सांख्यिकीविदों ने यादृच्छिक मेट्रिसेस को क्यों परिभाषित किया?

Question

मैंने एक दशक पहले गणित का अध्ययन किया था, इसलिए मेरे पास एक गणित और सांख्यिकी पृष्ठभूमि है, लेकिन यह प्रश्न मुझे मार रहा है।

यह सवाल अभी भी मेरे लिए थोड़ा दार्शनिक है। यादृच्छिक मेट्रिसेस के साथ काम करने के लिए सांख्यिकीविदों ने सभी प्रकार की तकनीकों का विकास क्यों किया? मेरा मतलब है, एक यादृच्छिक वेक्टर समस्या का समाधान नहीं किया? यदि नहीं, तो यादृच्छिक मैट्रिक्स के अलग-अलग कॉलम का क्या मतलब है? एंडरसन (2003, विले) एक यादृच्छिक वेक्टर को केवल एक कॉलम के साथ यादृच्छिक मैट्रिक्स का एक विशेष मामला मानता है।

मुझे यादृच्छिक मैट्रिसेस होने की बात नहीं दिखती (और मुझे यकीन है कि मैं अज्ञानी हूं इसलिए)। लेकिन, मेरे साथ सहन करो। कल्पना कीजिए कि मेरे पास 20 यादृच्छिक चर वाला एक मॉडल है। यदि मैं संयुक्त संभाव्यता फ़ंक्शन की गणना करना चाहता हूं, तो मुझे वेक्टर के बजाय मैट्रिक्स के रूप में क्यों चित्र बनाना चाहिए?

मुझे किसकी याद आ रही है?

ps: मुझे खराब टैग किए गए सवाल के लिए खेद है, लेकिन यादृच्छिक-मैट्रिक्स के लिए कोई टैग नहीं थे और मैं अभी तक एक नहीं बना सकता!

संपादित करें: शीर्षक में मैट्रिक्स को मैट्रिक्स में बदल दिया

Comments

मुझे लगता है कि आप एक वैचारिक वेक्टर के रूप में इसके बारे में ठीक से सोच रहे हैं जिसे फिर से व्यवस्थित किया गया है ताकि यह मैट्रिक्स हो।

— मैथ्यू गन

संभवतः प्रासंगिक: en.wikipedia.org/wiki/Random_projection ।

— dsaxton

आप यह भी पूछ सकते हैं कि मैट्रिस किसी भी रुचि के क्यों हैं। वास्तविक दुनिया में देखी गई या मापी गई किसी घटना का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले किसी भी मैट्रिक्स को यादृच्छिक रूप से देखना पूरी तरह से स्वाभाविक है। यह यादृच्छिक मैट्रिसेस के लिए संभावित प्रकारों और मॉडलों के ढेरों में परिणाम करता है, यादृच्छिक ग्राफ़ के आसन्न मैट्रिसेस से लेकर नमूना कोवरियस मैट्रिस और अधिक।

— व्हॉबर

@ अक्षल मुझे लगता है कि ओपी की बात तब है जब किसी चीज का यादृच्छिक मेट्रिक्स के रूप में विश्लेषण करना उपयोगी है। उदाहरण के लिए छवि वर्गीकरण में आप आमतौर पर अपनी छवि को वैक्टर में बदलते हैं..यहां कोई मैट्रिक्स 'विश्लेषण' नहीं है। अब तक व्हिबर की टिप्पणी सबसे अच्छा जवाब है: उदाहरण के लिए एक सहसंयोजक मैट्रिक्स को सकारात्मक अर्ध निश्चित होना चाहिए - यदि आप यादृच्छिक कोवरियनस मैट्रिक्स का अनुकरण करना चाहते हैं तो वेक्टर की तुलना में मैट्रिक्स विनिर्देश के साथ काम करना आसान है।

— seanv507

रैंडम मैट्रिक्स केवल यादृच्छिक टेंसरों का एक विशेष मामला है।

— ऐनी-मूस -Rateate Monica

Answer 1

यह निर्भर करता है कि आप किस क्षेत्र में हैं, लेकिन यादृच्छिक मैट्रिसेस के अध्ययन के लिए एक बड़ा प्रारंभिक दबाव परमाणु भौतिकी से निकला था, और विग्नर द्वारा अग्रणी था। आप यहां एक संक्षिप्त अवलोकन पा सकते हैं । विशेष रूप से, यह यादृच्छिक मेट्रिसेस के आइजेनवेल्स (परमाणु भौतिकी में ऊर्जा स्तर हैं) ने ब्याज की टन उत्पन्न किया क्योंकि आइगेनवेल्स के बीच सहसंबंधों ने परमाणु क्षय प्रक्रियाओं के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में अंतर्दृष्टि दी।

अभी हाल ही में, इस क्षेत्र में एक बड़ा पुनरुत्थान हुआ है, जिसमें ट्रेसी-विडोम वितरण के आगमन के साथ यादृच्छिक मेट्रिसेस के सबसे बड़े आइगेनवेल्स के लिए आश्चर्यजनक रूप से असंबंधित क्षेत्रों जैसे आश्चर्यजनक सिद्धांत , सांख्यिकीय भौतिकी, पूर्णांक के साथ आश्चर्यजनक संबंध हैं। सिस्टम , KPZ घटना , यादृच्छिक संयोजन और यहां तक ​​कि रीमैन परिकल्पना । आप यहां कुछ और उदाहरण पा सकते हैं ।

अधिक डाउन-टू-अर्थ उदाहरणों के लिए, पंक्ति के वैक्टर के मैट्रिक्स के बारे में पूछने का एक स्वाभाविक प्रश्न यह है कि इसके पीसीए घटक क्या दिख सकते हैं। आप डेटा को कुछ वितरण से आता है, और फिर सहसंयोजक मैट्रिक्स eigenvalues, जो यादृच्छिक मैट्रिक्स सार्वभौमिकता से भविष्यवाणी की जाएगी : यह देखते हुए कि आप अपने वैक्टर के वितरण की परवाह किए बिना, (वितरण के कारण) के पूर्वानुमान के आधार पर अनुमानी अनुमान प्राप्त कर सकते हैं । eigenvalues ​​हमेशा ज्ञात वर्गों के एक समूह से संपर्क करेंगे। आप यादृच्छिक मेट्रिसेस के लिए इसे CLT का एक प्रकार मान सकते हैं। उदाहरण के लिए यह पेपर देखें ।

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आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। मुझे संदेह था कि इसे कुछ गणितीय तकनीकी से जोड़ा जा सकता है। बर अब यह सब समझ में आता है, भौतिकी हमेशा गणित के आसपास रही है और दूसरी तरह से भी।

— एडुआर्डो

Wigner के कागज 1950 के मध्य में था, विशार्ट के कागज देर 1920 में किया गया था। इसलिए, यह दावा करना कठिन है कि विग्नेर ने पहला बड़ा धक्का दिया, मेरी राय में।

— Aksakal

Answer 2

आप यादृच्छिक वैक्टर के अनुप्रयोगों के साथ सहज प्रतीत होते हैं। उदाहरण के लिए, मैं हर दिन इस तरह के यादृच्छिक वैक्टरों से निपटता हूं: विभिन्न किरायेदारों की ब्याज दरें। फेडरल रिजर्व बैंक की H15 श्रृंखला है , ट्रेजरी बिलों को 4-सप्ताह, 3-महीने, 6-महीने और 1-वर्ष में देखें। आप 4 तत्वों के साथ वेक्टर के रूप में इन 4 दरों के बारे में सोच सकते हैं। यह यादृच्छिक भी है, नीचे दिए गए कथानक पर ऐतिहासिक मूल्यों को देखें।

किसी भी यादृच्छिक संख्या के साथ जैसा कि हम खुद से पूछ सकते हैं: उनके बीच क्या है? अब आपको 4x4 covariance मैट्रिक्स मिलता है। यदि आप इसे एक महीने के दैनिक डेटा पर अनुमान लगाते हैं, तो आपको हर साल 12 अलग-अलग सहसंयोजक मैट्रीस मिलते हैं, यदि आप उन्हें गैर-अतिव्यापी चाहते हैं। यादृच्छिक श्रृंखला का नमूना सहसंयोजक मैट्रिक्स अपने आप में एक यादृच्छिक वस्तु है, Wishart के पेपर को देखें "एक सामान्य बहुविकल्पीय स्थिति से सामनों में उदार उत्पाद का निर्माण।" यहाँ । वहाँ एक वितरण उसके बाद बुलाया है।

यह यादृच्छिक मैट्रिसेस को प्राप्त करने का एक तरीका है। यह कोई आश्चर्य नहीं है कि यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत (आरएमटी) का उपयोग वित्त में किया जाता है, जैसा कि आप अभी देख सकते हैं।

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आप इसे "एक महीने के डेटा" पर अनुमान लगाने का उल्लेख करते हैं, क्या आपका मतलब है "एक महीने का दैनिक डेटा"?

— जॉन

@ जॉन, इस विशेष उदाहरण में, हाँ, दैनिक। हालांकि, कुछ श्रृंखलाओं को इंट्रा डे मापा जाता है, जैसे कि इक्विटी की कीमतें। यदि आपके पास स्टॉक का पोर्टफोलियो है, तो आप बहुत उच्च आवृत्तियों पर इंट्रा डे कोवरियन मैट्रिस प्राप्त कर सकते हैं।

— अक्कल

+1। यहाँ पैराफ़्रेसिंग, लेकिन मुझे लगता है कि यादृच्छिक मैट्रिस को प्रेरित करने का एक तरीका यह है कि इन मामलों में, हम अक्सर रैंडम वैक्टर के बीच के संबंध में रुचि रखते हैं । यह स्वाभाविक रूप से वैक्टर के बजाय मैट्रिसेस के बारे में सोचने को प्रेरित करता है।

— एबी एबी

@ अक्षल आपके द्वारा उल्लिखित डेटा मासिक आवृत्ति के साथ-साथ दैनिक रूप से आता है। मैंने पोस्ट को संशोधित करने से पहले इसे भ्रामक पाया क्योंकि यह मासिक डेटा के एक महीने का उपयोग करके एक सहसंयोजक मैट्रिक्स का अनुमान लगाने के लिए समझ में नहीं आएगा।

— जॉन

@, आप मासिक या साप्ताहिक डेटा, अतिव्यापी या गैर-अतिव्यापी आदि पर सहसंयोजक मैट्रिक्स का अनुमान लगा सकते हैं। ऐसा करने का कोई सही तरीका नहीं है।

— Aksakal

Answer 3

सैद्धांतिक भौतिकी में यादृच्छिक मेट्रिक्स विशेष समरूपता के साथ सिस्टम के ऊर्जा स्पेक्ट्रा की सार्वभौमिक विशेषताओं को समझने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

सैद्धांतिक भौतिकी में मेरी पृष्ठभूमि मुझे यहां थोड़ा पक्षपाती बिंदु पेश करने का कारण बन सकती है, लेकिन मैं यहां तक ​​कहूंगा कि यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत (आरएमटी) की लोकप्रियता भौतिकी में इसके सफल अनुप्रयोग से उत्पन्न हुई है।

विस्तार में बहुत अधिक जाने के बिना, उदाहरण के लिए क्वांटम यांत्रिकी में ऊर्जा स्पेक्ट्रा सिस्टम हैमिल्टनियन के eigenvalues ​​की गणना करके प्राप्त किया जा सकता है - जिसे एक हर्मिटियन मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अक्सर भौतिकविदों को विशेष प्रणालियों में कोई दिलचस्पी नहीं होती है, लेकिन जानना चाहते हैं कि क्वांटम प्रणालियों के सामान्य गुण क्या हैं जिनमें अराजक गुण हैं, जो ऊर्जा या अन्य मापदंडों के भिन्नता के आधार पर मैट्रिक्स-स्पेस को भरने के लिए हर्मिटियन हैमिल्टनियन मैट्रिक्स के मूल्यों की ओर जाता है ( उदाहरण के लिए सीमा की स्थिति)। यह भौतिक प्रणालियों के एक वर्ग को यादृच्छिक मैट्रिस के रूप में मानने और इन प्रणालियों के औसत गुणों को देखने के लिए प्रेरित करता है। मैं बोहिगास-गियोननी-श्मिट अनुमान पर साहित्य की सिफारिश करता हूं यदि आप इस गहराई में गोता लगाना चाहते हैं।

संक्षेप में, एक उदाहरण के लिए दिखा सकता है कि सिस्टम का ऊर्जा स्तर जिसमें समय उलट समरूपता है, सिस्टम के ऊर्जा स्तरों की तुलना में सार्वभौमिक रूप से भिन्न व्यवहार करता है जिसमें कोई समय उलट समरूपता नहीं होती है (जो कि यदि आप चुंबकीय क्षेत्र जोड़ते हैं तो उदाहरण के लिए होता है)। वास्तव में गाऊसी यादृच्छिक मैट्रिस का उपयोग करते हुए काफी कम गणना यह दिखा सकती है कि दोनों प्रणालियों में ऊर्जा का स्तर अलग-अलग होता है।

इन परिणामों को बढ़ाया जा सकता है और अन्य समरूपताओं को भी समझने में मदद की जा सकती है, जिसका विभिन्न क्षेत्रों पर बड़ा प्रभाव पड़ा, जैसे कण भौतिकी या मेसोस्कोपिक परिवहन के सिद्धांत और बाद में वित्तीय बाजारों में भी।

Comments

यही कारण है कि मैंने भौतिकी को छोड़ दिया :) बहुत अधिक "मस्तिष्क क्षति"

— अक्षल

सांख्यिकीविदों जैसे विष्ट जहां परमाणु भौतिकविदों से पहले।

— kjetil b halvorsen

Answer 4

एक रेखीय मानचित्र वेक्टर रिक्त स्थान के बीच का एक मानचित्र है। मान लीजिए कि आपके पास एक रेखीय नक्शा है और इसके डोमेन और रेंज स्पेस के लिए आधारों को चुना है। फिर आप एक मैट्रिक्स लिख सकते हैं जो रैखिक नक्शे को एन्कोड करता है। यदि आप उन दो स्थानों के बीच यादृच्छिक रेखीय नक्शे पर विचार करना चाहते हैं, तो आपको यादृच्छिक मैट्रिस के सिद्धांत के साथ आना चाहिए। रैंडम प्रोजेक्शन ऐसी चीज का एक सरल उदाहरण है।

इसके अलावा, भौतिकी में मैट्रिक्स / टेन्सर मूल्यवान वस्तुएं हैं। चिपचिपा तनाव टेन्सर इस तरह के (एक सत्य चिड़ियाघर के अलावा) से एक है। लगभग एक सजातीय विस्कोसैस्टिक सामग्रियों में, यह उपभेदों (लोचदार, विस्कोस, एट अल।) को मॉडल करने के लिए उपयोगी हो सकता है और इसलिए छोटे विचरण के साथ एक यादृच्छिक टेंसर के रूप में तनाव को इंगित करता है। यद्यपि इस तनाव / तनाव के लिए एक "रेखीय नक्शा" अर्थ है, लेकिन यह कुछ हद तक एक मैट्रिक्स के रूप में यादृच्छिक रूप से यादृच्छिक मैट्रिस के इस एप्लिकेशन का वर्णन करने के लिए अधिक ईमानदार है।

Answer 5

इमेज प्रोसेसिंग में एप्लिकेशन के रूप में कंप्रेसिव सेंसिंग 2 डी सिग्नल के संयुक्त माप के रूप में रैंडम मैट्रिसेस पर निर्भर करता है। इन मैट्रिस के सुसंगत गुण, अर्थात् सुसंगतता , इन मैट्रिसेस के लिए परिभाषित किए जाते हैं और सिद्धांत में भूमिका निभाते हैं।

सकल सरलीकृत, यह पता चलता है कि एक गाऊसी मैट्रिक्स के एक निश्चित उत्पाद के एल 1 मानक को कम करना और एक स्पार्स इनपुट सिग्नल आपको अधिक से अधिक जानकारी पुनर्प्राप्त करने की अनुमति देता है जो आप अपेक्षा कर सकते हैं।

इस क्षेत्र का सबसे उल्लेखनीय प्रारंभिक शोध मुझे पता है कि राइस विश्वविद्यालय का काम है: http://dsp.rice.edu/research/compressive-sensing/random-matrices

मैट्रिक्स उत्पादों का सिद्धांत "सिग्नल की माप" के रूप में कम से कम WW2 के रूप में वापस जाता है। जैसा कि मेरे पूर्व प्रोफेसर ने मुझे बताया, व्यक्तिगत रूप से प्रत्येक सेना के लिए, यह कहते हुए कि सिफिलिस का परीक्षण, लागत निषेधात्मक था। व्यवस्थित रूप से इन नमूनों को मिलाकर (प्रत्येक रक्त के नमूने को एक साथ मिलाकर और उनका परीक्षण करके) एक परीक्षण किए जाने के लिए आवश्यक परीक्षण की संख्या को कम कर देगा। इसे एक विरल मैट्रिक्स के साथ गुणा किए गए यादृच्छिक बाइनरी वेक्टर के रूप में मॉडल किया जा सकता है।