frac{E (C (X, Y)^{2})}{E (V (X))^{2}} = \frac{3}{40} \frac{3 n^{3} - 2 n^{2} + 3 n - 2}{n^{3} - n} .

$\rho^2(n) = \frac{\mathbb{E}(\operatorname{C}(X,Y)^2)}{\mathbb{E}(\operatorname{V}(X))^2} = \frac{3}{40}\frac{3n^3-2n^2+3n-2}{n^3-n}.$

हालांकि यह स्थिर नहीं है, यह तेजी से सीमित मूल्य तक । इसकी वर्गाकार जड़, लगभग , इसलिए के अपेक्षित निरपेक्ष मान का अनुमान (और इसे कम करती है)। $9/40$ $0.47$ $\rho(n)$

मुझे यकीन है कि मैंने कम्प्यूटेशनल त्रुटियां की हैं, लेकिन सिमुलेशन असममित सटीकता को सहन करते हैं। निम्नलिखित परिणामों में प्रत्येक सिमुलेशन के लिए के हिस्टोग्राम दिखाते हैं , ऊर्ध्वाधर लाल रेखाएं दिखाती हैं जबकि धराशायी नीली रेखाएं सूत्र का मान दिखाती हैं। स्पष्ट रूप से यह गलत है, लेकिन asymptotically यह सही है। जाहिर तौर पर का संपूर्ण वितरण वृद्धि के रूप में एक सीमा तक पहुंच रहा है । इसी प्रकार, वितरण(जो ब्याज की मात्रा है) एक सीमा तक पहुंच जाएगा। $\rho^2(n)$ $1000$ $\rho^2(n)$ $n$ $|\rho(n)|$

यह Rआंकड़ा बनाने के लिए कोड है।

f <- function(n){
  m <- (2 - 3* n + 2* n^2 -3 * n^3)/(n - n^3) * 3/40 
}
n.sim <- 1e4
par(mfrow=c(1,4))
for (n in c(3, 10, 30, 100)) {
  u <- matrix(rnorm(n*n.sim), nrow=n)
  v <- matrix(rnorm(n*n.sim), nrow=n)
  x <- apply(u, 2, cumsum)
  y <- apply(v, 2, cumsum)
  sim <- rep(NA_real_, n.sim)
  for (i in 1:n.sim)
    sim[i] <- cor(x[,i], y[,i])^2
  z <- signif(sqrt(n.sim)*(mean(sim) - f(n)) / sd(sim), 3)
  hist(sim,xlab="rho(n)^2", main=paste("n =", n), sub=paste("Z =", z))
  abline(v=mean(sim), lwd=2, col="Red")
  abline(v=f(n), col="Blue", lwd=2, lty=3)
}

— व्हीबर
स्रोत

लिए मेरा मोंटे-कार्लो सिमुलेशन अनुमान लगभग 24 है (जो आपके परिणामों से सहमत प्रतीत होता है)। मैं यहां आपके विश्लेषण से सहमत हूं। आपको पता चल रहा होगा कि ओपी अपने नंबर पर कैसे आया (हालाँकि मैं लगभग .42, नहीं .56) की गणना करता हूँ।

E [ρ^{2}]

$E[\rho^2]$

T = 100

$T = 100$

— मैथ्यू गुन

यदि आप से बार-बार ड्रॉ निकाल सकते हैं , तो विशेष रूप से समय-श्रृंखला विश्लेषण के बारे में कुछ खास नहीं है। मुद्दे (जैसे। Ergodicity, स्टेशनरिटी आदि) ... तब विकसित होते हैं जब आप केवल समय को आगे बढ़ाकर नए मूल्यों का निरीक्षण कर सकते हैं जो मुझे लगा था कि ओपी में क्या पाने की कोशिश कर रहा था ... (लेकिन शायद नहीं)।

Ω

$\Omega$

X

$X$

t

$t$

— मैथ्यू गन

+1 लेकिन इस बारे में क्या अंतर्ज्ञान है कि यह सकारात्मक मूल्य , जबकि भोले व्यक्ति को उम्मीद होगी कि यदि कोई दो बहुत लंबे समय तक यादृच्छिक चलता है तो उनके पास शून्य-सहसंबंध होना चाहिए, यानी सहसंबंधों के वितरण की उम्मीद होगी शून्य के रूप में सिकुड़ने के लिए बढ़ता है?

9 / 40

$9/40$

n

$n$

— अमीबा का कहना है कि

@amoeba सबसे पहले, मैं पूरी तरह से के मूल्य पर विश्वास नहीं , लेकिन मुझे पता है कि यह सही होने के करीब है। अंतर्ज्ञान के लिए, विचार करें कि दो स्वतंत्र चलता और दो आयामों में एक यादृच्छिक चलना । 2 डी में किसी भी यादृच्छिक स्कैल्प्लॉट को लें और किसी भी तरह इसकी विलक्षणता को मापें। यह पूरी तरह से परिपत्र होना दुर्लभ होगा। इस प्रकार, हम उम्मीद करते हैं कि सकारात्मक होने का मतलब विलक्षणता है। वहाँ यादृच्छिक चलता है के लिए एक सीमित वितरण है कि इस 2 डी चलने के स्व-समान "भग्न" प्रकृति को दर्शाता है।

9 / 40

$9/40$

X_{t}

$X_t$

Y_{t}

$Y_t$

(X_{t}, Y_{t})

$(X_t,Y_t)$

— whuber

यहाँ चर्चा किए गए मुद्दों का एक विषम विश्लेषण फिलिप्स (1986), प्रमेय 1e में पाया जा सकता है ।

— क्रिस्टोफ हनक