क्या दो यादृच्छिक चर का समान वितरण हो सकता है, फिर भी लगभग निश्चित रूप से अलग-अलग हो सकते हैं?

Question

क्या यह संभव है कि दो यादृच्छिक चर का समान वितरण हो और फिर भी वे लगभग निश्चित रूप से भिन्न हों?

Answer 1

चलो और परिभाषित Y = - एक्स । यह साबित होता है कि आसान है Y ~ एन ( 0 , 1 ) ।$X\sim N(0,1)$$Y=-X$$Y\sim N(0,1)$

लेकिन

$$P\{\omega : X(\omega)=Y(\omega)\} = P\{\omega : X(\omega)=0,Y(\omega)=0\} \leq P\{\omega : X(\omega)=0\} = 0 \, .$$

इसलिए, और Y प्रायिकता के साथ भिन्न हैं।$X$$Y$

Comments

यह एक ही चाल बहुत अधिक आम तौर पर और यहां तक ​​कि उन मामलों में भी काम करती है जो विषय का सामना करने वाले किसी व्यक्ति के लिए "सरल" दिखाई दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, विचार करें और 1 - एक्स जहां एक्स एक Bernoulli यादृच्छिक सफलता जा रहा है की संभावना के साथ चर रहा है 1 / 2 । $X$$1-X$$X$$1/2$

— कार्डिनल

Answer 2

स्वतंत्र यादृच्छिक चर और Y के समान निरंतर वितरण वाले किसी भी जोड़े को एक प्रतिरूप प्रदान करता है।$X$$Y$

वास्तव में, समान वितरण वाले दो यादृच्छिक चर समान संभावना स्थान पर आवश्यक रूप से परिभाषित नहीं होते हैं, इसलिए यह प्रश्न सामान्य रूप से कोई मतलब नहीं रखता है।

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(+1) आपका दूसरा बिंदु, विशेष रूप से, एक महत्वपूर्ण है और, एक बार समझने के बाद, शामिल दो अवधारणाओं में अंतर को स्पष्ट करने में मदद करता है।

— कार्डिनल

Answer 3

बस पर विचार और वाई ( एक्स ) = 1 - एक्स के साथ एक्स ∈ [ 0 , 1 ] बोरेल या Lebesgue उपाय के साथ। दोनों के लिए संचित संभावना F ( x ) = x है और प्रायिकता डिस्टिब्यूशन f ( x ) = 1 है । X + Y के योग के लिए वितरण x = 1 पर एक Dirac इकाई द्रव्यमान है ।$X(x)=x$$Y(x)=1-x$$x \in [0,1]$$F(x)=x$$f(x)=1$$X+Y$$x=1$

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हमारी साइट पर आपका स्वागत है। क्या आप उस अर्थ को स्पष्ट कर सकते हैं जिसमें आपकी पोस्ट इस थ्रेड में प्रश्न का उत्तर देती है और यह बताती है कि यह ज़ेन द्वारा दिए गए उत्तर (और उस उत्तर के लिए @Cardinal द्वारा टिप्पणी ) से कैसे भिन्न है ?

— व्हीबर