पल-पल के कार्यों की पहचान

क्या कोई गैर-समान वितरण होते हैं जो एक ही पल-उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन होते हैं?

हाँ।

एक अभ्यास में, स्टुअर्ट और Ord ( सांख्यिकी केंडल उन्नत सिद्धांत ।।, 5 वीं एड, पूर्व 3.12) टीजे Stieltjes (जो जाहिरा तौर पर अपने में प्रकट होता है की एक 1918 परिणाम बोली Oeuvres कम्प्लिट्स , ):

यदि 1 अवधि का एक विषम कार्य है$f$ , दिखाओ$\frac{1}{2}$

$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$

सभी अभिन्न मूल्यों के लिए । इसलिए दिखाते हैं कि वितरण$r$

$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$

जो भी का मूल्य है उसी क्षण ।$\lambda$

(मूल, में केवल रूप में प्रकट होता λ ; के आकार पर प्रतिबंध $|\lambda|$$\lambda$$\lambda$ आवश्यकता से उत्पन्न होती है के घनत्व समारोह सभी मूल्यों को रखने के लिए । गैर नकारात्मक) व्यायाम प्रतिस्थापन के माध्यम से हल करने के लिए आसान है x = exp ( y ) और वर्ग को पूरा करना। मामला λ = 0 प्रसिद्ध ज्ञात असामान्य वितरण है ।$dF$$x = \exp(y)$$\lambda=0$

नीला वक्र λ = 0 से मेल खाता है$\lambda=0$$\lambda = -1/4$$\lambda = 1/2$