Bayesian ऑनलाइन बदलाव का पता लगाने (सीमांत भविष्य कहनेवाला वितरण)

मैं एडम्स और मैकके ( लिंक ) द्वारा बायेसियन ऑनलाइन चेंजप्वाइंट डिटेक्शन पेपर पढ़ रहा हूं ।

लेखक सीमांत भविष्य कहनेवाला वितरण लिखकर शुरू करते हैं: जहां

P (x_{t + 1} | x_{1 : t}) = \sum_{r_{t}} P (x_{t + 1} | r_{t}, x_{t}^{(r)}) P (r_{t} | x_{1 : t}) (1)

$P(x_{t+1} | \textbf{x}_{1:t}) = \sum_{r_t} P(x_{t+1} | r_t, \textbf{x}_t^{(r)}) P(r_t | \textbf{x}_{1:t}) \qquad \qquad (1)$

$x_t$ समय पर अवलोकन ; $t$
$\textbf{x}_{1:t}$ अवलोकन के सेट को दर्शाता है जब तक कि समय ; $t$
$r_t \in \mathbb{N}$ वर्तमान रननलोफ्ट (अंतिम बदलाव के बाद का समय, 0 हो सकता है); तथा
$\textbf{x}_t^{(r)}$ रन जुड़ी टिप्पणियों का । $r_t$

Eq। 1 औपचारिक रूप से सही है (@JuhoKokkala द्वारा नीचे दिए गए उत्तर देखें), लेकिन मेरी समझ यह है कि यदि आप वास्तव में बारे में एक भविष्यवाणी करना चाहते हैं, तो आपको इसे निम्नानुसार विस्तारित करना होगा: $x_{t+1}$

P (x_{t + 1} | x_{1 : t}) = \sum_{r_{t}, r_{t + 1}} P (x_{t + 1} | r_{t + 1}, x_{t}^{(r)}) P (r_{t} | x_{1 : t}) P (r_{t + 1} | r_{t}) (1 b)

$P(x_{t+1} | \textbf{x}_{1:t}) = \sum_{r_t, r_{t+1}} P(x_{t+1} | r_{t+1}, \textbf{x}_t^{(r)}) P(r_t | \textbf{x}_{1:t}) P(r_{t+1} | r_t) \qquad (1\text{b})$

मेरा तर्क यह है कि भविष्य में ( ) समय में एक बदलाव हो सकता है $t+1$ , लेकिन पीछे $P(r_t | \textbf{x}_{1:t})$ केवल तक शामिल $t$ ।

मुद्दा यह है, कागज में लेखक हमें ईक बनाते हैं। 1 जैसा है (Eqs देखें। 3 और 11 पेपर में), और 1 बी नहीं । तो, वे उचित रूप में समय में एक changepoint की संभावना की उपेक्षा $t+1$ जब भविष्यवाणी $x_{t+1}$ समय में उपलब्ध आंकड़ों से $t$ । धारा 2 की शुरुआत में वे कहते हैं कि एन पास

हम मानते हैं कि हम एक दिए गए रन लंबाई पर [वितरण के लिए [ $x_{t+1}$ ] के लिए भविष्य कहनेवाला गणना कर सकते हैं । $r_t$

जो शायद जहां चाल है। लेकिन सामान्य तौर पर, यह भविष्य कहनेवाला वितरण ईक की तरह कुछ दिखना चाहिए। 1b; वह नहीं है जो वे करते हैं (Eq 11)।

इसलिए, मुझे यकीन नहीं है कि मैं समझता हूं कि क्या हो रहा है। शायद अंकन के साथ कुछ मजेदार चल रहा है।

संदर्भ

एडम्स, आरपी, और मैकके, डीजे (2007)। बायेसियन ऑनलाइन चेंजप्वाइंट डिटेक्शन। arXiv प्रीप्रिंट arXiv: 0710.3742।

— lacerbi
स्रोत

एक संभावित व्याख्या यह है कि टाइम के अंत में रन लंबाई का प्रतिनिधित्व करता , जो कि समय में बदलाव के बाद । इसके साथ ही, Eq। 1 समझ में आता है। वास्तव में, एल्गोरिथ्म का एक आरंभीकरण सेट करके है जो मानता है कि पर शुरू होने से ठीक पहले एक बदलाव है । हालाँकि, चित्र 1 गलत है (या कम से कम भ्रामक) है कि यदि और बीच कोई परिवर्तन बिंदु है , और और बीच चित्र 1a में दर्शाया गया है, तो और

r_{t}

$r_t$

t

$t$

t

$t$

P (r_{0} = 0) = 1

$P(r_0 =0) = 1$

t = 1

$t=1$

t = 4

$t =4$

t = 5

$t=5$

t = 10

$t=10$

t = 11

$t=11$

r_{4}

$r_4$

r_{10}

$r_{10}$ इस संकेतन के अनुसार 0 होना चाहिए, और छवि 1 बी के अनुसार और नहीं होना चाहिए ।

r_{5}

$r_5$

r_{11}

$r_{11}$

— लैकरबी

इक में कुछ अजीब सा चल रहा है। 3 अंतिम पंक्ति में सारांश में मध्य कारक के रूप में जबकि मैंने सोचा कि में शामिल है । मुझे संदेह है कि और ने रूप में स्थान बदल दिया है। Eq में। 11, दाहिने हाथ की ओर निर्भर करता है जो बाएं हाथ की ओर बिल्कुल भी दिखाई नहीं देता है, इसलिए या तो कुछ गड़बड़ है या मैं बिल्कुल भी संकेतन नहीं समझता।

P (x_{t} ∣ r_{t - 1}, x_{t}^{(r)})

$P(x_t \mid r_{t-1}, x^{(r)}_t)$

x_{t}^{(r)}

$x^{(r)}_t$

x_{t}

$x_t$

t

$t$

t - 1

$t-1$

P (x_{t} ∣ r_{t}, x_{t - 1}^{(r)})

$P(x_t \mid r_t, x^{(r)}_{t-1})$

x_{t}^{(r)}

$x_t^{(r)}$

— जुहो कोक्कला

@JuhoKokkala: मुझे खुशी है कि मैं उस भावना के साथ अकेला नहीं हूं ...

— लैकरबी

@lacerbi, मेरे पास इस पेपर के बारे में एक और सवाल है, और आपको लगता है कि आप इसका जवाब देने में सक्षम हो सकते हैं क्योंकि आप काम से परिचित हैं: आंकड़े . stackexchange.com/questions/419988 ।

— gwg

दोनों (1) और (1 बी) सही हैं। ओपी के पास यह अधिकार है कि (इस मॉडल में) पर एक बदलाव हो सकता है , और बात पर निर्भर करता है कि क्या कोई बदलाव है। यह (1) के संभावित मानों के साथ कोई समस्या नहीं है, द्वारा पूरी तरह से "कवर" किया गया है । अर्थ है सशर्त वितरण । यह सशर्त वितरण औसत "सब कुछ" पर है, जिसमें , सशर्त पर । जैसे कोई लिख सकता है, कह सकता है, $t+1$ $x_{t+1}$ $r_{t+1}$ $P(x_{t+1} \mid r_t, x_{1:t})$ $P(x_{t+1} | r_t, x_{1:t})$ $x_{t+1}$ $(r_t, x_{1:t})$ $r_{t+1}$ $(r_t, x_{1:t})$ $P(x_{t+1000} | x_t)$ , जो बदलावों के सभी संभावित विन्यासों के साथ-साथ और बीच होने वाले मूल्यों को ध्यान में रखेगा । $x_i$ $t$ $t+1000$

शेष में, मैं पहले (1) और फिर (1 बी) पर आधारित (1) प्राप्त करता हूं।

(1) की व्युत्पत्ति

किसी भी यादृच्छिक चर , हमारे पास जब तक असतत है तब तक (अन्यथा योग को एक अभिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए)। इसे : पर लागू किया जा रहा है $A,B,C$

P (A ∣ B) = \sum_{c} P (A ∣ B, C = c) P (C = c ∣ B),

$\begin{equation} P(A \mid B) = \sum_c P(A \mid B, C=c)\,P(C=c \mid B), \end{equation}$

C

$C$

x_{t + 1}, x_{1 : t}, r_{t}

$x_{t+1},x_{1:t},r_t$

P (x_{t + 1} ∣ x_{1 : t}) = \sum_{r_{t}} P (x_{t + 1} ∣ r_{t}, x_{1 : t}) P (r_{t} ∣ x_{1 : t}),

$\begin{equation} P(x_{t+1} \mid x_{1:t}) = \sum_{r_t} P(x_{t+1} \mid r_t, x_{1:t})\,P(r_t \mid x_{1:t}), \end{equation}$ जो कोई बात नहीं रखता है जो , , बीच निर्भरताएं हैं, यानी कोई मॉडल मान्यताओं को अभी तक नहीं किया गया है इस्तेमाल किया गया। वर्तमान मॉडल में, दिया माना जाता है * के मूल्यों की सशर्त स्वतंत्र होने के लिए रन से पहले से । इसका तात्पर्य । इसे पिछले समीकरण में शामिल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

r_{t}

$r_t$

x_{1 : t}

$x_{1:t}$

x_{t + 1}

$x_{t+1}$

x_{t + 1}

$x_{t+1}$

r_{t}, x_{t}^{(r)}

$r_t,x^{(r)}_t$

x

$x$

x_{t}^{(r)}

$x^{(r)}_t$

P (x_{t + 1} ∣ r_{t}, x_{1 : t}) = P (x_{t + 1} ∣ r_{t}, x_{t}^{(r)})

$P(x_{t+1} \mid r_t, x_{1:t}) = P(x_{t+1} \mid r_t, x^{(r)}_t)$

P (x_{t + 1} ∣ x_{1 : t}) = \sum_{r_{t}} P (x_{t + 1} ∣ r_{t}, x_{t}^{(r)}) P (r_{t} ∣ x_{1 : t}), (1)

$\begin{equation} P(x_{t+1} \mid x_{1:t}) = \sum_{r_t} P(x_{t+1} \mid r_t, x^{(r)}_t)\,P(r_t \mid x_{1:t}), \qquad \qquad \qquad (1) \end{equation}$ जो ओपी में (1) है।

(1 बी) की व्युत्पत्ति

हम में से अपघटन पर विचार करें के संभावित मूल्यों पर : $P(x_{t+1} \mid r_t, x^{(r)}_t)$ $r_{t+1}$

P (x_{t + 1} ∣ r_{t}, x_{t}^{(r)}) = \sum_{r_{t + 1}} P (x_{t + 1} ∣ r_{t + 1}, r_{t}, x_{t}^{(r)}) P (r_{t + 1} ∣ r_{t}, x_{t}^{(r)}) .

$\begin{equation} P(x_{t+1} \mid r_t, x^{(r)}_t) = \sum_{r_{t+1}} P(x_{t+1} \mid r_{t+1}, r_t, x^{(r)}_t)P(r_{t+1} \mid r_t, x^{(r)}_t). \end{equation}$

चूँकि यह माना जाता है कि क्या कोई परिवर्तन बिंदु पर होता है ( और ) के इतिहास पर निर्भर नहीं होता है , हमारे पास । इसके अलावा, चूंकि यह निर्धारित करता है कि के समान रन में है , हमारे पास । इन दो सरलीकरणों को उपर्युक्त कारक में प्रतिस्थापित करते हुए, हम $t+1$ $x_t$ $x_{t+1}$ $x$ $P(r_{t+1} \mid r_t, x^{(r)}_t) = P(r_{t+1} \mid r_t)$ $r_{t+1}$ $x_{t+1}$ $x_t$ $P(x_{t+1} \mid r_{t+1}, r_t, x^{(r)}_t)=P(x_{t+1} \mid r_{t+1}, x^{(r)}_t)$

P (x_{t + 1} ∣ r_{t}, x_{t}^{(r)}) = \sum_{r_{t + 1}} P (x_{t + 1} ∣ r_{t + 1}, x_{t}^{(r)}) P (r_{t + 1} ∣ r_{t}) .

$\begin{equation} P(x_{t+1} \mid r_t, x^{(r)}_t) = \sum_{r_{t+1}} P(x_{t+1} \mid r_{t+1}, x^{(r)}_t)P(r_{t+1} \mid r_t). \end{equation}$ इसे (1) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम जो OP (1b) है।

P (x_{t + 1} ∣ x_{1 : t}) = \sum_{r_{t}} (\sum_{r_{t + 1}} P (x_{t + 1} ∣ r_{t + 1}, x_{t}^{(r)}) P (r_{t + 1} ∣ r_{t})) P (r_{t} ∣ x_{1 : t}), (1 b)

$\begin{equation} P(x_{t+1} \mid x_{1:t}) = \sum_{r_t} \left(\sum_{r_{t+1}} P(x_{t+1} \mid r_{t+1}, x^{(r)}_t)P(r_{t+1} \mid r_t)\right)\,P(r_t \mid x_{1:t}), \qquad (1b) \end{equation}$

* मॉडल की सशर्त स्वतंत्रता मान्यताओं पर टिप्पणी

कागज को जल्दी से ब्राउज़ करने के आधार पर, मैं व्यक्तिगत रूप से सशर्त स्वतंत्रता संपत्तियों को अधिक स्पष्ट रूप से कहीं और कहा जाना पसंद करूंगा, लेकिन मुझे लगता है कि इरादा यह है कि मार्कोवियन है और : s अलग-अलग रन से जुड़ा हुआ है स्वतंत्र (रन दिए गए) हैं। $r$ $x$

— जुहो कोक्कल
स्रोत

(+1) धन्यवाद। हां, निश्चित रूप से, मैं समझता हूं कि Eq। 1 औपचारिक रूप से सही है यदि कोई मानता है कि पर निहित हाशिए पर है । समस्या यह है कि बाद में लेखकों ने भविष्यवाणियाँ कीं (Eq। 11 कागज में, और स्पष्ट रूप से Eq 3 में) और वे जब वे ले रहे हैं तो से अधिक हाशिए पर नहीं रहे हैं।

r_{t + 1}

$r_{t+1}$

r_{t + 1}

$r_{t+1}$

— लैकरबी

ओह। तब ऐसा लगता है कि मैंने इस प्रश्न को गलत समझा - क्या मुझे इसे हटाना चाहिए? आप प्रश्न को स्पष्ट करना चाह सकते हैं, वर्तमान में ऐसा लगता है (1) किसी तरह गलत है (शायद उपयोगी नहीं है)

— जुहो कोक्कला

कृपया यह उत्तर रखें, जो मूल्यवान है। मेरी गलती है कि मैं अपने मूल पद में पर्याप्त स्पष्ट नहीं था। मैंने आपके प्रश्नों के लिए अपने प्रश्न को धन्यवाद देने की कोशिश की, और एक तरह से जो अभी भी इस उत्तर को सार्थक बनाता है।

— लकरबी