पैरामीट्रिजेबल सहसंयोजक मैट्रिक्स के साथ सकारात्मक के-आयामी चतुर्थांश पर वितरण क्या हैं?

नकारात्मक सिमुलेशन के साथ उनकी समस्या पर zzk के सवाल के बाद , मैं सोच रहा हूं कि सकारात्मक के-आयामी क्वाड्रेंट, पर वितरण के पैरामीट्रिक परिवार क्या हैं, जिसके लिए सहसंयोजक मैट्रिक्स का सेट किया जा सकता है। $\mathbb{R}_+^k$ $\Sigma$

जैसा कि zzk के साथ चर्चा की गई है , पर वितरण शुरू करने और रैखिक परिवर्तन लगाने से काम नहीं करता है। $\mathbb{R}_+^k$ $X \longrightarrow\Sigma^{1/2} (X-\mu) + \mu$

distributions multivariate-analysis covariance

— शीआन
स्रोत

जवाबों:

मान लें कि हमारे पास एक बहुभिन्नरूपी सामान्य यादृच्छिक वेक्टर जिसमें और पूर्ण रैंक सममित सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स ।

(\log X_{1}, \dots, \log X_{k}) \sim N (μ, Σ),

$(\log X_1,\dots,\log X_k) \sim N(\mu,\Sigma) \, ,$

μ \in R^{k}

$\mu\in\mathbb{R}^k$

k \times k

$k\times k$

Σ = (σ_{i j})

$\Sigma=(\sigma_{ij})$

Lognormal के लिए यह है कि साबित करने के लिए मुश्किल नहीं है $(X_1,\dots,X_k)$

m_{i} := E [X_{i}] = e^{μ_{i} + σ_{i i} / 2}, i = 1, \dots, k,

$m_i := \textrm{E}[X_i] = e^{\mu_i + \sigma_{ii}/2} \, , \quad i=1,\dots,k\, ,$

c_{i j} := Cov [X_{i}, X_{j}] = m_{i} m_{j} (e^{σ_{i j}} - 1), i, j = 1, \dots, k,

$c_{ij} := \textrm{Cov}[X_i,X_j] = m_i \,m_j \,(e^{\sigma_{ij}} - 1) \, , \quad i,j=1,\dots,k\, ,$

और यह इस प्रकार है कि । $c_{ij}>-m_im_j$

इसलिए, हम का सवाल पूछ सकते हैं: दिए गए और सममिति सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स , संतोषजनक , अगर हम हमारे पास निर्धारित साधनों और सहूलियतों के साथ एक लॉगऑनॉर्मल वेक्टर होगा। $m=(m_1,\dots,m_k)\in\mathbb{R}^k_+$ $k\times k$ $C=(c_{ij})$ $c_{ij}>-m_im_j$

μ_{i} = \log m_{i} - \frac{1}{2} \log (\frac{c_{i i}}{m_{i}^{2}} + 1), i = 1, \dots, k,

$\mu_i = \log m_i - \frac{1}{2} \log\left(\frac{c_{ii}}{m_i^2} + 1 \right) \, , \quad i=1,\dots,k \, ,$

σ_{i j} = \log (\frac{c_{i j}}{m_{i} m_{j}} + 1), i, j = 1, \dots, k,

$\sigma_{ij} = \log\left(\frac{c_{ij}}{m_i m_j} + 1 \right) \, , \quad i,j=1,\dots,k \, ,$

और पर बाधा प्राकृतिक स्थिति । $C$ $m$ $\textrm{E}[X_i X_j]>0$

— जेन
स्रोत

भयानक, पाउलो! आपको काम करने वाले समाधान और सहसंयोजक मैट्रिक्स पर उचित स्थिति दोनों मिली, जो इस प्रश्न का उत्तर भी देती है । लॉग-नॉर्मल अंत में गामा की तुलना में हैंडियर साबित होते हैं।

— शीआन

वास्तव में, मेरे पास निश्चित रूप से पैदल यात्री समाधान है।

साथ प्रारंभ करें और , के मानों को फिट करने के लिए दो मापदंडों को चुनें। । $X_1\sim \text{Ga}(\alpha_{11},\beta_{1})$ $\mathbb{E}[X_1]$ $\text{var}(X_1)$
लो और के मूल्यों फिट करने के लिए तीन मापदंडों लेने , , और । $X_2|X_1\sim \text{Ga}(\alpha_{21}X_1+\alpha_{22},\beta_{2})$ $\mathbb{E}[X_2]$ $\text{var}(X_2)$ $\text{cov}(X_1,X_2)$
लो और के मूल्यों फिट करने के लिए चार मापदंडों लेने , , और । $X_3|X_1,X_2\sim \text{Ga}(\alpha_{31}X_1+\alpha_{32}X_2+\alpha_{33},\beta_{3})$ $\mathbb{E}[X_3]$ $\text{var}(X_3)$ $\text{cov}(X_1,X_3)$ $\text{cov}(X_2,X_3)$

और इसी तरह ... हालांकि, मापदंडों पर अड़चन और क्षण समीकरणों के गैर-रेखीय प्रकृति को देखते हुए, यह हो सकता है कि कुछ क्षणों का मानदंड के कोई स्वीकार्य सेट के अनुरूप हो।

उदाहरण के लिए, जब , मैं समीकरणों के सिस्टम के साथ समाप्त होता हूं $k=2$

β_{1} = μ_{1} / σ_{1}^{2}, α_{11} - μ_{1} β_{1} = 0

$\beta_1 =\mu_1/\sigma_1^2\,,\quad \alpha_{11}-\mu_1\beta_1 =0$

α_{22} = μ_{2} β_{2} - α_{21} μ_{1}, α_{21} = \frac{(σ_{12} + μ_{1} μ_{2} - μ_{2})}{σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2} - μ_{1}} β_{2}

$\alpha_{22} = \mu_2\beta_2 - \alpha_{21}\mu_1\,,\quad \alpha_{21} = \dfrac{(\sigma_{12}+\mu_1\mu_2-\mu_2)}{\sigma^2_1+\mu_1^2- \mu_1}\beta_2$

\frac{(σ_{12} + μ_{1} μ_{2} - μ_{2})^{2}}{(σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2} - μ_{1})^{2}} σ_{1}^{2} + \frac{μ_{2}}{β_{2}} = σ_{2}^{2} .

$\dfrac{(\sigma_{12}+\mu_1\mu_2-\mu_2)^2}{(\sigma^2_1+\mu_1^2- \mu_1)^2} \sigma_1^2 + \dfrac{\mu_2}{\beta_2} = \sigma^2_2\,.$ के लिए मनमाने ढंग से (और एक प्रायोरी स्वीकार्य) मूल्यों के साथ एक अनुसंधान कोड चल रहा है और कोई समाधान के साथ कई मामलों का नेतृत्व किया। फिर से, इसका बहुत मतलब नहीं है क्योंकि पर वितरण के लिए सहसंबंध matrices एक सकारात्मक सकारात्मक निर्धारक है कि मजबूत प्रतिबंध हो सकता है।

μ

$\mu$

Σ

$\Sigma$

R_{+}^{2}

$\mathbb{R}_+^2$

अद्यतन (04/04): गणित के मंच पर एक नए प्रश्न के रूप में इस प्रश्न को फिर से परिभाषित किया गया।

— शीआन
स्रोत

इसे धीरे-धीरे फैलाने का एक तरीका प्राकृतिक घातीय परिवार तब माध्य और सहसंयोजक के ग्रेडिएंट और हेसियन हैं । यदि एक बहुपद है (वास्तविक घातांक -1 के साथ) तो बहुपद का लॉग है (वास्तविक घातांक के साथ), और विचरण और हेसियन तर्कसंगत कार्य हैं। मुझे लगता है कि यह किसी भी माध्य और सहसंयोजक मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त स्वतंत्रता देता है।

f (X | θ) = h (x) e^{θ^{T} X - A (θ)} .

$f(\mathbf{X}|\mathbf\theta)=h(\mathbf{x})e^{\mathbf\theta^T\mathbf{X}-A(\mathbf\theta)}.$

A

$A$

h

$h$

A

$A$

— डेनिस

@ आइंस्टीन: (+1) क्या आपके पास एक उदाहरण है जहां इस घातीय परिवार के प्रतिनिधित्व का सीधा फायदा उठाया जा सकता है?

— शीआन

शायद मैं समस्या को काफी नहीं समझता। लेकिन, पर पूर्ण समर्थन के साथ एक ही सीमांत साथ एक द्विभाजित यादृच्छिक वेक्टर पर विचार और जिसका अर्थ । उदाहरण के लिए, ऐसे द्विभाजित वितरण में सहसंबंध -1 कैसे हो सकता है ? स्वाभाविक रूप से, हालांकि मैंने इसे अंजाम नहीं दिया है, ऐसा लगता है कि अगर , तो समर्थन के बारे में विरोधाभास पैदा होना चाहिए। नहीं?

(X, Y)

$(X,Y)$

F

$F$

R_{+}

$\mathbb R_{+}$

0 < μ < \infty

$0 < \mu < \infty$

ρ

$\rho$

P (X > 2 μ) > 0

$\mathbb P(X > 2 \mu) > 0$

— कार्डिनल

निश्चित रूप से सहसंयोजक मैट्रिक्स पर बाधाएं होती हैं जब समर्थन , पल स्थिति के माध्यम से कवर किया जाता है । वैसे भी, मैं यह नहीं देखता कि क्यों -1 के करीब सहसंबंध को प्राथमिकता से बाहर रखा गया है ।

Σ

$\Sigma$

R_{+}^{k}

$\mathbb{R}^k_+$

— शीआन

सही, यह इस बात से संबंधित है कि मुझे क्या मिल रहा था। सहसंबंध के बारे में, मेरे उदाहरण पर विचार करें। तो और में एक ही सीमांत राशि मतलब के साथ और वास्तव में की एक संबंध -1 और , का मूल्य क्या होना चाहिए के ऐसे सभी प्रतीति के लिए हो सकता है ? (प्रश्न और उत्तर दोनों पर +1। मुझे यह पसंद है।)

X

$X$

Y

$Y$

F

$F$

μ

$\mu$

P (X > 2 μ) > 0

$\mathbb P(X > 2 \mu) > 0$

Y

$Y$

X

$X$

— कार्डिनल

ठीक है, यह शीआन की टिप्पणी की प्रतिक्रिया है। यह बहुत लंबा है और एक आरामदायक टिप्पणी के लिए बहुत TeX है। कैविट लेक्टर: यह वास्तव में निश्चित है कि मैंने एक बीजगणित की गलती की है। यह उतना लचीला नहीं लगता जितना मैंने पहले सोचा था।

आइए हम फार्म में वितरण के के वितरण का एक परिवार बनाएं Let और । चलो एक दो अवधि बहुपद जहां हो सभी के लिए 0 से अधिक वास्तविक संख्याएं हैं । तब हम पाते हैं कि $\mathbb{R}_+^3$

f (x | θ) = h (x) e^{- θ^{T} x - A (θ)}

$f(\mathbf{x}|\mathbf\theta)=h(\mathbf{x})e^{-\mathbf\theta^T\mathbf{x}-A(\mathbf\theta)}$

x = (x, y, z)

$\mathbf{x}=(x,y,z)$

θ = (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})

$\mathbf\theta=(\theta_1,\theta_2,\theta_3)$

h (x) = c x_{1}^{e_{1} - 1} x_{2}^{e_{2} - 1} x_{3}^{e_{3} - 1} + d x_{1}^{f_{1} - 1} x_{2}^{f_{2} - 1} x_{3}^{f_{3} - 1}

$h(\mathbf{x})=c x_1^{e_1-1}x_2^{e_2-1}x_3^{e_3-1}+d x_1^{f_1-1}x_2^{f_2-1}x_3^{f_3-1}$

e_{i}, f_{i}

$e_i, f_i$

i

$i$

A (θ) = \log (c \frac{Γ (e_{1})}{θ_{1}^{e_{1}}} \frac{Γ (e_{2})}{θ_{2}^{e_{2}}} \frac{Γ (e_{3})}{θ_{3}^{e_{3}}} + d \frac{Γ (f_{1})}{θ_{1}^{f_{1}}} \frac{Γ (f_{2})}{θ_{2}^{f_{2}}} \frac{Γ (f_{3})}{θ_{3}^{f_{3}}}) .

$A(\mathbf\theta)=\log\left(c\frac{\Gamma(e_1)}{\theta_1^{e_1}}\frac{\Gamma(e_2)}{\theta_2^{e_2}}\frac{\Gamma(e_3)}{\theta_3^{e_3}}+d\frac{\Gamma(f_1)}{\theta_1^{f_1}}\frac{\Gamma(f_2)}{\theta_2^{f_2}}\frac{\Gamma(f_3)}{\theta_3^{f_3}}\right).$

अब, सुविधा के लिए, हमें और

c^{'} = c Γ (e_{1}) Γ (e_{2}) Γ (e_{2}) θ_{1}^{f_{1}} θ_{2}^{f_{2}} θ_{3}^{f_{3}}

$c'=c\Gamma(e_1)\Gamma(e_2)\Gamma(e_2)\theta_1^{f_1}\theta_2^{f_2}\theta_3^{f_3}$

d^{'} = d Γ (f_{1}) Γ (f_{2}) Γ (f_{2}) θ_{1}^{e_{1}} θ_{2}^{e_{2}} θ_{3}^{e_{3}}

$d'=d\Gamma(f_1)\Gamma(f_2)\Gamma(f_2)\theta_1^{e_1}\theta_2^{e_2}\theta_3^{e_3}$

अब, जैसा कि हमारे वितरण का मतलब का ग्रेडिएंट है , हमारे पास , , और । और जैसा कि सहसंयोजक का हेसियन है , हमारे पास और (स्पष्ट तरीके से सदस्यता बदलकर प्राप्त सहसंयोजक मैट्रिक्स की अन्य शर्तें)। $A$ $\mu_X=\frac{e_1c'+f_1d'}{\theta_1(c'+d')}$ $\mu_Y=\frac{e_2c'+f_2d'}{\theta_2(c'+d')}$ $\mu_Z=\frac{e_3c'+f_3d'}{\theta_3(c'+d')}$ $A$

σ_{X}^{2} = \frac{(e_{1} c^{'} + f_{1} d^{'}) (c^{'} + d^{'}) + (e_{1} - f_{1})^{2} c^{'} d^{'}}{θ_{1}^{2} (c^{'} + d^{'})^{2}}

$\sigma_X^2=\frac{(e_1c'+f_1d')(c'+d')+(e_1-f_1)^2c'd'}{\theta_1^2(c'+d')^2}$

Cov (X, Y) = \frac{(e_{1} - f_{1}) (e_{2} - f_{2}) c^{'} d^{'}}{θ_{1} θ_{2} (c^{'} + d^{'})}

$\text{Cov}(X,Y)=\frac{(e_1-f_1)(e_2-f_2)c'd'}{\theta_1\theta_2(c'+d')}$

यह किसी भी कोवरियन मैट्रिक्स को प्राप्त करने के लिए काफी पर्याप्त लचीलापन प्रतीत नहीं होता है। मुझे बहुपद में एक और शब्द की कोशिश करने की ज़रूरत है (लेकिन मुझे संदेह है कि यह भी काम नहीं कर सकता है (जाहिर है मुझे इसके बारे में और अधिक सोचने की ज़रूरत है))।

— deinst
स्रोत

पाँच बाधाओं के लिए चार पैरामीटर ...?

(θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}, c)

$(\theta_1,\theta_2,\theta_3,c)$

— शीआन

@ xian के 6 घातांक और भी हैं।

e_{i}

$e_i$

f_{i}

$f_i$

— डेन्स

मैं थोड़ा (?) उलझन में हूं: आपने घातांक को घातीय परिवार के मापदंडों के रूप में संसाधित नहीं किया है। लेकिन वास्तव में आप उन शक्तियों को बदल सकते हैं जैसा कि आप चाहते हैं कि 9 पल समीकरण सही हों।

— शीआन

@ शीआन आप सही हैं, मैंने उन्हें घातीय परिवार के मापदंडों के रूप में संसाधित नहीं किया। ऐसा करने से परिवार अब एक प्राकृतिक परिवार नहीं रह जाता, और उनमें से सिर्फ बीज समीकरणों को बदलने के लिए बीजगणित को पिघला दिया होता (जो कि शुरू करने के लिए पर्याप्त रूप से पिघला हुआ था)।

— डेनिस