मानदंडों के द्विघात रूप का वितरण

मैं के वितरण का पता लगाने की कोशिश कर रहा हूं जहाँ , iid मुझे पता है कि, प्रत्येक शब्दों को अलग-अलग लेते हुए, और लेकिन मैं (*) के वितरण के बारे में अनिश्चित हूं

(n - 1) Σ_{मैं = 1}^{n} {जेड}_{मैं}^{2} - {(Σ_{मैं = 1}^{n} {जेड}_{मैं})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

Σ_{मैं = 1}^{n} {जेड}_{मैं}^{2} ~ χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

\frac{1}{n} {(Σ_{मैं = 1}^{n} {जेड}_{मैं})}^{2} ~ χ^{2} (1) ।

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution

— जेलई चेन
स्रोत

हमारी साइट पर आपका स्वागत है! क्या यह एक पाठ्यक्रम या पाठ्यपुस्तक से एक प्रश्न है? यदि हां, तो कृपया [self-study]टैग जोड़ें और इसकी विकी पढ़ें । अन्यथा यह जानना दिलचस्प होगा कि यह समस्या किस संदर्भ में उत्पन्न हुई। हमें दिखाने के लिए धन्यवाद कि आपने क्या किया है और आप कहाँ फंस गए हैं

— सिल्वरफ़िश

@Silverfish नहीं, यह सिर्फ कुछ है जो मैं समझ रहा हूं। मैंने इस सरल प्रश्न के लिए समस्या को दूर कर दिया है; मेरी मूल समस्या काफी अधिक जटिल है, मुझे डर है! इसलिए, मैंने केवल उस भाग को पूछने की कोशिश की है जिस पर मुझे वास्तव में मदद की आवश्यकता है। लेकिन, अगर यह एक पाठ्यपुस्तक समस्या की तरह दिखता है, तो मुझे यह जानने में बहुत दिलचस्पी होगी कि किस पाठ से यह उम्मीद है कि यह प्रासंगिक जानकारी प्रदान करता है :)

— Zailei Chen

जो समझदार लगता है! इसके अलावा, लेटेक्स टाइपसेटिंग का उपयोग करने के लिए धन्यवाद, हम हमेशा प्रयास की सराहना करते हैं

— सिल्वरफ़िश

यहाँ एक प्रयास है :

विचार करें $Z=X-Y$ ऐसा है कि $X \sim \chi^2(\alpha)$ तथा $Y \sim \chi^2(\beta)$ साथ में $\alpha \geq \beta$

M_{X} (t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

M_{Y} (t) = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (- t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2} (1 + 2 t)^{- 1 / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

मुझे यकीन नहीं है कि अगर इसे एक थायजेबल एमजीएफ में घटाया जा सकता है।

— rightskewed
स्रोत

थोड़ा और सामान्य स्थिति की कुछ चर्चा आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / questions / 72479 पर दिखाई देती है , जिसमें एक सन्निकटन प्रदान करने वाले एक पेपर का संदर्भ दिया गया है।

— whuber