यदि हमारे रैंडम वैरिएबल के मानों की सीमा तो हम रूप में एक सामान्य वितरण कैसे प्राप्त कर सकते हैं ?

चलो कहते हैं कि हम से घिरा मानों की एक श्रेणी के साथ एक यादृच्छिक चर है और , जहां न्यूनतम मूल्य और है अधिकतम मूल्य। $a$ $b$ $a$ $b$

मुझे बताया गया था कि , जहाँ हमारा नमूना आकार है, हमारे नमूना साधनों का नमूना वितरण एक सामान्य वितरण है। यही कारण है, के रूप में हम वृद्धि हम करीब है और करीब एक सामान्य वितरण के लिए मिलता है, लेकिन जैसा कि वास्तविक सीमा है बराबर एक सामान्य वितरण करने के लिए। $n \to \infty$ $n$ $n$ $n \to \infty$

हालाँकि, यह उस सामान्य वितरण की परिभाषा का हिस्सा नहीं है जिसे इसे से तक विस्तारित करना है ? $- \infty$ $\infty$

यदि हमारी सीमा का अधिकतम , तो अधिकतम नमूना माध्य (नमूना आकार की परवाह किए बिना) बराबर होने वाला है , और न्यूनतम नमूना का अर्थ a के बराबर । $b$ $b$ $a$

तो मुझे लगता है कि भले ही हम सीमा ले के रूप में अनंत दृष्टिकोण, अपने वितरण नहीं है एक वास्तविक सामान्य वितरण, क्योंकि यह से घिरा है और । $n$ $a$ $b$

मुझे क्या याद आ रहा है ?

— जेरेमी रेडक्लिफ
स्रोत

जवाबों:

यहाँ आपको याद आ रहा है। स्पर्शोन्मुख वितरण (नमूना माध्य) का नहीं है, लेकिन , जहां का मतलब । $\bar{X}_n$ $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$ $\theta$ $X$

चलो आईआईडी यादृच्छिक परिवर्तनीय ऐसी है कि हो सकता है और है मतलब और विचरण । इस प्रकार ने समर्थन को बाध्य कर दिया है। CLT कहता है कि $X_1, X_2, \dots$ $a < X_i <b$ $X_i$ $\theta$ $\sigma^2$ $X_i$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2}),

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$

जहाँ नमूना माध्य है। अभी $\bar{X}_n$

\begin{aligned} a < & X_{i} < b \\ a < & {\bar{X}}_{n} < b \\ a - θ < & {\bar{X}}_{n} - θ < b - θ \\ \sqrt{n} (a - θ) < & \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) < \sqrt{n} (b - θ) . \end{aligned}

$\begin{align*} a < &X_i <b\\ a < & \bar{X}_n <b\\ a-\theta < &\bar{X}_n - \theta < b - \theta\\ \sqrt{n}(a - \theta) < & \sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) < \sqrt{n}(b - \theta).\\ \end{align*}$

के रूप में , कम बाध्य और ऊपरी बाध्य करते हैं और क्रमशः, और इस तरह के रूप में के समर्थन वास्तव में पूरी वास्तविक रेखा है। $n \to \infty$ $-\infty$ $\infty$ $n \to \infty$ $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$

जब भी हम अभ्यास में CLT का उपयोग करते हैं, तो हम , और यह हमेशा एक सन्निकटन होगा। $\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n)$

संपादित करें: मुझे लगता है कि भ्रम का हिस्सा केंद्रीय सीमा प्रमेय की गलत व्याख्या से है। आप सही हैं कि नमूना माध्य का नमूना वितरण

{\bar{X}}_{n} \approx N (θ, σ^{2} / n) .

$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n).$

हालांकि, नमूना वितरण एक परिमित नमूना संपत्ति है। जैसा आपने कहा, हम देना चाहते हैं ; एक बार हम ऐसा करते हैं कि चिह्न सटीक परिणाम होगा। हालाँकि, यदि हम , तो हम अब दाहिने हाथ की तरफ नहीं रख सकते हैं (क्योंकि अभी )। अतः निम्नलिखित कथन गलत है $n \to \infty$ $\approx$ $n \to \infty$ $n$ $n$ $\infty$

{\bar{X}}_{n} \overset{d}{\to} N (θ, σ^{2} / n) as n \to \infty .

$\bar{X}_n \overset{d}{\to} N(\theta, \sigma^2/n) \text{ as } n \to \infty.$

[यहाँ वितरण के संदर्भ में अभिसरण के लिए है]। हम परिणाम को सही तरीके से लिखना चाहते हैं, इसलिए दाहिने हाथ की तरफ नहीं है। अब हम प्राप्त करने के लिए यादृच्छिक चर के गुणों का उपयोग करते हैं $\overset{d}{\to}$ $n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2})

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2)$

यह देखने के लिए कि बीजगणित कैसे काम करता है, यहां उत्तर देखें ।

— Greenparker
स्रोत

धन्यवाद। मैं आपकी असमानता के बीजगणित को समझता हूं लेकिन मुझे अभी भी आपके पहले पैराग्राफ के बारे में कुछ भ्रम है: "एसिम्प्टोटिक वितरण (नमूना का मतलब) का नहीं है, लेकिन " ..."। मुझे लगा कि CLT ने कहा है कि नमूने का नमूना वितरण का मतलब है सामान्य वितरण को , और मुझे लगा कि आरवी था जो आकार के नमूनों के सभी संभावित मूल्यों को लेता है । कहाँ है से आते हैं? हम उस वितरण में क्यों रुचि रखते हैं न कि के वितरण की ?

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

n \to \infty

$n \to \infty$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

n

$n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

— जेरेमी रेडक्लिफ

(cont'd) क्या यह नमूना के वितरण को सामान्य बनाने के बारे में है? यह वह जगह है जहाँ से वर्गमूल आता है? क्या इसका स्कोर से कोई लेना-देना है?

Z

$Z$

— जेरेमी रेडक्लिफ

@jeremyradcliff मैंने अपना उत्तर संपादित किया है, और एक लिंक शामिल किया है जो कुछ विवरणों की व्याख्या करता है। आशा है कि यह अब और अधिक समझ में आता है।

— ग्रीनपार्क

संपादित करने के लिए समय निकालने के लिए बहुत-बहुत धन्यवाद, आपके द्वारा प्रदान किया गया लिंक ठीक वही है जो मैं खोज रहा था। और आप सही हैं, समस्या यह थी कि मुझे नमूना वितरण की परिमित प्रकृति और इस तथ्य से सामंजस्य स्थापित करने में परेशानी हुई कि हम से ले रहे हैं ।

n

$n$

\infty

$\infty$

— जेरेमी रेडक्लिफ

यदि आप एक केंद्रीय सीमा प्रमेय की बात कर रहे हैं, तो ध्यान दें कि इसे लिखने का एक उचित तरीका है

$\left( \frac{\bar x - \mu} {\sigma} \right) \sqrt n \rightarrow_d N(0,1)$

सामान्य परिस्थितियों में ( माध्य और मानक विचलन )। $\mu, \sigma$ $x_i$

इस औपचारिक परिभाषा के साथ, आप तुरंत देख सकते हैं कि बाएं हाथ की तरफ किसी भी परिमित रेंज के लिए मान ले सकता है जो कि एक बड़ा पर्याप्त दिया गया है । $n$

अनौपचारिक विचार है कि "एक मतलब बड़े के लिए एक सामान्य वितरण दृष्टिकोण के लिए से जुड़ने में मदद करने के लिए ", हम उस एहसास करने की जरूरत का मतलब है कि CDF के प्राप्त मनमाने ढंग से बंद करने के "एक सामान्य वितरण दृष्टिकोण" एक के रूप में सामान्य वितरण बड़े हो जाता है। लेकिन जैसे-जैसे बड़ा होता जाता है, इस अनुमानित वितरण का मानक विचलन सिकुड़ता है, इसलिए सन्निकटन सामान्य की एक चरम पूंछ की संभावना भी 0 हो जाती है। $n$ $n$ $n$

उदाहरण के लिए, मान लीजिए । तब आप यह कहने के लिए अनौपचारिक सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं $X_i \sim \text{Bern}(p = 0.5)$

$\bar X \dot \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

इसलिए जब यह सच है किसी भी परिमित के लिए कि , $n$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) >0$

(अनुमान लगाना स्पष्ट रूप से सही नहीं है), जैसा कि , $n \rightarrow \infty$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) \rightarrow 0$

तो वास्तविक वितरण और अनुमानित वितरण के बीच कि विसंगति है गायब, के रूप में अनुमानों के साथ हुआ माना जाता है।

— क्लिफ एबी
स्रोत