आप आम आदमी की शर्तों में क्षण उत्पन्न करने की क्रिया (MGF) की व्याख्या कैसे करेंगे?

एक पल उत्पन्न कार्य (MGF) क्या है?

क्या आप इसे सामान्य शब्दों में और एक सरल और आसान उदाहरण के साथ समझा सकते हैं?

कृपया, जहाँ तक संभव हो औपचारिक गणित नोटेशनों का उपयोग करके सीमित करें।

moments intuition mgf

आप एक सरल, आसान उदाहरण चाहते हैं ... लेकिन गणितीय संकेतन के बिना? मुझे यकीन नहीं है कि ऐसा करना बहुत आसान होगा - कम से कम जोखिम के बिना नहीं जो आप के साथ काम कर रहे हैं की एक भ्रामक छाप दे रहे हैं। मुझे लगता है कि एक व्यक्ति एक सदाबहार यादृच्छिक चर के mgf दे सकता है जो कि गणितीय संकेतन के रूप में बहुत अधिक आवश्यकता के बिना हमेशा

होता है, लेकिन यदि आप वास्तव में mgfs को समझना चाहते हैं तो यह बहुत ही निराशाजनक होने वाला है।

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— Glen_b -Reinstate मोनिका

मुझे यकीन नहीं है कि अगर इसे समझने का एक सहज तरीका है, तो आप इसे "एन्कोडिंग" वितरण के तरीके के रूप में सोच सकते हैं (कम से कम जब यह मौजूद है, तो यह विचार विशेषता कार्यों के साथ थोड़ा बेहतर काम करता है)।

— dsaxton

एक पल उत्पन्न करने वाला कार्य - जब यह मौजूद होता है - एक यादृच्छिक चर के सभी गैर-नकारात्मक-पूर्णांक क्षणों को एक फ़ंक्शन में एन्कोडिंग करने का एक तरीका है, और जहां से उन्हें फिर से निकाला जा सकता है; एमजीएफ का उपयोग विशेष गणना करने के लिए किया जा सकता है जो कभी-कभी अन्य तरीकों से करना इतना आसान नहीं होता है। मुझे उम्मीद नहीं है कि इससे बहुत मदद मिलेगी।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

मुझे यकीन है कि आपने Quora पर समान प्रश्न का

— एंटोनी परेलाडा

जवाबों:

मान लेते हैं कि एक समीकरण-मुक्त अंतर्ज्ञान संभव नहीं है, और अभी भी गणित को उबालने पर जोर दे रहा है कि क्या हो रहा है, इसका अंदाजा लगाने के लिए बहुत जरूरी है: हम सांख्यिकीय क्षणों को प्राप्त करने की कोशिश कर रहे हैं , जो भौतिकी के अनिवार्य संदर्भ के बाद है , हम एक यादृच्छिक चर की शक्ति के अपेक्षित मूल्य के रूप में परिभाषित करते हैं । एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, कच्चे $k$ पल पल LOTUS द्वारा होता है :

\begin{aligned} (1) & E [X^{k}] & = \int_{- \infty}^{\infty} X^{k} pdf d x \end{aligned}

$\begin{align}\large \color{red}{\mathbb{E}\left[{X^k}\right]} &= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{X^k}\,\,\color{green}{\text{pdf}}\,\,\,dx\tag{1}\end{align}$

पल पैदा समारोह ,

M_{X} (t) := E [e^{t X}],

$M_X(t):=\mathbb E\big[e^{tX}\big],$ एक है इस अभिन्न (Eq.1) के आसपास चलने के लिए रास्ता द्वारा, बजाय, बाहर ले जाने:

\begin{aligned} (2) & E [e^{t X}] & = \int_{- \infty}^{\infty} e^{t X} pdf d x \end{aligned}

$\begin{align} \large \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]}&=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{e^{tX}}\,\color{green}{\text{pdf}}\, dx\tag{2}\end{align}$

क्यों? क्योंकि यह आसान है और एमजीएफ की एक शानदार संपत्ति है जिसे के मैकलॉरिन श्रृंखला का विस्तार करके देखा जा सकता है $\color{blue}{e^{\,tX}}$

e^{t X} = 1 + \frac{X}{1!} t + \frac{X^{2}}{2!} t^{2} + \frac{X^{3}}{3!} t^{3} + \dots

$e^{tX}=1+\frac{ X }{1!}\, t +\frac{ X^{2} }{2!}t^{2} +\frac{ X^{3} }{3!} t^{3} +\cdots$

इस शक्ति श्रृंखला के दोनों पक्षों की अपेक्षा को देखते हुए:

\begin{aligned} M_{X} (t) & = E [e^{t X}] \\ (3) & = 1 + \frac{E [X]}{1!} t + \frac{E [X^{2}]}{2!} t^{2} + \frac{E [X^{3}]}{3!} t^{3} + \dots \end{aligned}

$\begin{align} M_X(t) &= \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]} \\[1.5ex] &=1 + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X\right]}}{1!} \, t \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^2\right]}}{2!} \, t^2 \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^3\right]}}{3!} \, t^3 \, + \cdots\tag{3} \end{align}$

क्षणों दिखाई इस बहुपद "कपड़े" पर "बैठे", बस फर्क द्वारा चुनी गई होने के लिए तैयार $k$ बार और शून्य पर मूल्यांकन कर एक बार हम सहजता से एकीकरण के माध्यम से जाना (eq में। (2)) सभी क्षणों के लिए सिर्फ एक बार! तथ्य यह है कि यह एक आसान एकीकरण है सबसे स्पष्ट है जब पीडीएफ एक घातीय है।

$k$ -th पल को पुनर्प्राप्त करने के लिए :

M_{X}^{(k)} (0) = \frac{d^{k}}{d t^{k}} M_{X} (t) |_{t = 0}

$M_X^{(k)}(0)=\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\Bigr|_{t=0}$

तथ्य यह है कि अंततः अंतर करने की आवश्यकता होती है, यह एक नि: शुल्क दोपहर का भोजन नहीं बनाता है - अंत में यह पीडीएफ के दो-तरफा लाप्लास को प्रतिपादक में परिवर्तित संकेत के साथ बदल देता है:

L {pdf (x)} (s) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- s x} pdf (x) d x

$\mathcal L \{\text{pdf}(x)\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-sx}\text{pdf}(x) dx$

ऐसे कि

\begin{matrix} (4) & M_{X} (t) = L {pdf (x)} (- s) . \end{matrix}

$M_X(t)=\mathcal L\{\text{pdf}(x)\}(-s)\tag 4.$

$\color{green}{\text{pdf}}$ $e^{-st}$ $s=\sigma + i\,\omega$

[ से वैज्ञानिक और स्टीवन डब्ल्यू स्मिथ द्वारा इंजीनियर की गाइड सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए ]

$M_X(t)$ $\text{pdf}$ $\sigma=0.$

\begin{aligned} M_{X} (t) & = E [e^{- s X}] \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- s x} pdf (x) d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (σ + i ω) x} pdf (x) d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- σ x} e^{- i ω x} pdf (x) d x \end{aligned}

$\begin{align}\require{cancel} M_X(t)&=\mathbb E\big[e^{-sX}\big]\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-sx}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-(\sigma+i\omega)x}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cancel{e^{-\sigma x}}\,\color{red}{e^{-i\omega x}\,\text{pdf}(x)\, dx} \end{align}$

जो हमें पीडीएफ के फूरियर रूपांतरण के अनुरूप, लाल रंग में अभिव्यक्ति के हिस्से के अनुचित अभिन्न अंग के साथ छोड़ देता है।

सामान्य तौर पर, एक फ़ंक्शन के लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म पोल्स का अंतर्ज्ञान यह होगा कि वे फ़ंक्शन के घातीय (क्षय) और आवृत्ति घटकों (इस मामले में, पीडीएफ) की जानकारी प्रदान करते हैं।

$X^k$ $e^{tx}$ $(1)$ $(2)$ $k$ $(2)$ $k$ $(3)$ $0$

— एंटोनी पारेलाडा
स्रोत

E [e^{t X}]

$E[e^{tX}]$

E [X^{k}]

$E[X^k]$

मेरी इच्छा है कि इस उत्तर को समझने वाले आम लोग मेरे छात्र थे :)

— अक्षल

M (t) = e^{t μ + 1 / 2 σ^{2} t^{2}}

$M(t)=e^{t\mu+1/2\sigma^2t^2}$

\frac{d}{d t} M (t) |_{t = 0} = μ + σ^{2} t |_{t = 0} = μ

$\frac d {dt}M(t)|_{t=0}=\mu+\sigma^2t|_{t=0}=\mu$

इसके अलावा, चूंकि यह एमजीएफ वितरण के बारे में सब कुछ बताता है, यदि आप जानते हैं कि फ़ंक्शन में हेरफेर कैसे किया जाता है, तो आप एक ही बार में वितरण की सभी विशेषताओं पर संचालन लागू कर सकते हैं! हम हमेशा एमजीएफ का उपयोग क्यों नहीं करते हैं? सबसे पहले, यह हर स्थिति में नहीं है एमजीएफ सबसे आसान उपकरण है। दूसरा, एमजीएफ हमेशा मौजूद नहीं होता है।

आम आदमी के ऊपर

मान लीजिए कि आपके पास सामान्य मानक वितरण है। आप अपनी पीडीएफ: बताते हुए इसके बारे में सब कुछ जान सकते हैं

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$

आप इसके क्षण की गणना कर सकते हैं जैसे कि माध्य और मानक विचलन, और इसे परिवर्तित चर और यादृच्छिक मानदंड आदि पर कार्य करते हैं।

आप पीडीएफ के विकल्प के रूप में सामान्य वितरण के एमजीएफ के बारे में सोच सकते हैं। इसमें समान जानकारी शामिल है। मैंने पहले ही दिखाया कि कैसे माध्य प्राप्त करना है।

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} d x = ?

$\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty x^2\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} dx=?$

M (t) = e^{t^{2} / 2}

$M(t)=e^{t^2/2}$

σ^{2} = \frac{d^{2}}{d t^{2}} M (t) |_{t = 0} = \frac{d}{d t} t |_{t = 0} = 1

$\sigma^2=\frac {d^2} {dt^2}M(t)|_{t=0}=\frac d {dt} t |_{t=0}=1$

— Aksakal
स्रोत

क्या आप उस "सब कुछ" पर विस्तार कर सकते हैं जो वितरण के बारे में बताता है?

— कलरस्टैटिस्टिक्स

@ColorStatistics द्वारा किए गए बिंदु की सराहना करने के लिए, कृपया आंकड़े .stackexchange.com/questions/ 25010 देखें ।

— whuber

@whuber: शुक्रिया, व्हीबर मैं उस संदर्भ का अध्ययन करूंगा। यह एक ऐसा विषय है जिसे मैं बेहतर समझ रहा हूँ।

— कलरस्टैटिस्टिक्स

हम यह कैसे साबित कर सकते हैं कि MGF और PDF में समान जानकारी है?

— एरिन