एक तरह से सशर्त प्रतिनिधित्व के बारे में सोचना पर एक प्रक्षेपण के रूप में है -algebra ।σ जीσG
( विकिमीडिया कॉमन्स से )
वर्ग-पूर्णांक यादृच्छिक चर के बारे में बात करते समय यह वास्तव में सख्ती से सच है; इस मामले में वास्तव में के उप-समूह पर यादृच्छिक चर का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है, जिसमें संबंध में यादृच्छिक चर औसत दर्जे का है। । और वास्तव में यह भी पता चला है के लिए कुछ अर्थों में सच होना से सन्निकटन के माध्यम से यादृच्छिक परिवर्तनीय यादृच्छिक परिवर्तनीय।ई [ ξ | जी ] ξ एल 2 ( Ω ) जी एल 1 एल 2E[ξ|G]ξL2(Ω)GL1L2
(संदर्भ के लिए टिप्पणियाँ देखें।)
एक मानता है कितनी जानकारी प्रतिनिधित्व के रूप में अल्जेब्रास हमारे पास उपलब्ध (एक व्याख्या है जो डे स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में), तो बड़ा अल्जेब्रास मतलब अधिक संभव घटनाओं और इस प्रकार अधिक संभावित परिणामों के बारे में जानकारी, जबकि छोटे बीजगणित का अर्थ है कम संभावित घटनाएं और इस प्रकार संभावित परिणामों के बारे में कम जानकारी।σ - σ - σ -σ−σ−σ−
इसलिए, पेश -measurable यादृच्छिक चर छोटे पर बीजगणित के मूल्य के लिए अपना सर्वश्रेष्ठ अनुमान लेने का मतलब है से उपलब्ध अधिक सीमित जानकारी दी ।एफ ξ σ - जी ξ जीFξσ−GξG
दूसरे शब्दों में, केवल " से जानकारी दी गई है , और , से पूरी जानकारी नहीं है। यादृच्छिक चर क्या है के लिए संभावित अनुमान ।GGFFE[ξ|G]E[ξ|G]ξξ
आपके उदाहरण के संबंध में, मुझे लगता है कि आप यादृच्छिक चर और उनके मूल्यों को भ्रमित कर सकते हैं। एक यादृच्छिक चर एक फ़ंक्शन है जिसका डोमेन घटना स्थान है; यह एक संख्या नहीं है। दूसरे शब्दों में, , जबकि , ।XXX:Ω→RX:Ω→RX∈{f | f:Ω→R}X∈{f | f:Ω→R}ω∈Ωω∈ΩX(ω)∈RX(ω)∈R
सशर्त अपेक्षा के लिए, मेरी राय में, यह वास्तव में बुरा है, क्योंकि यह एक यादृच्छिक चर है, यानी एक फ़ंक्शन भी । इसके विपरीत, एक यादृच्छिक चर की (नियमित) अपेक्षा एक संख्या है । एक यादृच्छिक चर की सशर्त अपेक्षा एक ही यादृच्छिक चर की अपेक्षा से पूरी तरह से अलग मात्रा है, अर्थात, साथ "टाइप-चेक" भी नहीं करता है। ।E[ξ|G]E[ξ|G]E[ξ]E[ξ]
दूसरे शब्दों में, नियमित और सशर्त अपेक्षा दोनों को निरूपित करने के लिए प्रतीक का उपयोग करना संकेतन का एक बहुत बड़ा दुरुपयोग है, जिससे बहुत अनावश्यक भ्रम पैदा होता है।EE
कहा जा रहा है कि सभी, ध्यान दें कि एक संख्या है (यादृच्छिक चर मूल्यांकन मान पर किया जाता है , लेकिन एक यादृच्छिक चर है, लेकिन यह एक निरंतर यादृच्छिक चर (यानी तुच्छ पतित) बन जाता है, क्योंकि -algebra , द्वारा उत्पन्न , तुच्छ / पतित है, और फिर तकनीकी रूप से इस निरंतर यादृच्छिक चर का स्थिर मान बोल रहा है, , जहाँ यहाँE[ξ|G](ω)E[ξ|G](ω)E[ξ|G]E[ξ|G]ωωE[ξ|Ω]E[ξ|Ω]σσΩΩ{∅,Ω}{∅,Ω}E[ξ]E[ξ]EE नियमित अपेक्षा को दर्शाता है और इस प्रकार एक संख्या है, सशर्त अपेक्षा नहीं है और इस तरह एक यादृच्छिक चर नहीं है।
इसके अलावा आप इस बात को लेकर असमंजस में हैं कि नोटेशन अर्थ क्या है; तकनीकी रूप से बोलना केवल व्यक्तिगत घटनाओं पर नहीं, बल्कि algebras पर स्थिति के लिए संभव है , क्योंकि प्रायिकता के उपायों को केवल पूर्ण बीजगणित पर परिभाषित किया जाता है, व्यक्तिगत घटनाओं पर नहीं। इस प्रकार, लिए सिर्फ (आलसी) आशुलिपि है , जहां का निर्माण बीजगणित के लिए होता है। इवेंट द्वारा , जो । ध्यान दें कि ; दूसरे शब्दों में, ,E[ξ|A]E[ξ|A]σ−σ−σ−σ−E[ξ|A]E[ξ|A]E[ξ|σ(A)]E[ξ|σ(A)]σ(A)σ(A)σ−σ−AA{∅,A,Ac,Ω}{∅,A,Ac,Ω}σ(A)=G=σ(Ac)σ(A)=G=σ(Ac)E[ξ|A]E[ξ|A]E[ξ|G]E[ξ|G] , और सभी अलग-अलग तरीके हैं जो एक ही वस्तु को दर्शाते हैं ।E[ξ|Ac]E[ξ|Ac]
अंत में मैं केवल यह बताना चाहता हूं कि मैंने जो सहज स्पष्टीकरण दिया है, वह बताता है कि यादृच्छिक चर का निरंतर मान क्यों है? बस संख्या है - बीजगणित सूचना के कम से कम संभव राशि है जो हम हो सकता है का प्रतिनिधित्व करता है, वास्तव में अनिवार्य रूप से कोई जानकारी नहीं है, इसलिए इस चरम परिस्थिति में सबसे अच्छा संभव अनुमान जो हम कर सकते थे जिसके लिए यादृच्छिक चर निरंतर यादृच्छिक चर है जिसका निरंतर मान ।E[ξ|Ω]=E[ξ|σ(Ω)]=E[ξ|{∅,Ω}]E[ξ|Ω]=E[ξ|σ(Ω)]=E[ξ|{∅,Ω}]E[ξ]E[ξ]σ−σ−{∅,Ω}{∅,Ω}ξξE[ξ]E[ξ]
ध्यान दें कि सभी निरंतर यादृच्छिक परिवर्तनीय हैं यादृच्छिक चर, और वे सब तुच्छ के संबंध में औसत दर्जे का कर रहे हैं -algebra , तो वास्तव में हम क्या ज़रूरत है कि निरंतर यादृच्छिक , के उप-भाग पर का ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन है, जिसमें यादृच्छिक वेरिएबल्स को शामिल किया गया है, जैसा कि दावा किया गया था कि के साथ।L2L2σσ{∅,Ω}{∅,Ω}E[ξ]E[ξ]ξξL2(Ω)L2(Ω){∅,Ω}{∅,Ω}