क्यों हम एक सामान्य वितरण के के लिए एक पक्षपाती और भ्रामक मानक विचलन सूत्र का उपयोग कर रहे हैं ?

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यह एक सदमे का एक सा के रूप में मेरे लिए पहली बार मैं एक सामान्य वितरण मोंटे कार्लो सिमुलेशन किया था और पता चला कि का मतलब आया से मानक विचलन नमूने, सब केवल का एक नमूना आकार होने , बहुत कम साबित हुई की तुलना में, औसत, बार, जनसंख्या को उत्पन्न करने के लिए उपयोग किए जाने वाले । हालांकि, यह अच्छी तरह से ज्ञात है, अगर शायद ही कभी याद किया जाता है, और मुझे पता है कि, या मैंने एक सिमुलेशन नहीं किया होगा। यहाँ एक सिमुलेशन है। $100$ $100$ $n=2$ $\sqrt{\frac{2}{\pi }}$ $\sigma$

यहाँ के 95% विश्वास अंतराल की भविष्यवाणी के लिए एक उदाहरण है 100 का उपयोग करते हुए, , के अनुमान , और । $N(0,1)$ $n=2$ $\text{SD}$ $\text{E}(s_{n=2})=\sqrt\frac{\pi}{2}\text{SD}$

 RAND()   RAND()    Calc    Calc    
 N(0,1)   N(0,1)    SD      E(s)    
-1.1171  -0.0627    0.7455  0.9344  
 1.7278  -0.8016    1.7886  2.2417  
 1.3705  -1.3710    1.9385  2.4295  
 1.5648  -0.7156    1.6125  2.0209  
 1.2379   0.4896    0.5291  0.6632  
-1.8354   1.0531    2.0425  2.5599  
 1.0320  -0.3531    0.9794  1.2275  
 1.2021  -0.3631    1.1067  1.3871  
 1.3201  -1.1058    1.7154  2.1499  
-0.4946  -1.1428    0.4583  0.5744  
 0.9504  -1.0300    1.4003  1.7551  
-1.6001   0.5811    1.5423  1.9330  
-0.5153   0.8008    0.9306  1.1663  
-0.7106  -0.5577    0.1081  0.1354  
 0.1864   0.2581    0.0507  0.0635  
-0.8702  -0.1520    0.5078  0.6365  
-0.3862   0.4528    0.5933  0.7436  
-0.8531   0.1371    0.7002  0.8775  
-0.8786   0.2086    0.7687  0.9635  
 0.6431   0.7323    0.0631  0.0791  
 1.0368   0.3354    0.4959  0.6216  
-1.0619  -1.2663    0.1445  0.1811  
 0.0600  -0.2569    0.2241  0.2808  
-0.6840  -0.4787    0.1452  0.1820  
 0.2507   0.6593    0.2889  0.3620  
 0.1328  -0.1339    0.1886  0.2364  
-0.2118  -0.0100    0.1427  0.1788  
-0.7496  -1.1437    0.2786  0.3492  
 0.9017   0.0022    0.6361  0.7972  
 0.5560   0.8943    0.2393  0.2999  
-0.1483  -1.1324    0.6959  0.8721  
-1.3194  -0.3915    0.6562  0.8224  
-0.8098  -2.0478    0.8754  1.0971  
-0.3052  -1.1937    0.6282  0.7873  
 0.5170  -0.6323    0.8127  1.0186  
 0.6333  -1.3720    1.4180  1.7772  
-1.5503   0.7194    1.6049  2.0115  
 1.8986  -0.7427    1.8677  2.3408  
 2.3656  -0.3820    1.9428  2.4350  
-1.4987   0.4368    1.3686  1.7153  
-0.5064   1.3950    1.3444  1.6850  
 1.2508   0.6081    0.4545  0.5696  
-0.1696  -0.5459    0.2661  0.3335  
-0.3834  -0.8872    0.3562  0.4465  
 0.0300  -0.8531    0.6244  0.7826  
 0.4210   0.3356    0.0604  0.0757  
 0.0165   2.0690    1.4514  1.8190  
-0.2689   1.5595    1.2929  1.6204  
 1.3385   0.5087    0.5868  0.7354  
 1.1067   0.3987    0.5006  0.6275  
 2.0015  -0.6360    1.8650  2.3374  
-0.4504   0.6166    0.7545  0.9456  
 0.3197  -0.6227    0.6664  0.8352  
-1.2794  -0.9927    0.2027  0.2541  
 1.6603  -0.0543    1.2124  1.5195  
 0.9649  -1.2625    1.5750  1.9739  
-0.3380  -0.2459    0.0652  0.0817  
-0.8612   2.1456    2.1261  2.6647  
 0.4976  -1.0538    1.0970  1.3749  
-0.2007  -1.3870    0.8388  1.0513  
-0.9597   0.6327    1.1260  1.4112  
-2.6118  -0.1505    1.7404  2.1813  
 0.7155  -0.1909    0.6409  0.8033  
 0.0548  -0.2159    0.1914  0.2399  
-0.2775   0.4864    0.5402  0.6770  
-1.2364  -0.0736    0.8222  1.0305  
-0.8868  -0.6960    0.1349  0.1691  
 1.2804  -0.2276    1.0664  1.3365  
 0.5560  -0.9552    1.0686  1.3393  
 0.4643  -0.6173    0.7648  0.9585  
 0.4884  -0.6474    0.8031  1.0066  
 1.3860   0.5479    0.5926  0.7427  
-0.9313   0.5375    1.0386  1.3018  
-0.3466  -0.3809    0.0243  0.0304  
 0.7211  -0.1546    0.6192  0.7760  
-1.4551  -0.1350    0.9334  1.1699  
 0.0673   0.4291    0.2559  0.3207  
 0.3190  -0.1510    0.3323  0.4165  
-1.6514  -0.3824    0.8973  1.1246  
-1.0128  -1.5745    0.3972  0.4978  
-1.2337  -0.7164    0.3658  0.4585  
-1.7677  -1.9776    0.1484  0.1860  
-0.9519  -0.1155    0.5914  0.7412  
 1.1165  -0.6071    1.2188  1.5275  
-1.7772   0.7592    1.7935  2.2478  
 0.1343  -0.0458    0.1273  0.1596  
 0.2270   0.9698    0.5253  0.6583  
-0.1697  -0.5589    0.2752  0.3450  
 2.1011   0.2483    1.3101  1.6420  
-0.0374   0.2988    0.2377  0.2980  
-0.4209   0.5742    0.7037  0.8819  
 1.6728  -0.2046    1.3275  1.6638  
 1.4985  -1.6225    2.2069  2.7659  
 0.5342  -0.5074    0.7365  0.9231  
 0.7119   0.8128    0.0713  0.0894  
 1.0165  -1.2300    1.5885  1.9909  
-0.2646  -0.5301    0.1878  0.2353  
-1.1488  -0.2888    0.6081  0.7621  
-0.4225   0.8703    0.9141  1.1457  
 0.7990  -1.1515    1.3792  1.7286  

 0.0344  -0.1892    0.8188  1.0263  mean E(.)
                    SD pred E(s) pred   
-1.9600  -1.9600   -1.6049 -2.0114    2.5%  theor, est
 1.9600   1.9600    1.6049  2.0114   97.5%  theor, est
                    0.3551 -0.0515    2.5% err
                   -0.3551  0.0515   97.5% err

ग्रैंड योग देखने के लिए स्लाइडर को नीचे खींचें। अब, मैंने शून्य के औसत के आसपास 95% विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए साधारण एसडी अनुमानक का उपयोग किया, और वे 0.3551 मानक विचलन इकाइयों द्वारा बंद हैं। ई (एस) अनुमानक केवल 0.0515 मानक विचलन इकाइयों द्वारा बंद है। यदि कोई मानक विचलन, माध्य या टी-सांख्यिकी की मानक त्रुटि का अनुमान लगाता है, तो समस्या हो सकती है।

मेरा तर्क इस प्रकार था, जनसंख्या का मतलब है, दो मूल्यों में से एक संबंध में कहीं भी हो सकता है और निश्चित रूप से पर स्थित नहीं है , जो बाद में पूर्ण न्यूनतम संभव राशि के लिए बनाता है। ताकि हम underestimating रहे चुकता काफी हद तक, के रूप में इस प्रकार है $\mu$ $x_1$ $\frac{x_1+x_2}{2}$ $\sigma$

wlog let , तब है , कम से कम संभव परिणाम। $x_2-x_1=d$ $\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$ $2 (\frac{d}{2})^2=\frac{d^2}{2}$

इसका मतलब है कि मानक विचलन की गणना

$\text{SD}=\sqrt{\frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$ ,

जनसंख्या मानक विचलन ( ) का एक पक्षपाती अनुमानक है । ध्यान दें, उस सूत्र में हम की स्वतंत्रता की डिग्री को 1 से घटाते हैं और विभाजित करते हैं , अर्थात, हम कुछ सुधार करते हैं, लेकिन यह केवल स्पर्शोन्मुख रूप से सही है, और अंगूठे का एक बेहतर नियम होगा । हमारे उदाहरण के लिए फॉर्मूला हमें , जो सांख्यिकीय रूप से न्यूनतम मान , जहां एक बेहतर अपेक्षित मूल्य ( ) होगा $\sigma$ $n$ $n-1$ $n-3/2$ $x_2-x_1=d$ $\text{SD}$ $SD=\frac{d}{\sqrt 2}\approx 0.707d$ $\mu\neq \bar{x}$ $s$ $E(s)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{d}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt\pi }{2}d\approx0.886d$ । सामान्य गणना के लिए, , बहुत महत्वपूर्ण अंडरस्टीमेशन से पीड़ित होते हैं जिसे छोटी संख्या पूर्वाग्रह कहा जाता है , जो केवल लगभग होने पर का 1% कम आंकना होता है । चूंकि कई जैविक प्रयोगों में , यह वास्तव में एक मुद्दा है। के लिए , त्रुटि लगभग 100,000 में 25 भागों है। सामान्य तौर पर, छोटी संख्या के पूर्वाग्रह सुधार का अर्थ है कि सामान्य वितरण का जनसंख्या मानक विचलन का निष्पक्ष अनुमानक है $n<10$ $\text{SD}$ $\sigma$ $n$ $25$ $n<25$ $n=1000$

$\text{E}(s)\,=\,\,\frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\sqrt{\frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{2}}>\text{SD}=\sqrt{\frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}\; .$

से विकिपीडिया एक लाइसेंस क्रिएटिव कॉमन्स के तहत एसडी के मूल्यवान समझना के एक भूखंड है $\sigma$

चूँकि SD जनसंख्या मानक विचलन का एक पक्षपाती आकलनकर्ता है, यह जनसंख्या मानक विचलन का न्यूनतम विचरण निष्पक्ष अनुमानक MVUE नहीं हो सकता जब तक कि हम यह कहते हुए खुश न हों कि यह MVUE है , जो कि मैं, एक के लिए नहीं हूँ। $n\rightarrow \infty$

गैर-सामान्य वितरण के बारे में और लगभग निष्पक्ष ने इसे पढ़ा । $SD$

अब आता है सवाल Q1

यह साबित किया जा सकता है कि ऊपर MVUE के लिए है नमूना आकार की एक सामान्य वितरण की , जहां एक से एक सकारात्मक पूर्णांक कौन बड़ा है? $\text{E}(s)$ $\sigma$ $n$ $n$

संकेत: (लेकिन जवाब नहीं) देखें कि मैं सामान्य वितरण से नमूना मानक विचलन का मानक विचलन कैसे पा सकता हूं? ।

अगला प्रश्न, Q2

क्या कोई मुझे यह समझाएगा कि हम क्यों का उपयोग कर रहे हैं, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से पक्षपाती और भ्रामक है? यही कारण है, क्यों नहीं सबसे अधिक सब कुछ के लिए उपयोग करें ? $\text{SD}$ $\text{E}(s)$ अनुपूरक, यह नीचे दिए गए उत्तरों में स्पष्ट हो गया है कि विचरण निष्पक्ष है, लेकिन इसका वर्गमूल पक्षपाती है। मैं अनुरोध करूंगा कि जब निष्पक्ष मानक विचलन का उपयोग किया जाना चाहिए, तो यह सवाल का जवाब देता है।

जैसा कि यह पता चला है, एक आंशिक उत्तर यह है कि उपरोक्त सिमुलेशन में पूर्वाग्रह से बचने के लिए, एसडी-मानों के बजाय भिन्नताओं को औसत किया जा सकता था। इसके प्रभाव को देखने के लिए, यदि हम ऊपर एसडी कॉलम को स्क्वायर करते हैं, और उन मानों को औसत करते हैं जो हमें 0.9994 मिलते हैं, जिसका वर्गमूल मानक विचलन 0.9996915 का अनुमान है और जिसके लिए त्रुटि 2.5% पूंछ के लिए केवल 0.0006 है। -0.0006 95% पूंछ के लिए। ध्यान दें कि यह इसलिए है क्योंकि variances additive हैं, इसलिए औसतन यह एक कम त्रुटि प्रक्रिया है। हालांकि, मानक विचलन पक्षपाती हैं, और उन मामलों में जहां हमारे पास मध्यस्थ के रूप में वेरिएंस का उपयोग करने की लक्जरी नहीं है, हमें अभी भी छोटी संख्या में सुधार की आवश्यकता है। भले ही हम इस मामले में लिए एक मध्यस्थ के रूप में विचरण का उपयोग कर सकते हैं $n=100$ , छोटा नमूना सुधार, मानक विचलन के एक निष्पक्ष अनुमान के रूप में 1.002219148 देने के लिए निष्पक्ष विचरण 0.9996915 के वर्गमूल को 1.002528401 से गुणा करने का सुझाव देता है। तो, हाँ, हम छोटी संख्या में सुधार का उपयोग करने में देरी कर सकते हैं लेकिन क्या हमें इसे पूरी तरह से अनदेखा करना चाहिए?

यहाँ सवाल यह है कि हमें कब छोटी संख्या में सुधार का उपयोग करना चाहिए, जैसा कि इसके उपयोग को नजरअंदाज करने के विपरीत है, और मुख्य रूप से, हमने इसके उपयोग से बचा है।

यहां एक और उदाहरण है, एक रेखीय प्रवृत्ति को स्थापित करने के लिए अंतरिक्ष में न्यूनतम संख्या जो एक त्रुटि है तीन है। यदि हम इन बिंदुओं को साधारण कम से कम वर्गों के साथ फिट करते हैं, तो ऐसे कई फिट के लिए परिणाम एक मुड़ा हुआ सामान्य अवशिष्ट पैटर्न है यदि गैर-रैखिकता और आधा सामान्य है अगर रैखिकता है। आधे-सामान्य मामले में हमारे वितरण का मतलब छोटी संख्या में सुधार की आवश्यकता है। यदि हम 4 या अधिक बिंदुओं के साथ एक ही चाल की कोशिश करते हैं, तो वितरण आम तौर पर सामान्य से संबंधित नहीं होगा या विशेषता के लिए आसान नहीं होगा। क्या हम किसी भी तरह 3-बिंदु परिणामों को संयोजित करने के लिए विचरण का उपयोग कर सकते हैं? शायद, शायद नहीं। हालांकि, दूरियों और वैक्टर के मामले में समस्याओं की कल्पना करना आसान है।

— कार्ल
स्रोत

टिप्पणियाँ विस्तारित चर्चा के लिए नहीं हैं; इस वार्तालाप को बातचीत में स्थानांतरित कर दिया गया है ।

— whuber

3

Q1: लेहमैन-शेफ़े प्रमेय देखें।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

1

जरूरी नहीं कि एक अनुमानक का नॉनजरो पूर्वाग्रह एक खामी हो। उदाहरण के लिए, यदि हम वर्गाकार नुकसान के तहत एक सटीक अनुमानक की इच्छा रखते हैं, तो हम पूर्वाग्रह को प्रेरित करने के लिए तैयार हैं, क्योंकि यह पर्याप्त रूप से बड़ी मात्रा में विचरण को कम करता है। यही कारण है कि (पक्षपाती) नियमित अनुमानक एक रेखीय प्रतिगमन मॉडल में (निष्पक्ष) ओएलएस अनुमानक की तुलना में बेहतर प्रदर्शन कर सकते हैं, उदाहरण के लिए।

— रिचर्ड हार्डी

3

@ अलग-अलग एप्लिकेशन क्षेत्रों में कई शर्तों का अलग-अलग तरीके से उपयोग किया जाता है। यदि आप एक आँकड़े समूह में पोस्ट कर रहे हैं और आप शब्द "पूर्वाग्रह" की तरह शब्दजाल का उपयोग करते हैं, तो आप स्वाभाविक रूप से आँकड़ों के लिए विशेष शब्द के विशिष्ट अर्थ का उपयोग कर रहे होंगे। यदि आप किसी और चीज से मतलब रखते हैं, तो किसी दूसरे पद का उपयोग करना या स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए आवश्यक है कि आप पहले उपयोग के दौरान इस शब्द का क्या मतलब है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

2

"पूर्वाग्रह" निश्चित रूप से शब्दजाल का एक शब्द है - किसी व्यक्ति या समूह द्वारा उपयोग किए जाने वाले विशेष शब्द या भाव जो दूसरों के लिए समझना मुश्किल है कि "पूर्वाग्रह" बहुत अधिक है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इस तरह की शर्तों में उनके आवेदन क्षेत्रों (गणितीय परिभाषाओं सहित) में सटीक, विशेष परिभाषाएं हैं जो उन्हें शब्दजाल शब्द बनाती हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

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अधिक प्रतिबंधित प्रश्न के लिए

एक पक्षपाती मानक विचलन सूत्र आमतौर पर क्यों उपयोग किया जाता है?

सरल जवाब

क्योंकि संबंधित विचरण अनुमान निष्पक्ष है। कोई वास्तविक गणितीय / सांख्यिकीय औचित्य नहीं है।

कई मामलों में सटीक हो सकता है।

हालांकि, यह हमेशा जरूरी नहीं है। इन मुद्दों के कम से कम दो महत्वपूर्ण पहलू हैं जिन्हें समझा जाना चाहिए।

सबसे पहले, सैंपल वेरिएंट केवल गॉसियन रैंडम वैरिएबल के लिए निष्पक्ष नहीं है। यह परिमित (जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, मेरे मूल उत्तर में) के साथ किसी भी वितरण के लिए निष्पक्ष है । यह प्रश्न नोट करता है कि लिए निष्पक्ष नहीं है , और एक विकल्प बताता है जो कि Gaussb यादृच्छिक चर के लिए निष्पक्ष है। हालांकि यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि विचलन के विपरीत, मानक विचलन के लिए "वितरण मुक्त" निष्पक्ष अनुमानक (* नीचे नोट देखें) होना संभव नहीं है। $s^2$ $\sigma^2$ $s$ $\sigma$

दूसरा, तथ्य यह है कि whuber द्वारा टिप्पणी में उल्लिखित पक्षपाती है करता नहीं मानक "टी परीक्षण" प्रभावित करते हैं। सबसे पहले ध्यान दें कि, के लिए एक गाऊसी चर , अगर हम एक नमूना से अनुमान लगाने के Z- स्कोर के रूप में $s$ $x$ $\{x_i\}$ तो ये पक्षपाती होंगे।

z_{i} = \frac{x_{i} - μ}{σ} \approx \frac{x_{i} - \bar{x}}{s}

$z_i=\frac{x_i-\mu}{\sigma}\approx\frac{x_i-\bar{x}}{s}$

हालांकि टी आंकड़ा आमतौर पर के संदर्भ में प्रयोग किया जाता है नमूना वितरण की । इस मामले में z- स्कोर होगा $\bar{x}$ हालांकि हम न तोऔरनहीगणना कर सकते हैं, क्योंकि हमनहीं जानते हैं। फिर भी, यदि स्टेटिस्टिक सामान्य होगा, तोस्टेटिस्टिकस्टूडेंट-टी वितरण का पालन करेगा। यह एक बड़ा-सन्निकटन नहीं है। एकमात्र धारणा यह है किनमूने Iid गॉसियन हैं।

z_{\bar{x}} = \frac{\bar{x} - μ}{σ_{\bar{x}}} \approx \frac{\bar{x} - μ}{s / \sqrt{n}} = t

$z_{\bar{x}}=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma_{\bar{x}}}\approx\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}=t$

z

$z$

t

$t$

μ

$\mu$

z_{\bar{x}}

$z_{\bar{x}}$

t

$t$

n

$n$

x

$x$

(आमतौर पर संभवतः गैर-गौसियन लिए अधिक व्यापक रूप से टी-टेस्ट लागू किया जाता है । यह बड़े- पर निर्भर करता है , जो केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा सुनिश्चित करता है कि अभी भी गाऊसी होगा।) $x$ $n$ $\bar{x}$

* "वितरण-मुक्त निष्पक्ष अनुमानक" पर स्पष्टीकरण

"वितरण मुक्त" से मेरा मतलब है कि अनुमानक नमूना से अलग आबादी बारे में किसी भी जानकारी पर निर्भर नहीं हो सकता है । द्वारा "निष्पक्ष" मेरा मतलब है कि अपेक्षित त्रुटि समान रूप से शून्य, नमूना आकार से स्वतंत्र है । (जैसा कि एक अनुमानक के विपरीत है, जो केवल अस्वाभाविक रूप से निष्पक्ष है, उर्फ " सुसंगत " है, जिसके लिए पूर्वाग्रह रूप में गायब हो जाता है ।) $x$ $\{x_1,\ldots,x_n\}$ $\mathbb{E}[\hat{\theta}_n]-\theta$ $n$ $n\to\infty$

टिप्पणियों में यह "वितरण-मुक्त निष्पक्ष अनुमानक" के संभावित उदाहरण के रूप में दिया गया था। थोड़ा सार संक्षेप, इस आकलनकर्ता फार्म की है , जहां से अधिक कुकुदता है । इस आकलनकर्ता है नहीं के रूप में, "वितरण मुक्त" के वितरण पर निर्भर करता है । आकलनकर्ता संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है कि $\hat{\sigma}=f[s,n,\kappa_x]$ $\kappa_x$ $x$ $\kappa_x$ $x$ , जहां के विचरण है। इसलिए अनुमानक सुसंगत है, लेकिन ([बिल्कुल) "निष्पक्ष" नहीं है, जैसा कि $\mathbb{E}[\hat{\sigma}]-\sigma_x=\mathrm{O}[\frac{1}{n}]$ $\sigma_x^2$ $x$ छोटेलिए मनमाने ढंग से बड़ा हो सकता है। $\mathrm{O}[\frac{1}{n}]$ $n$

नोट: नीचे मेरा मूल "उत्तर" है। यहां से, टिप्पणियां मानक "नमूना" माध्य और विचरण के बारे में हैं, जो कि "वितरण-मुक्त" निष्पक्ष अनुमानक हैं (अर्थात जनसंख्या गौसियन नहीं मानी जाती है)।

यह एक पूर्ण उत्तर नहीं है, बल्कि इस बात पर स्पष्टीकरण है कि आमतौर पर नमूना प्रसरण सूत्र का उपयोग क्यों किया जाता है।

नमूने के तौर पर देखते हुए , जब तक कि चर एक आम मतलब है, आकलनकर्ता $\{x_1,\ldots,x_n\}$ हो जाएगानिष्पक्ष, यानी $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_ix_i$

E [x_{i}] = μ ⟹ E [\bar{x}] = μ

$\mathbb{E}[x_i]=\mu \implies \mathbb{E}[\bar{x}]=\mu$

यदि चर में भी एक समान परिमित विचरण होता है, और वे असंबद्ध होते हैं , तो अनुमानक होगाभीनिष्पक्ष हो, यानी $s^2=\frac{1}{n-1}\sum_i(x_i-\bar{x})^2$ ध्यान दें कि इन आकलनकर्ता की निष्पक्षता निर्भर करता हैकेवलऊपर मान्यताओं पर (औरlinearityउम्मीद की; सबूत सिर्फ बीजगणित है)। परिणामकिसी विशेष वितरण पर निर्भरनहींकरता है, जैसे कि गौसियन। चर करनानहींएक सामान्य वितरण के लिए है, और वे भी होने की जरूरत नहीं हैस्वतंत्र(यानी नमूना होने के लिए नहीं हैआईआईडी)।

E [x_{i} x_{j}] - μ^{2} = {\begin{cases} σ^{2} & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases} ⟹ E [s^{2}] = σ^{2}

$\mathbb{E}[x_ix_j]-\mu^2=\begin{cases}\sigma^2&i=j\\0&i\neq{j}\end{cases} \implies \mathbb{E}[s^2]=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

"नमूना मानक विचलन" है नहीं एक निष्पक्ष आकलनकर्ता, , लेकिन फिर भी यह आमतौर पर इस्तेमाल किया जाता है। मेरा अनुमान है कि यह केवल इसलिए है क्योंकि यह निष्पक्ष नमूना विचरण का वर्गमूल है। (अधिक परिष्कृत औचित्य के साथ नहीं।) $s$ $\mathbb{s}\neq\sigma$

एक आईआईडी गाऊसी नमूना के मामले में, अधिकतम संभावना अनुमान मापदंडों के (MLE) कर रहे हैं और $\hat{\mu}_\mathrm{MLE}=\bar{x}$ , अर्थातबजायद्वारा विचरण करता है। इसके अलावा, iid गाऊसी मामले में मानक विचलन MLE केवल MLE संस्करण का वर्गमूल है। हालाँकि ये सूत्र, साथ ही साथ आपके प्रश्न में संकेत दिए गए, गौसियन आइड धारणा पर निर्भर करते हैं। $(\hat{\sigma}^2)_\mathrm{MLE}=\frac{n-1}{n}s^2$ $n$ $n^2$

अद्यतन: "पक्षपाती" बनाम "निष्पक्ष" पर अतिरिक्त स्पष्टीकरण।

एक पर विचार करें ऊपर के रूप में तत्व नमूना, , योग वर्ग विचलन के साथ मान्यताओं पहले भाग से ऊपर में उल्लिखित को देखते हुए , हम जरूरी है इतना (Gaussian-) MLE आकलनकर्ता पक्षपाती है $n$ $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$

δ_{n}^{2} = \sum_{i} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$\delta^2_n=\sum_i(x_i-\bar{x})^2$

E [δ_{n}^{2}] = (n - 1) σ^{2}

$\mathbb{E}[\delta^2_n]=(n-1)\sigma^2$

जबकि "नमूना प्रसरण" अनुमानक निष्पक्ष

\hat{σ_{n}^{2}} = \frac{1}{n} δ_{n}^{2} ⟹ E [\hat{σ_{n}^{2}}] = \frac{n - 1}{n} σ^{2}

$\widehat{\sigma^2_n}=\tfrac{1}{n}\delta^2_n \implies \mathbb{E}[\widehat{\sigma^2_n}]=\tfrac{n-1}{n}\sigma^2$

s_{n}^{2} = \frac{1}{n - 1} δ_{n}^{2} ⟹ E [s_{n}^{2}] = σ^{2}

$s^2_n=\tfrac{1}{n-1}\delta^2_n \implies \mathbb{E}[s^2_n]=\sigma^2$

अब यह है कि सच है हो जाता है कम पक्षपाती नमूना आकार के रूप में बढ़ जाती है। हालांकि है शून्य पूर्वाग्रह नहीं नमूने का आकार (जब तक कि कोई फर्क )। दोनों अनुमानकों के लिए, उनके नमूना वितरण का विचरण गैर-शून्य होगा, और पर निर्भर करेगा । $\widehat{\sigma^2_n}$ $n$ $s^2_n$ $n>1$ $n$

एक उदाहरण के रूप में, नीचे दिया गया माटलब कोड एक मानक-सामान्य जनसंख्या से नमूनों के साथ एक प्रयोग मानता है । के लिए नमूना वितरण का अनुमान लगाने के , प्रयोग को दोहराया है बार। (आप स्वयं इसे आज़माने के लिए कोड को यहाँ काट और पेस्ट कर सकते हैं ।) $n=2$ $z$ $\bar{x},\widehat{\sigma^2},s^2$ $N=10^6$

% n=sample size, N=number of samples
n=2; N=1e6;
% generate standard-normal random #'s
z=randn(n,N); % i.e. mu=0, sigma=1
% compute sample stats (Gaussian MLE)
zbar=sum(z)/n; zvar_mle=sum((z-zbar).^2)/n;
% compute ensemble stats (sampling-pdf means)
zbar_avg=sum(zbar)/N, zvar_mle_avg=sum(zvar_mle)/N
% compute unbiased variance
zvar_avg=zvar_mle_avg*n/(n-1)

ठेठ उत्पादन की तरह है

zbar_avg     =  1.4442e-04
zvar_mle_avg =  0.49988
zvar_avg     =  0.99977

पुष्टि है कि

\begin{aligned} E [\bar{z}] & \approx \bar{(\bar{z})} \approx μ = 0 \\ E [s^{2}] & \approx \bar{(s^{2})} \approx σ^{2} = 1 \\ E [\hat{σ^{2}}] & \approx \bar{(\hat{σ^{2}})} \approx \frac{n - 1}{n} σ^{2} = \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}[\bar{z}]&\approx\overline{(\bar{z})}\approx\mu=0 \\ \mathbb{E}[s^2]&\approx\overline{(s^2)}\approx\sigma^2=1 \\ \mathbb{E}[\widehat{\sigma^2}]&\approx\overline{(\widehat{\sigma^2})}\approx\frac{n-1}{n}\sigma^2=\frac{1}{2} \end{align}$

अपडेट 2: मौलिक रूप से "बीजीय" निष्पक्ष-नेस की प्रकृति पर ध्यान दें।

उपरोक्त संख्यात्मक प्रदर्शन में, कोड सही उम्मीद दर्शाता है प्रयोग के प्रतिकृति केसाथ एक पहनावा औसत का उपयोग करना(अर्थात प्रत्येक आकार का एक नमूना है)। इस बड़ी संख्या के साथ भी, ऊपर उद्धृत विशिष्ट परिणाम सटीक से बहुत दूर हैं। $\mathbb{E}[\,]$ $N=10^6$ $n=2$

संख्यानुसार प्रदर्शित करने के लिए कि आकलनकर्ता हैं वास्तव में निष्पक्ष, हम एक का उपयोग कर सकते सरल चाल अनुमान लगाने के लिए मामला: बस कोड के लिए निम्न पंक्ति जोड़ें $N\to\infty$

% optional: "whiten" data (ensure exact ensemble stats)
[U,S,V]=svd(z-mean(z,2),'econ'); z=sqrt(N)*U*V';

("स्टैण्डर्ड-नॉर्मल रैंडम # 's उत्पन्न करने के बाद और" कंप्लीट सैंपल स्टैटिस्टिक्स "से पहले)

इस सरल परिवर्तन के साथ, यहां तक कि के साथ कोड चलाना भी परिणाम देता है $N=10$

zbar_avg     =  1.1102e-17
zvar_mle_avg =  0.50000
zvar_avg     =  1.00000

— GeoMatt22
स्रोत

3

@amoeba खैर, मैं अपनी टोपी खाऊंगा। मैंने प्रत्येक पंक्ति में SD-मानों को चुकता किया और फिर उन्हें औसतन छोड़ दिया और वे निष्पक्ष (0.9994) निकले, जबकि SD-मान स्वयं नहीं हैं। मतलब कि आप और GeoMatt22 सही हैं, और मैं गलत हूं।

— कार्ल

2

@Carl: It's generally true that transforming an unbiased estimator of a parameter doesn't give an unbiased estimate of the transformed parameter except when the transformation is affine, following from the linearity of expectation. So on what scale is unbiasedness important to you?

— Scortchi - Reinstate Monica

4

Carl: I apologize if you feel my answer was orthogonal to your question. It was intended to provide a plausible explanation of Q:"why a biased standard deviation formula is typically used?" A:"simply because the associated variance estimator is unbiased, vs. any real mathematical/statistical justification". As for your comment, typically "unbiased" describes an estimator whose expected value is correct independent of sample size. If it is unbiased only in the limit of infinite sample size, typically it would be called "consistent".

— GeoMatt22

3

(+1) Nice answer. Small caveat: That Wikipedia passage on consistency quoted in this answer is a bit of a mess and the parenthetical statement made related to it is potentially misleading. "Consistency" and "asymptotic unbiasedness" are in some sense orthogonal properties of an estimator. For a little more on that point, see the comment thread to this answer.

— cardinal

3

+1 but I think @Scortchi makes a really important point in his answer that is not mentioned in yours: namely, that even for Gaussian population, the unbiased estimate of

σ

$\sigma$ has higher expected error than the standard biased estimate of

σ

$\sigma$ (due to the high variance of the former). This is a strong argument in favour of not using an unbiased estimator even if one knows that the underlying distribution is Gaussian.

— amoeba says Reinstate Monica

15

The sample standard deviation $S=\sqrt{\frac{\sum (X - \bar{X})^2}{n-1}}$ is complete and sufficient for $\sigma$ so the set of unbiased estimators of $\sigma^k$ given by

\frac{(n - 1)^{\frac{k}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}} \cdot \frac{Γ (\frac{n - 1}{2})}{Γ (\frac{n + k - 1}{2})} \cdot S^{k} = \frac{S^{k}}{c_{k}}

$\frac{(n-1)^\frac{k}{2}}{2^\frac{k}{2}} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+k-1}{2}\right)} \cdot S^k = \frac{S^k}{c_k}$

(See Why is sample standard deviation a biased estimator of $\sigma$ ?) are, by the Lehmann–Scheffé theorem, UMVUE. Consistent, though biased, estimators of $\sigma^k$ can also be formed as

{\tilde{σ}}_{j}^{k} = {(\frac{S^{j}}{c_{j}})}^{\frac{k}{j}}

$\tilde{\sigma}^k_j= \left(\frac{S^j}{c_j}\right)^\frac{k}{j}$

(the unbiased estimators being specified when $j=k$ ). The bias of each is given by

E {\tilde{σ}}_{j}^{k} - σ^{k} = (\frac{c_{k}}{c_{j}^{\frac{k}{j}}} - 1) σ^{k}

$\operatorname{E}\tilde{\sigma}^k_j - \sigma^k =\left( \frac{c_k}{c_j^\frac{k}{j}} -1 \right) \sigma^k$

& its variance by

Var {\tilde{σ}}_{j}^{k} = E {\tilde{σ}}_{j}^{2 k} - {(E {\tilde{σ}}_{j}^{k})}^{2} = \frac{c_{2 k} - c_{k}^{2}}{c_{j}^{\frac{2 k}{j}}} σ^{2 k}

$\operatorname{Var}\tilde{\sigma}^{k}_j=\operatorname{E}\tilde{\sigma}^{2k}_j - \left(\operatorname{E}\tilde{\sigma}^k_j\right)^2=\frac{c_{2k}-c_k^2}{c_j^\frac{2k}{j}} \sigma^{2k}$

For the two estimators of $\sigma$ you've considered, $\tilde{\sigma}^1_1=\frac{S}{c_1}$ & $\tilde{\sigma}^1_2=S$ , the lack of bias of $\tilde{\sigma}_1$ is more than offset by its larger variance when compared to $\tilde{\sigma}_2$ :

\begin{aligned} E {\tilde{σ}}_{1} - σ & = 0 \\ E {\tilde{σ}}_{2} - σ & = (c_{1} - 1) σ \\ Var {\tilde{σ}}_{1} = E {\tilde{σ}}_{1}^{2} - {(E {\tilde{σ}}_{1}^{1})}^{2} & = \frac{c_{2} - c_{1}^{2}}{c_{1}^{2}} σ^{2} = (\frac{1}{c_{1}^{2}} - 1) σ^{2} \\ Var {\tilde{σ}}_{2} = E {\tilde{σ}}_{1}^{2} - {(E {\tilde{σ}}_{2})}^{2} & = \frac{c_{2} - c_{1}^{2}}{c_{2}} σ^{2} = (1 - c_{1}^{2}) σ^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{E}\tilde{\sigma}_1 - \sigma &= 0 \\ \operatorname{E}\tilde{\sigma}_2 - \sigma &=(c_1 -1) \sigma \\ \operatorname{Var}\tilde{\sigma}_1 =\operatorname{E}\tilde{\sigma}^{2}_1 - \left(\operatorname{E}\tilde{\sigma}^1_1\right)^2 &=\frac{c_{2}-c_1^2}{c_1^2} \sigma^{2} = \left(\frac{1}{c_1^2}-1\right) \sigma^2 \\ \operatorname{Var}\tilde{\sigma}_2 =\operatorname{E}\tilde{\sigma}^{2}_1 - \left(\operatorname{E}\tilde{\sigma}_2\right)^2 &=\frac{c_{2}-c_1^2}{c_2} \sigma^{2}=(1-c_1^2)\sigma^2 \end{align}$ (Note that

c_{2} = 1

$c_2=1$ , as

S^{2}

$S^2$ is already an unbiased estimator of

σ^{2}

$\sigma^2$ .)

The mean square error of $a_k S^k$ as an estimator of $\sigma^2$ is given by

\begin{aligned} (E a_{k} S^{k} - σ^{k})^{2} + E (a_{k} S^{k})^{2} - (E a_{k} S^{k})^{2} & = [(a_{k} c_{k} - 1)^{2} + a_{k}^{2} c_{2 k} - a_{k}^{2} c_{k}^{2}] σ^{2 k} \\ = (a_{k}^{2} c_{2 k} - 2 a_{k} c_{k} + 1) σ^{2 k} \end{aligned}

$\begin{align} (\operatorname{E} a_k S^k - \sigma^k)^2 + \operatorname{E} (a_k S^k)^2 - (\operatorname{E} a_k S^k)^2 &= [ (a_k c_k -1)^2 + a_k^2 c_{2k} - a_k^2 c_k^2 ] \sigma^{2k}\\ &= ( a_k^2 c_{2k} -2 a_k c_k + 1 ) \sigma^{2k} \end{align}$

& therefore minimized when

a_{k} = \frac{c_{k}}{c_{2 k}}

$a_k = \frac{c_k}{c_{2k}}$

, allowing the definition of another set of estimators of potential interest:

{\hat{σ}}_{j}^{k} = {(\frac{c_{j} S^{j}}{c_{2 j}})}^{\frac{k}{j}}

$\hat{\sigma}^k_j= \left(\frac{c_j S^j}{c_{2j}}\right)^\frac{k}{j}$

Curiously, $\hat{\sigma}^1_1=c_1S$ , so the same constant that divides $S$ to remove bias multiplies $S$ to reduce MSE. Anyway, these are the uniformly minimum variance location-invariant & scale-equivariant estimators of $\sigma^k$ (you don't want your estimate to change at all if you measure in kelvins rather than degrees Celsius, & you want it to change by a factor of $\left(\frac{9}{5}\right)^k$ if you measure in Fahrenheit).

None of the above has any bearing on the construction of hypothesis tests or confidence intervals (see e.g. Why does this excerpt say that unbiased estimation of standard deviation usually isn't relevant?). And $\tilde{\sigma}^k_j$ & $\hat{\sigma}^k_j$ exhaust neither estimators nor parameter scales of potential interest—consider the maximum-likelihood estimator^† $\sqrt{\frac{n-1}{n}}S$ , or the median-unbiased estimator $\sqrt{\frac{n-1}{\chi^2_{n-1}(0.5)}}S$ ; or the geometric standard deviation of a lognormal distribution $\mathrm{e}^\sigma$ . It may be worth showing a few more-or-less popular estimates made from a small sample ( $n=2$ ) together with the upper & lower bounds, $\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1}(\alpha)}}$ & $\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1}(1-\alpha)}}$ , of the equal-tailed confidence interval having coverage $1-\alpha$ :

$confidence distribution for $\sigma$ showing estimates$

The span between the most divergent estimates is negligible in comparison with the width of any confidence interval having decent coverage. (The 95% C.I., for instance, is $(0.45s,31.9s)$ .) There's no sense in being finicky about the properties of a point estimator unless you're prepared to be fairly explicit about what you want you want to use it for—most explicitly you can define a custom loss function for a particular application. A reason you might prefer an exactly (or almost) unbiased estimator is that you're going to use it in subsequent calculations during which you don't want bias to accumulate: your illustration of averaging biased estimates of standard deviation is a simple example of such (a more complex example might be using them as a response in a linear regression). In principle an all-encompassing model should obviate the need for unbiased estimates as an intermediate step, but might be considerably more tricky to specify & fit.

† The value of $\sigma$ that makes the observed data most probable has an appeal as an estimate independent of consideration of its sampling distribution.

— Scortchi - Reinstate Monica
स्रोत

7

Q2: Would someone please explain to me why we are using SD anyway as it is clearly biased and misleading?

This came up as an aside in comments, but I think it bears repeating because it's the crux of the answer:

The sample variance formula is unbiased, and variances are additive. So if you expect to do any (affine) transformations, this is a serious statistical reason why you should insist on a "nice" variance estimator over a "nice" SD estimator.

In an ideal world, they'd be equivalent. But that's not true in this universe. You have to choose one, so you might as well choose the one that lets you combine information down the road.

Comparing two sample means? The variance of their difference is sum of their variances.
Doing a linear contrast with several terms? Get its variance by taking a linear combination of their variances.
Looking at regression line fits? Get their variance using the variance-covariance matrix of your estimated beta coefficients.
Using F-tests, or t-tests, or t-based confidence intervals? The F-test calls for variances directly; and the t-test is exactly equivalent to the square root of an F-test.

In each of these common scenarios, if you start with unbiased variances, you'll remain unbiased all the way (unless your final step converts to SDs for reporting).
Meanwhile, if you'd started with unbiased SDs, neither your intermediate steps nor the final outcome would be unbiased anyway.

— civilstat
स्रोत

Variance is not a distance measurement, and standard deviation is. Yes, vector distances add by squares, but the primary measurement is distance. The question was what would you use corrected distance for, and not why should we ignore distance as if it did not exist.

— Carl

Well, I guess I'm arguing that "the primary measurement is distance" isn't necessarily true. 1) Do you have a method to work with unbiased variances; combine them; take the final resulting variance; and rescale its sqrt to get an unbiased SD? Great, then do that. If not... 2) What are you going to do with a SD from a tiny sample? Report it on its own? Better to just plot the datapoints directly, not summarize their spread. And how will people interpret it, other than as an input to SEs and thus CIs? It's meaningful as an input to CIs, but then I'd prefer the t-based CI (with usual SD).

— civilstat

I do no think that many clinical studies or commercial software programs with

n < 25

$n<25$ would use standard error of the mean calculated from small sample corrected standard deviation leading to a false impression of how small those errors are. I think even that one issue, even if that is the only one, should be ignored.

— Carl

"so you might as well choose the one that lets you combine information down the road" and "the primary measurement is distance" isn't necessarily true. Farmer Jo's house is 640 acres down the road? One uses the appropriate measurement correctly for each and every situation, or one has a higher tolerance for false witness than I. My only question here is when to use what, and the answer to it is not "never."

— Carl

1

This post is in outline form.

(1) Taking a square root is not an affine transformation (Credit @Scortchi.)

(2) ${\rm var}(s) = {\rm E} (s^2) - {\rm E}(s)^2$ , thus ${\rm E}(s) = \sqrt{{\rm E}(s^2) -{\rm var}(s)}\neq{\sqrt{\rm var(s)}}$

(3) ${\rm var}(s)=\frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$ , whereas $\text{E}(s)\,=\,\,\frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\sqrt{\frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{2}}$ $\neq\sqrt{\frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}={\sqrt{\rm var(s)}}$

(4) Thus, we cannot substitute ${\sqrt{\rm var(s)}}$ for $\text{E}(s)$ , for $n$ small, as square root is not affine.

(5) ${\rm var}(s)$ and $\text{E}(s)$ are unbiased (Credit @GeoMatt22 and @Macro, respectively).

(6) For non-normal distributions $\bar{x}$ is sometimes (a) undefined (e.g., Cauchy, Pareto with small $\alpha$ ) and (b) not UMVUE (e.g., Cauchy ( $\rightarrow$ Student's- $t$ with $df=1$ ), Pareto, Uniform, beta). Even more commonly, variance may be undefined, e.g. Student's- $t$ with $1\leq df\leq2$ . Then one can state that $\text{var}(s)$ is not UMVUE for the general case distribution. Thus, there is then no special onus to introducing an approximate small number correction for standard deviation, which likely has similar limitations to $\sqrt{\text{var}(s)}$ , but is additionally less biased, $\hat\sigma = \sqrt{ \frac{1}{n - 1.5 - \tfrac14 \gamma_2} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 }$ ,

where $\gamma_2$ is excess kurtosis. In a similar vein, when examining a normal squared distribution (a Chi-squared with $df=1$ transform), we might be tempted to take its square root and use the resulting normal distribution properties. That is, in general, the normal distribution can result from transformations of other distributions and it may be expedient to examine the properties of that normal distribution such that the limitation of small number correction to the normal case is not so severe a restriction as one might at first assume.

For the normal distribution case:

A1: By Lehmann-Scheffe theorem ${\rm var}(s)$ and $\text{E}(s)$ are UMVUE (Credit @Scortchi).

A2: (Edited to adjust for comments below.) For $n\leq 25$ , we should use $\text{E}(s)$ for standard deviation, standard error, confidence intervals of the mean and of the distribution, and optionally for z-statistics. For $t$ -testing we would not use the unbiased estimator as $\frac{ \bar X - \mu} {\sqrt{\text{var}(n)/n}}$ itself is Student's- $t$ distributed with $n-1$ degrees of freedom (Credit @whuber and @GeoMatt22). For z-statistics, $\sigma$ is usually approximated using $n$ large for which $\text{E}(s)-\sqrt{\text{var}(n)}$ is small, but for which $\text{E}(s)$ appears to be more mathematically appropriate (Credit @whuber and @GeoMatt22).

— Carl
स्रोत

2

A2 is incorrect: following that prescription would produce demonstrably invalid tests. As I commented to the question, perhaps too subtly: consult any theoretical account of a classical test, such as the t-test, to see why a bias correction is irrelevant.

— whuber

2

There's a strong meta-argument showing why bias correction for statistical tests is a red herring: if it were incorrect not to include a bias-correction factor, then that factor would already be included in standard tables of the Student t distribution, F distribution, etc. To put it another way: if I'm wrong about this, then everybody has been wrong about statistical testing for the last century.

— whuber

1

Am I the only one who's baffled by the notation here? Why use

E (s)

$\operatorname{E}(s)$ to stand for

\frac{Γ (\frac{n - 1}{2})}{Γ (\frac{n}{2})} \sqrt{\frac{Σ_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{2}}

$\frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\sqrt{\frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{2}}$ , the unbiased estimate of standard deviation? What's

s

$s$ ?

— Scortchi - Reinstate Monica

2

@Scortchi the notation apparently came about as an attempt to inherit that used in the linked post. There

s

$s$ is the sample variance, and

E (s)

$E(s)$ is the expected value of

s

$s$ for a Gaussian sample. In this question, "

E (s)

$E(s)$ " was co-opted to be a new estimator derived from the original post (i.e. something like

\hat{σ} \equiv s / α

$\hat{\sigma}\equiv s/\alpha$ where

α \equiv E [s] / σ

$\alpha\equiv\mathbb{E}[s]/\sigma$ ). If we arrive at a satisfactory answer for this question, probably a cleanup of the question & answer notation would be warranted :)

— GeoMatt22

2

The z-test assumes the denominator is an accurate estimate of

σ

$\sigma$ . It's known to be an approximation that is only asymptotically correct. If you want to correct it, don't use the bias of the SD estimator--just use a t-test. That's what the t-test was invented for.

— whuber

0

I want to add the Bayesian answer to this discussion. Just because your assumption is that the data is generated according to some normal with unknown mean and variance, that doesn't mean that you should summarize your data using a mean and a variance. This whole problem can be avoided if you draw the model, which will have a posterior predictive that is a three parameter noncentral scaled student's T distribution. The three parameters are the total of the samples, total of the squared samples, and the number of samples. (Or any bijective map of these.)

Incidentally, I like civilstat's answer because it highlights our desire to combine information. The three sufficient statistics above are even better than the two given in the question (or by civilstat's answer). Two sets of these statistics can easily be combined, and they give the best posterior predictive given the assumption of normality.

— Neil G
स्रोत

How then does one calculate an unbiased standard error of the mean from those three sufficient statistics?

— Carl

@carl You can easily calculate it since you have the number of samples

n

$n$ , you can multiply the uncorrected sample variance by

\frac{n}{n - 1}

$\frac{n}{n-1}$ . However, you really don't want to do that. That's tantamount to turning your three parameters into a best fit normal distribution to your limited data. It's a lot better to use your three parameters to fit the true posterior predictive: the noncentral scaled T distribution. All questions you might have (percentiles, etc.) are better answered by this T distribution. In fact, T tests are just common sense questions asked of this distribution.

— Neil G

How can one then generate a true normal distribution RV from Monte Carlo simulations(s) and recover that true distribution using only Student's-

t

$t$ distribution parameters? Am I missing something here?

— Carl

@Carl The sufficient statistics I described were the mean, second moment, and number of samples. Your MLE of the original normal are the mean and variance (which is equal to the second moment minus the squared mean). The number of samples is useful when you want to make predictions about future observations (for which you need the posterior predictive distribution).

— Neil G

Though a Bayesian perspective is a welcome addition, I find this a little hard to follow: I'd have expected a discussion of constructing a point estimate from the posterior density of

σ

$\sigma$ . It seems you're rather questioning the need for a point estimate: this is something well worth bringing up, but not uniquely Bayesian. (BTW you also need to explain the priors.)

— Scortchi - Reinstate Monica